FICHE DE RÉVISION – Polynômes du Second degré
(Niveau : Première)
Polynômes du Second Degré
Tout sur les paraboles : formes canonique et factorisée, discriminant, résolution d’équations et inéquations, optimisation.
Partie 1 : Définition et Différentes Formes
Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui peut s’écrire sous la forme développée réduite : $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ où \(a\), \(b\), \(c\) sont des réels et \(a \neq 0\).
Sa courbe représentative est une parabole.
Cette fonction peut aussi s’écrire sous deux autres formes très utiles :
- Forme Canonique : \(f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta\)
- Forme Factorisée (si elle existe) : \(f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\)
– **Développée \(ax^2+bx+c\) :** Utile pour calculer \(f(0) = c\) (l’ordonnée à l’origine).
– **Canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) :** Donne directement les coordonnées du sommet \(S(\alpha, \beta)\) de la parabole. C’est la forme reine pour trouver le maximum ou le minimum et étudier les variations.
– **Factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\) :** Donne directement les racines \(x_1\) et \(x_2\) (les abscisses où la parabole coupe l’axe des \(x\)). Indispensable pour résoudre \(f(x)=0\) et étudier le signe.
Savoir passer d’une forme à l’autre est une compétence clé !
Partie 2 : Forme Canonique, Sommet et Variations
Toute fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) peut s’écrire sous forme canonique : $$ f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta $$ avec \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\) (c’est l’image de \(\alpha\)).
Le point \(S(\alpha, \beta)\) est le sommet de la parabole.
Variations : Elles dépendent du signe de \(a\).
- Si \(a > 0\) : La parabole est « ouverte vers le haut » (forme de U). La fonction est décroissante sur \(]-\infty, \alpha]\) puis croissante sur \([\alpha, +\infty[\). Elle admet un minimum \(\beta\) atteint en \(x=\alpha\).
- Si \(a < 0\) : La parabole est "ouverte vers le bas" (forme de ∩). La fonction est croissante sur \(]-\infty, \alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha, +\infty[\). Elle admet un maximum \(\beta\) atteint en \(x=\alpha\).
Soit \(f(x) = 2x^2 – 4x + 5\). Ici \(a=2, b=-4, c=5\).
Calcul du sommet :
\(\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1\).
\(\beta = f(\alpha) = f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 5 = 2 – 4 + 5 = 3\).
Le sommet est \(S(1, 3)\).
Forme canonique : \(f(x) = 2(x – 1)^2 + 3\).
Variations : Comme \(a=2 > 0\), la fonction est décroissante sur \(]-\infty, 1]\), croissante sur \([1, +\infty[\). Elle a un minimum de 3, atteint en x=1.
Partie 3 : Équation du Second Degré et Discriminant \(\Delta\)
Résoudre l’équation \(ax^2 + bx + c = 0\) revient à trouver les racines de la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\).
On calcule le discriminant : $$ \Delta = b^2 – 4ac $$ Le signe de \(\Delta\) détermine le nombre de solutions (racines) :
- Si \(\Delta > 0\) : L’équation a deux solutions réelles distinctes : $$ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$
- Si \(\Delta = 0\) : L’équation a une unique solution réelle (dite « racine double ») : $$ x_0 = -\frac{b}{2a} $$ (C’est l’abscisse \(\alpha\) du sommet !)
- Si \(\Delta < 0\) : L'équation n'a aucune solution réelle. \(S = \emptyset\).
Démonstration (Résolution de l’équation)
On part de \(ax^2 + bx + c = 0\) (avec \(a \neq 0\)).
1. On met \(a\) en facteur (début de la forme canonique) :
\(a \left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right] = 0\)
2. On reconnaît le début d’une identité remarquable \((x + …)^2\) :
\(x^2 + \frac{b}{a}x\) est le début de \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + 2(x)\left(\frac{b}{2a}\right) + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\).
Donc, \(x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a^2}\).
