FICHE DE RÉVISION – Dérivation
(Niveau : Première)
Analyse : Dérivation
Le concept clé pour étudier les variations « locales » d’une fonction : nombre dérivé, tangente et fonction dérivée.
Partie 1 : Approche Locale – Taux de Variation et Nombre Dérivé
On cherche à savoir comment « vite » une fonction \(f\) change autour d’un point d’abscisse \(a\).
1. Taux de Variation
Le taux de variation (ou taux d’accroissement) de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) (où \(h \neq 0\) est un petit nombre) est : $$ T(h) = \frac{f(a+h) – f(a)}{h} $$ Interprétation graphique : C’est la pente (coefficient directeur) de la droite sécante à la courbe \(C_f\) passant par les points d’abscisses \(a\) et \(a+h\).
Soit \(f(x) = x^2\). Calculons le taux de variation entre \(a=1\) et \(a+h=1+h\).
\(f(1) = 1^2 = 1\).
\(f(1+h) = (1+h)^2 = 1^2 + 2(1)(h) + h^2 = 1 + 2h + h^2\).
\(T(h) = \frac{f(1+h) – f(1)}{h} = \frac{(1 + 2h + h^2) – 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h}\)
Comme \(h \neq 0\), on peut simplifier par \(h\) : \(T(h) = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h\).
La pente de la sécante entre 1 et \(1+h\) est \(2+h\).
2. Nombre Dérivé
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), est la limite (si elle existe et est finie) du taux de variation lorsque \(h\) tend vers 0. $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} $$ On dit alors que \(f\) est dérivable en \(a\).
Interprétation graphique : \(f'(a)\) est la pente (coefficient directeur) de la tangente à la courbe \(C_f\) au point d’abscisse \(a\).
Pour \(f(x) = x^2\) en \(a=1\). Le taux de variation est \(T(h) = 2+h\).
Quand \(h \to 0\), \(T(h)\) tend vers \(2+0 = 2\).
Donc, le nombre dérivé de \(f\) en 1 est \(f'(1) = 2\).
Cela signifie que la tangente à la parabole \(y=x^2\) au point (1, 1) a une pente de 2.
3. Équation de la Tangente
La tangente à la courbe \(C_f\) au point d’abscisse \(a\) est la droite qui passe par le point \(A(a, f(a))\) et qui a pour pente \(f'(a)\).
Son équation réduite est : $$ y = f'(a)(x – a) + f(a) $$
Démonstration (Équation de la tangente)
Soit \(T_a\) la tangente au point \(A(a, f(a))\).
1. C’est une droite non verticale (sauf cas très particuliers), donc son équation est de la forme \(y = mx + p\).
2. Sa pente \(m\) est, par définition, le nombre dérivé : \(m = f'(a)\).
L’équation devient \(y = f'(a)x + p\).
3. Le point \(A(a, f(a))\) appartient à la tangente. Ses coordonnées vérifient l’équation :
\(f(a) = f'(a) \times a + p\).
4. On isole \(p\) : \(p = f(a) – f'(a)a\).
5. On remplace \(p\) dans l’équation de la droite :
\(y = f'(a)x + (f(a) – f'(a)a)\)
\(y = f'(a)x – f'(a)a + f(a)\)
6. On factorise par \(f'(a)\) :
\(y = f'(a)(x – a) + f(a)\).
C’est bien la formule annoncée.
Équation de la tangente à \(f(x) = x^2\) au point d’abscisse \(a=1\).
On a \(a=1\), \(f(a)=f(1)=1\), et on a calculé \(f'(a)=f'(1)=2\).
La formule est \(y = f'(1)(x – 1) + f(1)\).
\(y = 2(x – 1) + 1\)
\(y = 2x – 2 + 1\)
Équation : \(y = 2x – 1\).
Partie 2 : Approche Globale – Fonction Dérivée
Si une fonction \(f\) est dérivable en chaque point \(x\) d’un intervalle \(I\), on peut définir une nouvelle fonction sur \(I\).
