FICHE DE RÉVISION – Calcul Vectoriel et Produit Scalaire
(Niveau : Première)
Géométrie : Calcul Vectoriel et Produit Scalaire
Le produit scalaire : un outil puissant pour l’orthogonalité, les longueurs et les angles en géométrie.
Partie 1 : Définitions et Formules du Produit Scalaire
Le produit scalaire est une nouvelle opération entre deux vecteurs qui donne un nombre (un scalaire), et non un vecteur. Il existe plusieurs façons de le calculer.
1. Définition Géométrique (avec le cosinus)
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls. Soient A, B, C trois points tels que \(\vec{u} = \vec{AB}\) et \(\vec{v} = \vec{AC}\). L’angle \(\widehat{BAC}\) est noté \((\vec{u}, \vec{v})\).
Le produit scalaire de \(\vec{u}\) par \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), est le nombre réel défini par : $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos((\vec{u}, \vec{v})) $$ où \(||\vec{u}||\) et \(||\vec{v}||\) sont les normes (longueurs) des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul : \(\vec{0} \cdot \vec{v} = 0\).
Si \(||\vec{u}|| = 3\), \(||\vec{v}|| = 2\) et l’angle entre eux est \(\pi/3\) (60°).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 \times \cos(\pi/3) = 6 \times \frac{1}{2} = 3\).
2. Définition avec la Projection Orthogonale
Soient \(\vec{u} = \vec{AB}\) et \(\vec{v} = \vec{AC}\).
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\).
- Si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AH}\) sont de même sens : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH\).
- Si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AH}\) sont de sens opposés : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -AB \times AH\).
Cette définition est très utile lorsque l’on peut facilement visualiser des projections orthogonales.
Dans un carré ABCD de côté 3, \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\) (vecteurs orthogonaux).
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) : H est B, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AB}\) sont de même sens.
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AB = 3 \times 3 = 9\).
3. Caractérisation de l’Orthogonalité
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul : $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$
Ceci inclut le cas où un des vecteurs est nul.
Le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{BC}\) dans un triangle rectangle ABC en B est 0.
Partie 2 : Propriétés du Produit Scalaire
1. Bilinéarité et Symétrie
- Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\).
- Bilinéarité : Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) et tout réel \(k\) :
\(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\) (distributivité)
\((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k (\vec{u} \cdot \vec{v})\)
\(\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k (\vec{u} \cdot \vec{v})\)
\((2\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = 2(\vec{u} \cdot \vec{w}) + (\vec{v} \cdot \vec{w})\).
2. Carré Scalaire et Norme
Le carré scalaire d’un vecteur \(\vec{u}\) est \(\vec{u} \cdot \vec{u}\).
Par définition : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{u}|| \times \cos(0) = ||\vec{u}||^2 \times 1 = ||\vec{u}||^2\).
Donc : \( \vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2 \).
Cette propriété est fondamentale car elle permet de relier le produit scalaire aux longueurs.
3. Identités Remarquables Vectorielles
En utilisant la bilinéarité et le carré scalaire, on obtient des identités remarquables :
- \( (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2 \)
- \( (\vec{u} – \vec{v})^2 = \vec{u}^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2 \)
- \( (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v}) = \vec{u}^2 – \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 – ||\vec{v}||^2 \)
Ces formules sont très utiles pour exprimer un produit scalaire en fonction de normes, et inversement.
Par exemple, de la première, on tire : $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 – ||\vec{u}||^2 – ||\vec{v}||^2 \right) $$ (utile si on connaît les longueurs des trois côtés d’un triangle).
Partie 3 : Produit Scalaire en Repère Orthonormé
1. Coordonnées et Expression du Produit Scalaire
Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\), si \(\vec{u}(x; y)\) et \(\vec{v}(x’; y’)\).
Le produit scalaire est donné par : $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ $$
Si \(\vec{u}(2; -3)\) et \(\vec{v}(1; 4)\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-3)(4) = 2 – 12 = -10\).
2. Norme d’un Vecteur en Repère Orthonormé
Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x; y)\) : $$ ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} $$ Donc \(||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2\).
Pour des points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\), on a \(\vec{AB}(x_B-x_A; y_B-y_A)\), donc la distance \(AB\) (longueur du segment \([AB]\)) est : $$ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} $$
3. Critère d’Orthogonalité en Coordonnées
Dans un repère orthonormé, deux vecteurs \(\vec{u}(x; y)\) et \(\vec{v}(x’; y’)\) sont orthogonaux si et seulement si : $$ xx’ + yy’ = 0 $$
Si \(\vec{u}(2; 3)\) et \(\vec{v}(-6; 4)\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-6) + (3)(4) = -12 + 12 = 0\).
Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux.
Partie 4 : Applications du Produit Scalaire
1. Formule d’Al-Kashi (ou Théorème de Pythagore Généralisé)
Dans un triangle ABC, on note \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\).
La formule d’Al-Kashi relie les longueurs des côtés à un angle : $$ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos(\widehat{A}) $$ $$ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos(\widehat{B}) $$ $$ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(\widehat{C}) $$ C’est une généralisation du théorème de Pythagore (si l’angle est droit, \(\cos(90^\circ)=0\), et on retrouve \(a^2=b^2+c^2\)).