3. On remplace dans l’équation :
\(a \left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] = 0\)
4. On met les constantes au même dénominateur (\(4a^2\)) :
\(- \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = – \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2} = – \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}\)
5. L’équation devient (forme canonique) :
\(a \left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{\Delta}{4a^2} \right] = 0\) (où \(\Delta = b^2 – 4ac\))
6. Comme \(a \neq 0\), on peut diviser par \(a\) :
\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}\)
7. Discussion selon le signe de \(\Delta\) :
– Si \(\Delta < 0\) : Le membre de droite est < 0, le membre de gauche (un carré) est \(\ge 0\). Impossible. Pas de solution.
– Si \(\Delta = 0\) : L’équation devient \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0\), ce qui donne une seule solution \(x + \frac{b}{2a} = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}\).
– Si \(\Delta > 0\) : L’équation est de la forme \(X^2 = K\) avec \(K > 0\). Elle a deux solutions \(X = \sqrt{K}\) et \(X = -\sqrt{K}\).
Ici \(X = x + \frac{b}{2a}\) et \(K = \frac{\Delta}{4a^2}\) dont la racine est \(\sqrt{K} = \frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{4a^2}} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|2a|}\). Pour simplifier, on écrit \(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\) (quitte à ajuster le signe \(\pm\) devant).
\(x + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\) ou \(x + \frac{b}{2a} = -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x = -\frac{b}{2a} – \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\). On retrouve les deux formules.
Résoudre \(2x^2 – 5x + 3 = 0\).
\(a=2, b=-5, c=3\).
\(\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4(2)(3) = 25 – 24 = 1\).
\(\Delta > 0\), il y a deux solutions. \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1\).
\(x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) – 1}{2(2)} = \frac{5 – 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + 1}{2(2)} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).
Solution : \(S = \{1, \frac{3}{2}\}\).
Partie 4 : Factorisation et Signe du Trinôme
1. Forme Factorisée
Le lien entre le discriminant \(\Delta\) et la factorisation de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est direct :
- Si \(\Delta > 0\) (deux racines \(x_1, x_2\)) : $$ f(x) = a(x – x_1)(x – x_2) $$
- Si \(\Delta = 0\) (une racine double \(x_0\)) : $$ f(x) = a(x – x_0)^2 $$
- Si \(\Delta < 0\) (pas de racine réelle) : \(f(x)\) ne peut pas se factoriser (avec des facteurs du premier degré).
Factoriser \(f(x) = 2x^2 – 5x + 3\).
On a trouvé \(\Delta=1\) et les racines \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3/2\). \(a=2\).
Donc \(f(x) = 2(x – 1)(x – 3/2)\).
(On peut vérifier en développant).
2. Signe du Trinôme
Le signe de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) dépend du signe de \(\Delta\) et du signe de \(a\).
- Si \(\Delta < 0\) : \(f(x)\) est toujours du signe de \(a\) (et ne s’annule jamais).
- Si \(\Delta = 0\) : \(f(x)\) est toujours du signe de \(a\), sauf en \(x_0\) où il vaut 0.
- Si \(\Delta > 0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines (\(x < x_1\) ou \(x > x_2\)) et du signe contraire de \(a\) entre les racines (\(x_1 < x < x_2\)).
Dessine la parabole dans ta tête :
– Si \(a>0\) (U) et \(\Delta>0\) : Elle est positive (+), coupe l’axe (0), devient négative (-), recoupe l’axe (0), redevient positive (+). Donc « + 0 – 0 + ».
– Si \(a<0\) (∩) et \(\Delta>0\) : Elle est négative (-), coupe l’axe (0), devient positive (+), recoupe l’axe (0), redevient négative (-). Donc « – 0 + 0 -« .
Si \(\Delta \le 0\), la parabole ne traverse pas (ou touche juste) l’axe, donc elle garde toujours le signe de \(a\).
Étudier le signe de \(f(x) = 2x^2 – 5x + 3\).
On a \(a=2\) (positif), \(\Delta=1\) (positif), racines \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3/2\).
