FICHE DE RÉVISION – Statistiques et pourcentages
(Niveau : Seconde)
Probabilités : Modéliser le Hasard
Le langage des probabilités : univers, événements, calculs de base et dénombrement.
Partie 1 : Expérience Aléatoire et Univers
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat exact avant de l’avoir réalisée (ex: lancer un dé).
Une issue (ou résultat élémentaire) est un des résultats possibles de l’expérience.
L’univers, noté \(\Omega\), est l’ensemble de toutes les issues possibles.
Expérience : Lancer un dé à 6 faces.
Issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Univers : \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
Expérience : Lancer une pièce de monnaie.
Issues possibles : Pile (P), Face (F).
Univers : \(\Omega = \{P, F\}\).
Partie 2 : Événements
Un événement est un sous-ensemble de l’univers \(\Omega\). C’est un ensemble d’issues qui réalisent une certaine condition.
Un événement élémentaire ne contient qu’une seule issue.
L’événement certain (\(\Omega\)) se réalise toujours.
L’événement impossible (\(\emptyset\)) ne se réalise jamais.
On lance un dé à 6 faces (\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)).
– Événement A : « Obtenir un nombre pair ». \(A = \{2, 4, 6\}\).
– Événement B : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ». \(B = \{5, 6\}\).
– Événement C : « Obtenir 3 ». \(C = \{3\}\) (événement élémentaire).
Opérations sur les Événements (Comme les ensembles !)
Intersection \(A \cap B\) (« A et B ») : L’événement est réalisé si A ET B sont réalisés.
Réunion \(A \cup B\) (« A ou B ») : L’événement est réalisé si A OU B (ou les deux) est réalisé.
Événement contraire \(\bar{A}\) (« non A ») : L’événement est réalisé si A n’est PAS réalisé. C’est l’ensemble de toutes les issues qui ne sont pas dans A.
Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si leur intersection est vide (\(A \cap B = \emptyset\)). Ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Avec le dé : \(A = \{2, 4, 6\}\) et \(B = \{5, 6\}\).
– \(A \cap B\) : « Obtenir un nombre pair ET \(\ge 5\) ». \(A \cap B = \{6\}\).
– \(A \cup B\) : « Obtenir un nombre pair OU \(\ge 5\) ». \(A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\).
– \(\bar{A}\) : « Ne pas obtenir un nombre pair » (donc obtenir un nombre impair). \(\bar{A} = \{1, 3, 5\}\).
– Les événements C = \{3\} et A = \{2, 4, 6\} sont incompatibles car \(A \cap C = \emptyset\).
Partie 3 : Loi de Probabilité et Calculs
1. Loi de Probabilité
Définir une loi de probabilité sur un univers fini \(\Omega = \{e_1, e_2, …, e_n\}\), c’est associer à chaque issue \(e_i\) un nombre \(p_i\) (sa probabilité) tel que :
- Chaque \(p_i\) est compris entre 0 et 1 (\(0 \le p_i \le 1\)).
- La somme de toutes les probabilités est égale à 1 (\(p_1 + p_2 + … + p_n = 1\)).
La probabilité d’un événement A, notée \(P(A)\), est la somme des probabilités des issues qui composent A.
2. Cas Particulier : L’Équiprobabilité
On est en situation d’équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser (ex: dé non pipé, pièce équilibrée, tirage au hasard).
Si l’univers \(\Omega\) contient \(n\) issues équiprobables, alors la probabilité de chaque issue est \(\frac{1}{n}\).
Dans ce cas, la probabilité d’un événement A est : $$ P(A) = \frac{\text{Nombre d’issues dans A}}{\text{Nombre total d’issues dans } \Omega} = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} $$
On lance un dé équilibré (\(n=6\)). Chaque issue a une probabilité de \(\frac{1}{6}\).
Événement A : « Obtenir un nombre pair » (\(A = \{2, 4, 6\}\)). Il y a 3 issues favorables.
\(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
L’équiprobabilité (ou toute autre loi) est un modèle mathématique, une hypothèse que l’on fait (« le dé est parfait »).
Si tu lances réellement un dé 100 fois, tu n’obtiendras pas exactement \(100/6\) fois chaque face. La fréquence observée fluctue.
Parfois, on fait l’inverse : on observe une fréquence (ex: une punaise tombe sur la pointe dans 40% des cas après 1000 lancers) et on construit un modèle avec \(P(\text{Pointe}) = 0,4\).
3. Formules de Calcul
Pour tous événements A et B :
- \(0 \le P(A) \le 1\)
- \(P(\Omega) = 1\)
- \(P(\emptyset) = 0\)
- \(P(\bar{A}) = 1 – P(A)\)
- Formule d’addition (importante !) : $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) $$
- Si A et B sont incompatibles (\(A \cap B = \emptyset\)), alors \(P(A \cap B) = 0\) et la formule devient : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Dans un groupe, 40% aiment le foot (F), 30% aiment le tennis (T), et 10% aiment les deux. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle aime le foot OU le tennis ?
On a \(P(F) = 0,4\), \(P(T) = 0,3\), \(P(F \cap T) = 0,1\).
On cherche \(P(F \cup T)\). On utilise la formule :
\(P(F \cup T) = P(F) + P(T) – P(F \cap T)\)
\(P(F \cup T) = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6\).
La probabilité est de 0,6 (ou 60%).
Partie 4 : Dénombrement (Compter les issues)
Quand l’expérience a plusieurs étapes, il faut une méthode pour lister toutes les issues possibles.
