📘 FICHE DE RÉVISION – LES PUISSANCES ET RACINES CARRÉES
(Niveau : Seconde)
Puissances & Racines Carrées
Le guide complet pour maîtriser les calculs essentiels en Seconde.
Partie 1 : Les Puissances
1. Définitions (Exposants entiers)
Soit \(a\) un nombre réel et \(n\) un entier positif.
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Puissance positive (n > 0) :$$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$
\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
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Puissance nulle :Par convention, si \(a \neq 0\), alors \(a^0 = 1\).
\(5^0 = 1\) (Attention, \(0^0\) n’est pas défini)
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Puissance négative (n > 0) :$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
\(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)
Par exemple, \(2^{-3} = 1/8\), ce qui est un petit nombre positif, pas un nombre négatif ! C’est une erreur classique.
2. Règles de Calcul (Propriétés)
Ces règles sont la clé pour simplifier les expressions. Soient \(a\) et \(b\) des réels non nuls, et \(n\) et \(m\) des entiers.
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Produit de même base :$$a^n \times a^m = a^{n+m}$$
\(5^2 \times 5^3 = 5^{2+3} = 5^5\)
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Quotient de même base :$$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$
\(\frac{4^5}{4^3} = 4^{5-3} = 4^2 = 16\)
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Puissance d’une puissance :$$(a^n)^m = a^{n \times m}$$
\((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\)
Quand on multiplie les bases ( \(a^n \times a^m\) ), on AJOUTE les exposants.
Quand on a des parenthèses ( \((a^n)^m\) ), on MULTIPLIE les exposants. Révisez bien cette différence.
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Puissance d’un produit :$$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$
\((2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)
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Puissance d’un quotient :$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
\(\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}\)
3. Notation Scientifique
Exprimer un nombre en notation scientifique, c’est l’écrire sous la forme :
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Grands nombres :
\(345\,000 = 3,45 \times 10^5\) (on a décalé la virgule de 5 rangs vers la gauche, donc \(p\) est positif)
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Petits nombres :
\(0,0058 = 5,8 \times 10^{-3}\) (on a décalé la virgule de 3 rangs vers la droite, donc \(p\) est négatif)
Partie 2 : Les Racines Carrées
1. Définition
Soit \(a\) un nombre réel positif ou nul (\(a \ge 0\)).
$$(\sqrt{a})^2 = a \quad \text{et} \quad \sqrt{a} \ge 0$$
\(\sqrt{25} = 5\) (car \(5^2 = 25\) et \(5 \ge 0\)).
\(\sqrt{-9}\) n’existe pas dans les nombres réels !
Mais le symbole \(\sqrt{25}\), lui, ne vaut que 5. La racine carrée est toujours le résultat positif.
2. Règles de Calcul (Propriétés)
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs.
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Racine d’un produit :$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
\(\sqrt{100} = \sqrt{4 \times 25} = \sqrt{4} \times \sqrt{25} = 2 \times 5 = 10\)
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Racine d’un quotient :$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (\text{avec } b \neq 0)$$
\(\sqrt{\frac{81}{9}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3\)
$$ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} $$
Preuve rapide : \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\). Mais \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). On voit bien que \(5 \neq 7\).
3. Simplification et Calculs
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Simplifier une racine (« Sortir » un carré parfait) :
On décompose le nombre sous la racine pour trouver le plus grand carré parfait possible.
$$\sqrt{A^2 \times B} = \sqrt{A^2} \times \sqrt{B} = A\sqrt{B}$$Simplifier \(\sqrt{72}\).
On cherche un carré parfait dans 72 (4, 9, 16, 25, 36…). Le plus grand est 36.
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\) -
Additionner des racines :
On ne peut additionner que les termes ayant la même racine carrée (la même « famille »).
\(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{5} + 2\sqrt{3}\) ne peut pas être simplifié ! -
Rationaliser un dénominateur :
En maths, on n’aime pas les racines au dénominateur. Pour l’enlever, on multiplie en haut et en bas par cette même racine.
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$\(\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\)
\(\sqrt{50}\) c’est \(5\sqrt{2}\), donc c’est « 5 pommes ». \(\sqrt{8}\) c’est \(2\sqrt{2}\), donc « 2 pommes ».