Le trinôme est du signe de \(a\) (positif) à l’extérieur des racines, et du signe contraire (négatif) entre les racines.
Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | 1 | 3/2 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | + | 0 | – | 0 | + |
On peut en déduire la résolution d’inéquations, par exemple \(f(x) \le 0\) a pour solution \(S = [1, 3/2]\).
Partie 5 : Somme et Produit des Racines
Quand \(\Delta \ge 0\), on peut trouver des relations intéressantes entre les racines \(x_1, x_2\) et les coefficients \(a, b, c\).
Si l’équation \(ax^2 + bx + c = 0\) a des racines \(x_1\) et \(x_2\) (distinctes ou confondues) :
- Somme des racines : \( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- Produit des racines : \( P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)
Utile pour :
– Vérifier des solutions trouvées.
– Trouver la deuxième racine si on en connaît une « évidente » (ex: 1, -1, 2…).
– Trouver les racines sans calculer \(\Delta\) si on voit deux nombres dont la somme est \(-b/a\) et le produit \(c/a\).
Soit \(2x^2 – 5x + 3 = 0\). Racines \(x_1=1, x_2=3/2\). \(a=2, b=-5, c=3\).
Vérification :
Somme \(x_1+x_2 = 1 + 3/2 = 5/2\). Formule : \(-b/a = -(-5)/2 = 5/2\). OK.
Produit \(x_1 x_2 = 1 \times 3/2 = 3/2\). Formule : \(c/a = 3/2\). OK.
Trouver les racines de \(x^2 – 5x + 6 = 0\). (\(a=1, b=-5, c=6\)).
On cherche deux nombres \(x_1, x_2\) tels que :
\(x_1 + x_2 = -b/a = -(-5)/1 = 5\)
\(x_1 x_2 = c/a = 6/1 = 6\)
On voit « facilement » que \(x_1=2\) et \(x_2=3\) conviennent (\(2+3=5\) et \(2 \times 3=6\)).
Solution : \(S = \{2, 3\}\).
Partie 6 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Formes et Sommet) : Soit \(f(x) = -x^2 + 6x – 5\).
a) Trouver la forme canonique de \(f\).
b) En déduire les coordonnées du sommet et les variations de \(f\).
c) Résoudre \(f(x) = 0\). En déduire la forme factorisée. - Exercice 2 (Signe) : Étudier le signe du trinôme \(g(x) = 3x^2 + 6x + 3\).
-
Exercice 3 (Somme/Produit) : Soit l’équation \(x^2 + x – 6 = 0\).
a) Vérifier que \(x_1 = 2\) est une racine « évidente ».
b) En utilisant la somme OU le produit des racines, trouver l’autre racine \(x_2\) sans calculer \(\Delta\). -
Exercice 4 (Choix de la forme) : Soit \(h(x) = (x-4)^2 – 9\).
a) Quelle forme est la plus simple pour calculer \(h(4)\) ? Calculer \(h(4)\).
b) Quelle forme est la plus simple pour résoudre \(h(x) = 0\) ? Résoudre \(h(x) = 0\).
c) Quelle forme est la plus simple pour trouver le minimum de \(h\) ? Quel est ce minimum ?
Partie 7 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Formes et Sommet)
\(f(x) = -x^2 + 6x – 5\). \(a=-1, b=6, c=-5\).
a) Forme canonique :
\(\alpha = -b/(2a) = -6/(2 \times -1) = -6/(-2) = 3\).
\(\beta = f(\alpha) = f(3) = -(3)^2 + 6(3) – 5 = -9 + 18 – 5 = 4\).
Forme canonique : \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta = -1(x – 3)^2 + 4 = -(x-3)^2 + 4\).
b) Sommet et Variations :
Le sommet est \(S(\alpha, \beta) = (3, 4)\).
Comme \(a = -1 < 0\), la parabole est ouverte vers le bas.
La fonction \(f\) est croissante sur \(]-\infty, 3]\) et décroissante sur \([3, +\infty[\).
