FICHE DE RÉVISION – Variations et Courbes représentatives
(Niveau : Première)
Analyse : Variations et Courbes Représentatives
Utiliser la dérivée pour déterminer facilement les variations d’une fonction, trouver ses sommets/creux et résoudre des problèmes.
Partie 1 : Lien Fondamental entre Signe de la Dérivée et Variations
C’est LE théorème principal qui justifie l’utilisation de la dérivée pour étudier une fonction.
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
- Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x\) dans \(I\) (sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x\) dans \(I\) (sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\) dans \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
– Dérivée positive (+) \(\Rightarrow\) Fonction croissante (\(\nearrow\))
– Dérivée négative (-) \(\Rightarrow\) Fonction décroissante (\(\searrow\))
– Dérivée nulle (0) \(\Rightarrow\) Tangente horizontale (possible extremum)
L’étude des variations d’une fonction \(f\) passe donc systématiquement par l’étude du signe de sa dérivée \(f’\).
Reprenons \(f(x) = x^3 – 3x + 1\). On avait trouvé \(f'(x) = 3x^2 – 3\).
Le tableau de signes de \(f’\) était : ‘+’ sur \(]-\infty, -1]\), ‘-‘ sur \([-1, 1]\), ‘+’ sur \([1, +\infty[\).
On en déduit immédiatement les variations de \(f\) : croissante, puis décroissante, puis croissante, comme vu dans le chapitre précédent.
Partie 2 : Extremums Locaux et Globaux
La dérivée nous aide à localiser les « sommets » (maxima) et les « creux » (minima) de la courbe.
Un extremum local (maximum local ou minimum local) est le point le plus haut ou le plus bas dans un petit voisinage autour de ce point.
Condition nécessaire pour un extremum local : Si \(f\) admet un extremum local en un point \(a\) à l’intérieur d’un intervalle où elle est dérivable, alors \(f'(a) = 0\).
Interprétation graphique : En un extremum local (qui n’est pas au bord de l’intervalle), la tangente est horizontale (pente nulle).
Attention : La réciproque est fausse ! \(f'(a) = 0\) ne garantit pas un extremum (ex: fonction cube en \(x=0\)). Il faut que la dérivée change de signe en \(a\).
Un extremum global sur un intervalle \(I\) est la plus grande (maximum global) ou la plus petite (minimum global) valeur prise par \(f\) sur tout l’intervalle \(I\).
Comment trouver les extremums globaux sur un intervalle fermé \([a, b]\) ?
1. Chercher les points où \(f'(x) = 0\) à l’intérieur de \(]a, b[\).
2. Calculer les valeurs de \(f\) en ces points.
3. Calculer les valeurs de \(f\) aux bornes de l’intervalle (\(f(a)\) et \(f(b)\)).
4. Le plus grand de tous ces résultats est le maximum global, le plus petit est le minimum global.
Trouver les extremums globaux de \(f(x) = x^3 – 3x + 1\) sur l’intervalle \([-2, 3]\).
1. On sait que \(f'(x) = 3x^2 – 3\) s’annule en \(x=-1\) et \(x=1\). Ces points sont dans \(]-2, 3[\).
2. Valeurs aux points critiques : \(f(-1) = 3\), \(f(1) = -1\).
3. Valeurs aux bornes :
\(f(-2) = (-2)^3 – 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1\).
\(f(3) = (3)^3 – 3(3) + 1 = 27 – 9 + 1 = 19\).
4. Comparaison : Les valeurs sont \(-1, 3, -1, 19\).
Le maximum global est 19 (atteint en \(x=3\)).
Le minimum global est -1 (atteint en \(x=1\) et \(x=-2\)).
Partie 3 : Applications de l’Étude des Variations
1. Étude complète d’une fonction
Étapes pour étudier les variations de \(f\) :
- Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\).
- Calculer la fonction dérivée \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) (souvent avec un tableau de signes).
- Dresser le tableau de variations de \(f\) en utilisant le lien entre le signe de \(f’\) et les variations de \(f\).
- (Optionnel) Calculer les limites aux bornes et les valeurs des extremums locaux.
2. Problèmes d’Optimisation
On cherche à maximiser ou minimiser une quantité (aire, volume, coût, bénéfice…).