1. Tableaux à Double Entrée
Utile quand l’expérience a deux étapes indépendantes.
On lance deux dés à 6 faces. On regarde la somme des faces. Univers ?
On fait un tableau où les lignes représentent le résultat du dé 1, et les colonnes le résultat du dé 2. Les cases contiennent la somme.
| D2 → D1 ↓ |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Il y a \(6 \times 6 = 36\) issues possibles au total (chaque case est une issue, ex: (Dé1=1, Dé2=1)).
On peut calculer des probabilités : P(Somme = 7) ? Il y a 6 cases avec 7. Donc \(P = 6/36 = 1/6\).
2. Arbres de Dénombrement
Utile quand l’expérience a plusieurs étapes (2, 3 ou plus), surtout si elles ne sont pas indépendantes.
On lance une pièce 3 fois de suite. Issues possibles ?
On fait un arbre :
– 1er niveau : P ou F (2 branches)
– 2ème niveau : De chaque branche partent P ou F (total 4 branches)
– 3ème niveau : De chaque branche partent P ou F (total 8 branches)
Chaque « chemin » du début à la fin est une issue.
Issues : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Il y a \(2^3 = 8\) issues.
Si la pièce est équilibrée, chaque issue a une probabilité de 1/8.
P(Obtenir exactement 2 Faces) ? Issues : PFF, FPF, FFP (3 issues). P = 3/8.
Quand tu fais un arbre de probabilités, n’oublie pas :
1. La somme des probas qui partent d’un même « nœud » (point) doit faire 1.
2. La probabilité d’un chemin (une issue) = Produit des probas le long des branches.
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Vocabulaire) : On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
a) Décrire l’univers \(\Omega\). Combien y a-t-il d’issues ?
b) Soit A= »Tirer un Roi » et B= »Tirer un Cœur ». Décrire \(A\), \(B\), \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(\bar{A}\).
c) Calculer P(A), P(B), P(\(A \cap B\)), P(\(A \cup B\)), P(\(\bar{A}\)) (on suppose l’équiprobabilité). -
Exercice 2 (Arbre) : Une urne contient 3 boules Rouges (R) et 2 boules Noires (N). On tire successivement et sans remise deux boules.
a) Dessiner un arbre pondéré représentant la situation.
b) Quelle est la probabilité de tirer deux boules Rouges ?
c) Quelle est la probabilité de tirer une boule de chaque couleur ?
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Jeu de cartes)
a) Univers : \(\Omega\) = \{7C, 8C, …, AC, 7K, …, AK, 7P, …, AP, 7T, …, AT\}.
Il y a 32 issues possibles.
b) Description des événements :
\(A\)= »Tirer un Roi » = \{RC, RK, RP, RT\} (4 issues)
\(B\)= »Tirer un Cœur » = \{7C, 8C, 9C, 10C, VC, DC, RC, AC\} (8 issues)
\(A \cap B\)= »Tirer un Roi ET un Cœur » = \{RC\} (1 issue)
\(A \cup B\)= »Tirer un Roi OU un Cœur » = \{RC, RK, RP, RT, 7C, 8C, 9C, 10C, VC, DC, AC\} (4 Rois + 8 Cœurs – 1 Roi de Cœur en commun = 11 issues)
\(\bar{A}\)= »Ne pas tirer un Roi » (32 – 4 = 28 issues)
c) Calcul des probabilités (équiprobabilité) :
\(P(A) = \frac{\text{Nb Rois}}{\text{Total}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
\(P(B) = \frac{\text{Nb Cœurs}}{\text{Total}} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\)
\(P(A \cap B) = \frac{\text{Nb Rois de Cœur}}{\text{Total}} = \frac{1}{32}\)
\(P(A \cup B)\) : On peut utiliser la formule : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{4}{32} + \frac{8}{32} – \frac{1}{32} = \frac{11}{32}\) (ou compter les issues : 11/32).
\(P(\bar{A}) = 1 – P(A) = 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\) (ou compter les issues : 28/32 = 7/8).
Correction Exercice 2 (Arbre sans remise)
a) Arbre pondéré :
Total initial : 5 boules (3R, 2N).
Niveau 1 (1er tirage) :
– Branche R : Proba \(3/5\)
– Branche N : Proba \(2/5\)
Niveau 2 (2ème tirage, SANS remise – il reste 4 boules !) :
– Si on a tiré R au 1er (reste 2R, 2N) :
– Branche R : Proba \(2/4\)
– Branche N : Proba \(2/4\)
– Si on a tiré N au 1er (reste 3R, 1N) :
– Branche R : Proba \(3/4\)
– Branche N : Proba \(1/4\)
(Dessine l’arbre pour mieux visualiser !)
b) Probabilité de tirer deux Rouges (Chemin R-R) :
On multiplie les probabilités le long des branches :
\(P(R \cap R) = P(\text{R au 1er}) \times P(\text{R au 2ème sachant R au 1er}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\).
c) Probabilité de tirer une boule de chaque couleur :
Il y a deux chemins possibles : R-N ou N-R.
Chemin R-N : \(P(R \cap N) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}\)
Chemin N-R : \(P(N \cap R) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20}\)
Ces deux événements (R-N et N-R) sont incompatibles (on ne peut pas avoir les deux en même temps).
La probabilité de l’un OU l’autre est la somme des probabilités :
\(P(\text{une de chaque}) = P(R \cap N) + P(N \cap R) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\).
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