Calculer \(\sqrt{50} – \sqrt{8}\) c’est comme faire « 5 pommes – 2 pommes ». Le résultat est « 3 pommes », donc \(3\sqrt{2}\).
Partie 3 : Entraînement (Exercices)
Appliquez ce que vous venez de voir. Prenez un brouillon et essayez de résoudre ces exercices avant de regarder la correction.
- Exercice 1 (Puissances) : Simplifier l’expression suivante et donner le résultat sous forme de \(A \times 10^p\) : $$B = \frac{(2 \times 10^3)^2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^5}$$
- Exercice 2 (Racines) : Simplifier \(\sqrt{125}\), \(\sqrt{48}\) et \(\sqrt{27}\).
- Exercice 3 (Racines – Calcul) : Calculer et simplifier l’expression suivante : $$C = 3\sqrt{27} – \sqrt{48} + \sqrt{125}$$
- Exercice 4 (Racines – Rationalisation) : Écrire sans racine au dénominateur : $$D = \frac{4}{\sqrt{7}}$$
Partie 4 : Corrections Détaillées
Cliquez sur chaque exercice pour voir la solution étape par étape.
Correction Exercice 1 (Puissances)
On veut simplifier \(B = \frac{(2 \times 10^3)^2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^5}\)
1. On s’occupe de la parenthèse au carré en haut (règle \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)) :
\((2 \times 10^3)^2 = 2^2 \times (10^3)^2 = 4 \times 10^{3 \times 2} = 4 \times 10^6\)
2. On remplace dans l’expression :
\(B = \frac{4 \times 10^6 \times 10^{-4}}{8 \times 10^5}\)
3. On regroupe les puissances de 10 en haut (règle \(a^n \times a^m = a^{n+m}\)) :
\(10^6 \times 10^{-4} = 10^{6-4} = 10^2\)
4. On a maintenant :
\(B = \frac{4 \times 10^2}{8 \times 10^5}\)
5. On sépare les nombres et les puissances de 10 :
\(B = \frac{4}{8} \times \frac{10^2}{10^5}\)
6. On calcule chaque partie (règle \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)) :
\(\frac{4}{8} = 0,5\)
\(\frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}\)
7. On obtient :
\(B = 0,5 \times 10^{-3}\)
8. (Piège !) Ce n’est pas en notation scientifique car \(0,5 < 1\). On doit ajuster :
\(B = (5 \times 10^{-1}) \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-1-3} = 5 \times 10^{-4}\)
Solution : \(B = 5 \times 10^{-4}\)
Correction Exercice 2 (Simplification Racines)
On cherche le plus grand carré parfait (4, 9, 16, 25, 36…) dans chaque nombre.
Pour \(\sqrt{125}\) :
Le plus grand carré parfait qui divise 125 est 25.
\(\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
Pour \(\sqrt{48}\) :
Le plus grand carré parfait qui divise 48 est 16.
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
Pour \(\sqrt{27}\) :
Le plus grand carré parfait qui divise 27 est 9.
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)
Correction Exercice 3 (Calcul Racines)
On veut calculer \(C = 3\sqrt{27} – \sqrt{48} + \sqrt{125}\)
1. On utilise les simplifications de l’exercice 2 :
\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)
2. On remplace dans l’expression C :
\(C = 3(3\sqrt{3}) – (4\sqrt{3}) + (5\sqrt{5})\)
\(C = 9\sqrt{3} – 4\sqrt{3} + 5\sqrt{5}\)
3. On regroupe les termes de la même « famille » (les \(\sqrt{3}\) ensemble).
\(C = (9 – 4)\sqrt{3} + 5\sqrt{5}\)
\(C = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{5}\)
Solution : \(C = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{5}\) (On ne peut pas simplifier plus, les « poires » et les « pommes » ne se mélangent pas !)
Correction Exercice 4 (Rationalisation)
On veut simplifier \(D = \frac{4}{\sqrt{7}}\)
Pour enlever la racine du dénominateur, on multiplie le numérateur ET le dénominateur par \(\sqrt{7}\) (ce qui revient à multiplier par 1, donc on ne change pas la valeur).
$$D = \frac{4 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}$$
Au numérateur, on a \(4\sqrt{7}\).
Au dénominateur, \(\sqrt{7} \times \sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 = 7\).
Solution : \(D = \frac{4\sqrt{7}}{7}\)
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