Méthode (avec la dérivée) :
- Modéliser le problème : choisir une variable \(x\), exprimer la quantité à optimiser \(Q\) en fonction de \(x\) (\(Q(x)\)), déterminer l’intervalle des valeurs possibles pour \(x\).
- Étudier les variations de la fonction \(Q(x)\) sur cet intervalle (en étudiant le signe de sa dérivée \(Q'(x)\)).
- Le tableau de variations permet de trouver la valeur de \(x\) qui rend \(Q(x)\) maximale ou minimale.
Reprenons le rectangle de périmètre 20m. Aire \(A(x) = -x^2 + 10x\) pour \(x \in ]0, 10[\).
1. Dérivée : \(A'(x) = -2x + 10\).
2. Signe de \(A'(x)\) : \(A'(x) = 0 \Leftrightarrow -2x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = 5\).
C’est une fonction affine décroissante (pente -2). Donc \(A'(x)\) est positive avant 5, négative après 5.
3. Tableau de variations sur \(]0, 10[\) :
| \(x\) | 0 | 5 | 10 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(A'(x)\) | + | 0 | – | ||
| Variations de \(A(x)\) | \(\nearrow\) | \(A(5)\) | \(\searrow\) |
\(A(5) = -5^2 + 10(5) = -25 + 50 = 25\).
Conclusion : L’aire est maximale (25 m²) lorsque \(x=5\) (le carré).
3. Inégalités et Position Relative
Pour prouver une inégalité \(f(x) \ge k\) sur un intervalle \(I\) :
On étudie les variations de \(f\) sur \(I\). Si le minimum de \(f\) sur \(I\) est supérieur ou égal à \(k\), alors l’inégalité est vraie.
Pour étudier la position relative de deux courbes \(C_f\) et \(C_g\) :
On étudie le signe de la fonction différence \(d(x) = f(x) – g(x)\) (souvent en étudiant les variations de \(d(x)\) via sa dérivée \(d'(x)\)).
– Si \(d(x) > 0\), alors \(f(x) > g(x)\), donc \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\).
– Si \(d(x) < 0\), alors \(f(x) < g(x)\), donc \(C_f\) est en dessous de \(C_g\).
– Si \(d(x) = 0\), les courbes se coupent.
4. Application aux Polynômes du Second Degré
L’étude de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) via sa dérivée confirme ce qu’on sait déjà.
\(f'(x) = 2ax + b\).
La dérivée s’annule pour \(2ax + b = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{b}{2a}\) (c’est bien l’abscisse \(\alpha\) du sommet !).
Le signe de \(f'(x)\) (fonction affine) dépend du signe de \(a\) :
– Si \(a > 0\), \(f’\) est négative puis positive \(\Rightarrow\) \(f\) est décroissante puis croissante (parabole U, minimum en \(\alpha\)).
– Si \(a < 0\), \(f'\) est positive puis négative \(\Rightarrow\) \(f\) est croissante puis décroissante (parabole ∩, maximum en \(\alpha\)).
Partie 4 : Méthode de Newton (Aperçu Algorithmique)
C’est un algorithme puissant (vu plus en détail après le bac) pour trouver une valeur approchée des solutions de l’équation \(f(x) = 0\).
Idée intuitive :
- On part d’une première approximation \(x_0\) de la racine.
- On trace la tangente à la courbe en \(x_0\).
- L’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses donne une meilleure approximation \(x_1\).
- On recommence : on trace la tangente en \(x_1\), son intersection donne \(x_2\), etc.
- Les valeurs \(x_0, x_1, x_2, …\) se rapprochent très vite de la vraie solution.
[Image illustrating Newton’s method steps]
(La formule de calcul (hors programme ici) est \(x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\))
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Étude complète) : Soit \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 5\) définie sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Étudier le signe de \(f'(x)\).
c) Dresser le tableau de variations complet de \(f\), en précisant les extremums locaux. -
Exercice 2 (Optimisation) : On veut construire une boîte rectangulaire sans couvercle à partir d’une feuille de carton carrée de 30 cm de côté, en découpant un carré de côté \(x\) à chaque coin et en repliant les bords.
a) Exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte en fonction de \(x\).
b) Pour quelles valeurs de \(x\) le problème a-t-il un sens ?
c) Trouver la valeur de \(x\) qui maximise le volume. - Exercice 3 (Position Relative) : Étudier la position relative des courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x+2\).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Étude complète)
\(f(x) = x^3 – 6x^2 + 5\)
a) Dérivée : \(f'(x) = 3x^2 – 12x\).
b) Signe de \(f'(x)\) :
On factorise : \(f'(x) = 3x(x – 4)\).