La fonction dérivée de \(f\), notée \(f’\), est la fonction qui, à chaque \(x\) de \(I\), associe le nombre dérivé \(f'(x)\).
\( f’ : x \mapsto f'(x) \)
1. Dérivées des Fonctions Usuelles (À SAVOIR PAR CŒUR !)
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Intervalle de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\)) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) si \(n>0\), \(\mathbb{R}^*\) si \(n<0\) |
| \(\frac{1}{x}\) (cas \(n=-1\)) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0, +\infty[\) |
Cas particuliers de \(x^n\) :
\((x^2)’ = 2x^1 = 2x\)
\((x^3)’ = 3x^2\)
Démonstration (Dérivée de \(x^2\))
Soit \(f(x) = x^2\). On calcule le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\).
\(T(h) = \frac{f(a+h) – f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 – a^2}{h}\)
\(T(h) = \frac{(a^2 + 2ah + h^2) – a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}\)
Comme \(h \neq 0\), \(T(h) = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h\).
Le nombre dérivé en \(a\) est la limite quand \(h \to 0\) :
\(f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a\).
Comme c’est vrai pour tout \(a\), la fonction dérivée est \(f'(x) = 2x\).
Démonstration (Non-dérivabilité de \(\sqrt{x}\) en 0)
Soit \(f(x) = \sqrt{x}\). On étudie le taux de variation en \(a=0\), pour \(h > 0\).
\(T(h) = \frac{f(0+h) – f(0)}{h} = \frac{\sqrt{h} – \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h}\)
On sait que \(h = (\sqrt{h})^2\). Donc :
\(T(h) = \frac{\sqrt{h}}{(\sqrt{h})^2} = \frac{1}{\sqrt{h}}\).
On cherche la limite quand \(h \to 0\) (par valeurs positives) :
Quand \(h\) devient un nombre positif très très petit, \(\sqrt{h}\) aussi.
L’inverse d’un nombre positif très très petit, \(1/\sqrt{h}\), devient infiniment grand (\(+\infty\)).
La limite n’est pas un nombre fini. Donc \(f(x) = \sqrt{x}\) n’est pas dérivable en 0.
(Graphiquement, la courbe de \(\sqrt{x}\) a une tangente verticale à l’origine, dont la pente est infinie).
2. Opérations sur les Dérivées (TRÈS IMPORTANT !)
Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables et \(k\) est une constante :
| Opération \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(u(x) + v(x)\) | \(u'(x) + v'(x)\) |
| \(k \times u(x)\) | \(k \times u'(x)\) |
| \(u(x) \times v(x)\) | \(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) |
| \(\frac{1}{v(x)}\) (où \(v(x) \neq 0\)) | \(-\frac{v'(x)}{[v(x)]^2}\) |
| \(\frac{u(x)}{v(x)}\) (où \(v(x) \neq 0\)) | \(\frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\) |
| \(g(ax+b)\) (composée affine) | \(a \times g'(ax+b)\) |
Démonstration (Dérivée d’un produit \(uv\))
Soit \(f(x) = u(x)v(x)\). On calcule le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\).
\(T(h) = \frac{f(a+h) – f(a)}{h} = \frac{u(a+h)v(a+h) – u(a)v(a)}{h}\).
Astuce : on ajoute et on retranche \(u(a)v(a+h)\) au numérateur :
\(T(h) = \frac{u(a+h)v(a+h) – u(a)v(a+h) + u(a)v(a+h) – u(a)v(a)}{h}\)
On sépare en deux fractions et on factorise :
\(T(h) = \frac{[u(a+h) – u(a)]v(a+h)}{h} + \frac{u(a)[v(a+h) – v(a)]}{h}\)
\(T(h) = \frac{u(a+h) – u(a)}{h} \times v(a+h) + u(a) \times \frac{v(a+h) – v(a)}{h}\)
Maintenant, on fait tendre \(h\) vers 0 :
– \(\frac{u(a+h) – u(a)}{h} \to u'(a)\)
– \(v(a+h) \to v(a)\) (car v est dérivable donc continue)
– \(u(a)\) reste \(u(a)\)
– \(\frac{v(a+h) – v(a)}{h} \to v'(a)\)
Donc, la limite de \(T(h)\) est \(f'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)\).