Elle admet un maximum de 4, atteint en \(x=3\).
c) Résolution de \(f(x) = 0\) et Forme factorisée :
Calculons \(\Delta = b^2 – 4ac = 6^2 – 4(-1)(-5) = 36 – 20 = 16\). \(\sqrt{\Delta} = 4\).
\(\Delta > 0\), deux racines :
\(x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 – 4}{2(-1)} = \frac{-10}{-2} = 5\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + 4}{2(-1)} = \frac{-2}{-2} = 1\).
Solutions \(S = \{1, 5\}\).
Forme factorisée : \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = -1(x – 1)(x – 5) = -(x-1)(x-5)\).
Correction Exercice 2 (Signe)
\(g(x) = 3x^2 + 6x + 3\). \(a=3, b=6, c=3\).
1. Calcul du discriminant :
\(\Delta = b^2 – 4ac = 6^2 – 4(3)(3) = 36 – 36 = 0\).
2. Cas \(\Delta = 0\) : Le trinôme a une racine double \(x_0 = -b/(2a) = -6/(2 \times 3) = -6/6 = -1\).
3. Signe : Puisque \(\Delta = 0\), le trinôme est toujours du signe de \(a\) (sauf en \(x_0\)).
Ici \(a=3\) est positif.
Conclusion : \(g(x)\) est positif pour tout \(x \neq -1\), et \(g(x) = 0\) pour \(x = -1\).
(Autre méthode : \(g(x) = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x+1)^2\). Un carré est toujours \(\ge 0\)).
Correction Exercice 3 (Somme/Produit)
\(x^2 + x – 6 = 0\). \(a=1, b=1, c=-6\).
a) Vérifier que \(x_1 = 2\) est racine :
On remplace \(x\) par 2 dans l’équation : \(2^2 + 2 – 6 = 4 + 2 – 6 = 0\). C’est bien vérifié.
b) Trouver l’autre racine \(x_2\) :
Méthode Somme : On sait que \(x_1 + x_2 = -b/a = -1/1 = -1\).
Donc \(2 + x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = -1 – 2 = -3\).
Méthode Produit : On sait que \(x_1 x_2 = c/a = -6/1 = -6\).
Donc \(2 \times x_2 = -6 \Rightarrow x_2 = -6 / 2 = -3\).
L’autre racine est \(x_2 = -3\). \(S = \{2, -3\}\).
Correction Exercice 4 (Choix de la forme)
\(h(x) = (x-4)^2 – 9\).
a) Calculer \(h(4)\) : La forme donnée est la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(a=1, \alpha=4, \beta=-9\).
Elle est parfaite pour calculer l’image du sommet \(\alpha\).
\(h(4) = (4-4)^2 – 9 = 0^2 – 9 = -9\).
b) Résoudre \(h(x) = 0\) : La forme canonique est pratique ici aussi.
\((x-4)^2 – 9 = 0\)
\((x-4)^2 = 9\)
C’est de la forme \(X^2 = 9\), donc \(X=3\) ou \(X=-3\).
Cas 1 : \(x-4 = 3 \Rightarrow x = 7\).
Cas 2 : \(x-4 = -3 \Rightarrow x = 1\).
Solution \(S = \{1, 7\}\).
(Autre méthode : factoriser \(h(x)\) comme une différence de carrés \(A^2-B^2\) avec \(A=x-4\) et \(B=3\). \(h(x) = [(x-4)-3][(x-4)+3] = (x-7)(x-1)\). Les racines sont bien 1 et 7).
c) Trouver le minimum : La forme canonique donne directement le sommet.
\(h(x) = 1(x-4)^2 + (-9)\).
Ici \(a=1 > 0\), donc la parabole est ouverte vers le haut. Le sommet est un minimum.
Le sommet est \(S(\alpha, \beta) = (4, -9)\).
Le minimum de \(h\) est \(\beta = -9\), atteint en \(x=\alpha=4\).
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