C’est un trinôme du second degré (\(a=3, b=-12, c=0\)). Racines : \(3x=0 \Rightarrow x=0\) et \(x-4=0 \Rightarrow x=4\).
Signe : C’est du signe de \(a=3\) (positif) à l’extérieur des racines (0 et 4).
c) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | 4 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | + | 0 | – | 0 | + | ||
| Variations de \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(f(0)\) | \(\searrow\) | \(f(4)\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Calcul des extremums locaux :
\(f(0) = 0^3 – 6(0)^2 + 5 = 5\) (Maximum local).
\(f(4) = 4^3 – 6(4)^2 + 5 = 64 – 6(16) + 5 = 64 – 96 + 5 = -27\) (Minimum local).
Conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty, 0]\), décroissante sur \([0, 4]\), et croissante sur \([4, +\infty[\).
Correction Exercice 2 (Optimisation)
Carton carré de 30 cm. On enlève un carré de côté \(x\) à chaque coin.
a) Volume \(V(x)\) :
Après découpe et pliage, la base de la boîte est un carré de côté \(30 – 2x\).
La hauteur de la boîte est \(x\).
Volume = Aire de la base \(\times\) Hauteur.
\(V(x) = (30 – 2x)^2 \times x\).
On peut développer : \(V(x) = (900 – 120x + 4x^2)x = 4x^3 – 120x^2 + 900x\).
b) Domaine de validité :
La longueur \(x\) doit être positive : \(x > 0\).
Le côté de la base doit être positif : \(30 – 2x > 0 \Rightarrow 30 > 2x \Rightarrow 15 > x\).
L’intervalle d’étude est \(I = ]0, 15[\).
c) Maximiser le volume :
On étudie les variations de \(V(x)\) sur \(]0, 15[\).
Dérivée : \(V'(x) = 4(3x^2) – 120(2x) + 900 = 12x^2 – 240x + 900\).
Signe de \(V'(x)\) : C’est un trinôme du second degré. On cherche ses racines.
\(\Delta = b^2 – 4ac = (-240)^2 – 4(12)(900) = 57600 – 43200 = 14400\).
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{14400} = 120\).
Racines :
\(x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{240 – 120}{2(12)} = \frac{120}{24} = 5\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{240 + 120}{2(12)} = \frac{360}{24} = 15\).
Le trinôme \(V'(x)\) est du signe de \(a=12\) (positif) à l’extérieur des racines 5 et 15.
Tableau de variations sur \(]0, 15[\) :
| \(x\) | 0 | 5 | 15 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(V'(x)\) | + | 0 | – | ||
| Variations de \(V(x)\) | \(\nearrow\) | Max | \(\searrow\) |
Conclusion : Le volume est maximal lorsque \(x = 5\) cm.
Correction Exercice 3 (Position Relative)
On étudie le signe de \(d(x) = f(x) – g(x) = x^2 – (x+2) = x^2 – x – 2\).
1. Signe de \(d(x)\) : C’est un trinôme du second degré (\(a=1, b=-1, c=-2\)).
Calcul de \(\Delta = b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\). \(\sqrt{\Delta} = 3\).
Racines :
\(x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 – 3}{2(1)} = \frac{-2}{2} = -1\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 + 3}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2\).
Le trinôme est du signe de \(a=1\) (positif) à l’extérieur des racines (-1 et 2).
2. Tableau de signes de \(d(x)\) et conclusion :
| \(x\) | \(-\infty\) | -1 | 2 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(d(x)\) \(= f(x)-g(x)\) | + | 0 | – | 0 | + | ||
| Position Relative | \(C_f\) au-dessus de \(C_g\) | Point d’intersection | \(C_f\) en dessous de \(C_g\) | Point d’intersection | \(C_f\) au-dessus de \(C_g\) |
Conclusion :
– Sur \(]-\infty, -1[\) et \(]2, +\infty[\), \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\).
– Sur \(]-1, 2[\), \(C_f\) est en dessous de \(C_g\).
– Les courbes se coupent en \(x=-1\) et \(x=2\).
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