Calculer la dérivée de \(f(x) = x^3 + 5x^2 – \frac{1}{x} + 7\).
\(f'(x) = (x^3)’ + (5x^2)’ – (\frac{1}{x})’ + (7)’\) (dérivée d’une somme)
\(f'(x) = 3x^2 + 5(x^2)’ – (-\frac{1}{x^2}) + 0\) (dérivée de \(ku\) et formules)
\(f'(x) = 3x^2 + 5(2x) + \frac{1}{x^2}\)
\(f'(x) = 3x^2 + 10x + \frac{1}{x^2}\)
Calculer la dérivée de \(g(x) = (2x+3)\sqrt{x}\). C’est un produit \(u(x)v(x)\).
\(u(x) = 2x+3 \Rightarrow u'(x) = 2\)
\(v(x) = \sqrt{x} \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(g'(x) = u’v + uv’\)
\(g'(x) = 2\sqrt{x} + (2x+3)\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
(On peut mettre au même dénominateur pour simplifier si besoin).
Calculer la dérivée de \(h(x) = \frac{x+1}{x^2+1}\). C’est un quotient \(u(x)/v(x)\).
\(u(x) = x+1 \Rightarrow u'(x) = 1\)
\(v(x) = x^2+1 \Rightarrow v'(x) = 2x\)
\(h'(x) = \frac{u’v – uv’}{v^2}\)
\(h'(x) = \frac{1(x^2+1) – (x+1)(2x)}{(x^2+1)^2}\)
\(h'(x) = \frac{x^2+1 – (2x^2+2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 – 2x^2 – 2x}{(x^2+1)^2}\)
\(h'(x) = \frac{-x^2 – 2x + 1}{(x^2+1)^2}\)
Partie 3 : Lien entre Dérivée et Variations
C’est le résultat le plus important du chapitre ! Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
- Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x\) dans \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x\) dans \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\) dans \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
Si \(f'(a) = 0\) et que la dérivée change de signe en \(a\), alors \(f\) admet un extremum local (maximum ou minimum) en \(x=a\).
– Si la pente est positive (\(f’>0\)), la tangente « monte » \(\Rightarrow\) la fonction est croissante.
– Si la pente est négative (\(f’<0\)), la tangente "descend" \(\Rightarrow\) la fonction est décroissante.
– Si la pente est nulle (\(f’=0\)), la tangente est horizontale \(\Rightarrow\) on est peut-être à un sommet ou un creux (extremum).
Donc : pour étudier les variations d’une fonction, on calcule sa dérivée, on étudie le signe de la dérivée (souvent avec un tableau de signes !), et on en déduit les variations.
Étudier les variations de \(f(x) = x^3 – 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer la dérivée : \(f'(x) = 3x^2 – 3\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) : C’est un trinôme du second degré (\(a=3, b=0, c=-3\)).
Racines : \(3x^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow 3x^2 = 3 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x=1\) ou \(x=-1\).
Signe : C’est du signe de \(a=3\) (positif) à l’extérieur des racines (-1 et 1).
Tableau de signes de \(f’\) et variations de \(f\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | -1 | 1 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | + | 0 | – | 0 | + | ||
| Variations de \(f(x)\) | \(\nearrow\) | \(f(-1)\) | \(\searrow\) | \(f(1)\) | \(\nearrow\) |
Calcul des extremums locaux :
\(f(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3\) (Maximum local).
\(f(1) = (1)^3 – 3(1) + 1 = 1 – 3 + 1 = -1\) (Minimum local).
Conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty, -1]\), décroissante sur \([-1, 1]\), et croissante sur \([1, +\infty[\).
Partie 4 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Calcul de dérivées) : Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
a) \(f(x) = 5x^3 – 2x^2 + x – 7\)
b) \(g(x) = \frac{3}{x} + 4\sqrt{x}\)
c) \(h(x) = (-2x+1)(x^2+3)\)
d) \(k(x) = \frac{2x-1}{x+4}\) -
Exercice 2 (Tangente) : Soit \(f(x) = x^2 + 1\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Déterminer l’équation de la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse \(a=2\). - Exercice 3 (Variations) : Étudier le sens de variation de la fonction \(m(x) = \frac{1}{3}x^3 – 4x + 2\) sur \(\mathbb{R}\).
Partie 5 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Calcul de dérivées)
a) \(f(x) = 5x^3 – 2x^2 + x – 7\) : Somme de termes.
\(f'(x) = 5(3x^2) – 2(2x) + 1 – 0 = 15x^2 – 4x + 1\).
b) \(g(x) = \frac{3}{x} + 4\sqrt{x} = 3 \times \frac{1}{x} + 4 \times \sqrt{x}\) :
\(g'(x) = 3 \times (-\frac{1}{x^2}) + 4 \times (\frac{1}{2\sqrt{x}}) = -\frac{3}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}}\).
c) \(h(x) = (-2x+1)(x^2+3)\) : Forme \(u \times v\).
\(u = -2x+1 \Rightarrow u’ = -2\)
\(v = x^2+3 \Rightarrow v’ = 2x\)
\(h'(x) = u’v + uv’ = (-2)(x^2+3) + (-2x+1)(2x)\)
\(h'(x) = -2x^2 – 6 + (-4x^2 + 2x)\)
\(h'(x) = -6x^2 + 2x – 6\).
d) \(k(x) = \frac{2x-1}{x+4}\) : Forme \(u / v\).
\(u = 2x-1 \Rightarrow u’ = 2\)
\(v = x+4 \Rightarrow v’ = 1\)
\(k'(x) = \frac{u’v – uv’}{v^2} = \frac{(2)(x+4) – (2x-1)(1)}{(x+4)^2}\)
\(k'(x) = \frac{2x+8 – 2x + 1}{(x+4)^2} = \frac{9}{(x+4)^2}\).
Correction Exercice 2 (Tangente)
\(f(x) = x^2 + 1\).
a) Dérivée : \(f'(x) = 2x\).
b) Équation de la tangente en \(a=2\) :
Formule : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
On calcule les ingrédients :
\(a = 2\)
\(f(a) = f(2) = 2^2 + 1 = 5\). Le point est (2, 5).
\(f'(a) = f'(2) = 2(2) = 4\). La pente est 4.
Application : \(y = 4(x – 2) + 5\)
\(y = 4x – 8 + 5\)
\(y = 4x – 3\).
Correction Exercice 3 (Variations)
\(m(x) = \frac{1}{3}x^3 – 4x + 2\).
1. Dérivée :
\(m'(x) = \frac{1}{3}(3x^2) – 4 + 0 = x^2 – 4\).
2. Signe de la dérivée : \(m'(x) = x^2 – 4\) est un trinôme du second degré (\(a=1, b=0, c=-4\)).
Racines : \(x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x=2\) ou \(x=-2\).
Signe : C’est du signe de \(a=1\) (positif) à l’extérieur des racines (-2 et 2).
3. Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | -2 | 2 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(m'(x)\) | + | 0 | – | 0 | + | ||
| Variations de \(m(x)\) | \(\nearrow\) | \(m(-2)\) | \(\searrow\) | \(m(2)\) | \(\nearrow\) |
Calcul des extremums locaux :
\(m(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 – 4(-2) + 2 = \frac{1}{3}(-8) + 8 + 2 = -\frac{8}{3} + 10 = -\frac{8}{3} + \frac{30}{3} = \frac{22}{3}\).
\(m(2) = \frac{1}{3}(2)^3 – 4(2) + 2 = \frac{8}{3} – 8 + 2 = \frac{8}{3} – 6 = \frac{8}{3} – \frac{18}{3} = -\frac{10}{3}\).
Conclusion : \(m\) est croissante sur \(]-\infty, -2]\), décroissante sur \([-2, 2]\), et croissante sur \([2, +\infty[\). Elle admet un maximum local en \(x=-2\) (valant 22/3) et un minimum local en \(x=2\) (valant -10/3).
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