Démonstration de la formule d’Al-Kashi (pour \(a^2\))
On veut prouver \(BC^2 = AC^2 + AB^2 – 2 AC \times AB \times \cos(\widehat{A})\).
\(BC^2 = ||\vec{BC}||^2 = ||\vec{AC} – \vec{AB}||^2\).
En utilisant l’identité remarquable vectorielle :
\(BC^2 = (\vec{AC} – \vec{AB})^2 = ||\vec{AC}||^2 – 2 \vec{AC} \cdot \vec{AB} + ||\vec{AB}||^2\).
On remplace les carrés scalaires par les normes au carré et le produit scalaire par sa définition avec le cosinus :
\(BC^2 = AC^2 – 2 (AC \times AB \times \cos(\widehat{A})) + AB^2\).
D’où : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos(\widehat{A})\). La démonstration est similaire pour les autres côtés.
2. Expression de \(\vec{MA} \cdot \vec{MB}\) (Relation de Chasles)
Pour tout point M, et des points A et B fixés :
On peut exprimer \(\vec{MA} \cdot \vec{MB}\) en introduisant un point O quelconque :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MO} + \vec{OA}) \cdot (\vec{MO} + \vec{OB})\)
ou, plus souvent, en introduisant le milieu I de \([AB]\) :
$$ \vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – \frac{1}{4}AB^2 $$
C’est une formule très utile pour étudier des ensembles de points.
Démonstration de \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – \frac{1}{4}AB^2\)
Soit I le milieu de \([AB]\). Donc \(\vec{IA} = -\vec{IB}\) et \(\vec{AB} = \vec{IB} – \vec{IA} = 2\vec{IB}\).
On utilise la relation de Chasles pour introduire I :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) \cdot (\vec{MI} + \vec{IB})\)
On développe (bilinéarité) :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \vec{MI} \cdot \vec{MI} + \vec{MI} \cdot \vec{IB} + \vec{IA} \cdot \vec{MI} + \vec{IA} \cdot \vec{IB}\)
On regroupe les termes et on utilise \(\vec{IA} = -\vec{IB}\) :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = ||\vec{MI}||^2 + \vec{MI} \cdot (\vec{IB} + \vec{IA}) + \vec{IA} \cdot \vec{IB}\)
Comme \(\vec{IB} + \vec{IA} = \vec{IB} – \vec{IB} = \vec{0}\) :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 + \vec{IA} \cdot \vec{IB}\)
On remplace \(\vec{IA}\) par \(-\vec{IB}\) :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – \vec{IB} \cdot \vec{IB} = MI^2 – ||\vec{IB}||^2\)
Enfin, \(\vec{IB}\) est la moitié de \(\vec{AB}\), donc \(||\vec{IB}|| = \frac{1}{2}||\vec{AB}||\).
\(MI^2 – \left(\frac{1}{2}AB\right)^2 = MI^2 – \frac{1}{4}AB^2\).
3. Ensemble des points M tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\)
L’ensemble des points M du plan tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
Cela signifie que pour tout point M sur ce cercle (sauf A et B), le triangle AMB est rectangle en M. (Ce que l’on appelle le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle ou le théorème de Thalès pour le cercle).
Démonstration de l’ensemble des points \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\)
On utilise la formule établie précédemment :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – \frac{1}{4}AB^2\).
Donc, \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 \Leftrightarrow MI^2 – \frac{1}{4}AB^2 = 0\).
\(MI^2 = \frac{1}{4}AB^2\).
\(MI = \sqrt{\frac{1}{4}AB^2} = \frac{1}{2}AB\).
L’ensemble des points M tels que \(MI = \frac{1}{2}AB\) est le cercle de centre I (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(\frac{1}{2}AB\).
C’est par définition le cercle de diamètre \([AB]\).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
- Exercice 1 (Calcul de PS avec l’angle) : Soit un triangle équilatéral ABC de côté 4. Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
-
Exercice 2 (Calcul de PS avec les coordonnées) : Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1; 2)\), \(B(4; -1)\), \(C(-1; 3)\).
a) Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
b) Le triangle ABC est-il rectangle ? - Exercice 3 (Al-Kashi) : Dans un triangle DEF, \(DE=5\), \(DF=7\) et l’angle \(\widehat{EDF} = 60^\circ\). Calculer la longueur \(EF\).
- Exercice 4 (Ensemble de points) : Soient A et B deux points distants de 6 cm. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 7\).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Calcul de PS avec l’angle)
Triangle équilatéral ABC de côté 4. Tous les angles mesurent 60° (\(\pi/3\) rad).
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| \times ||\vec{AC}|| \times \cos(\widehat{BAC})\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(60^\circ)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \times 4 \times \frac{1}{2}\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 16 \times \frac{1}{2} = 8\).
Correction Exercice 2 (Calcul de PS avec les coordonnées)
\(A(1; 2)\), \(B(4; -1)\), \(C(-1; 3)\).
a) Calcul de \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) :
On calcule les coordonnées des vecteurs :
\(\vec{AB} = (4-1; -1-2) = (3; -3)\).
\(\vec{AC} = (-1-1; 3-2) = (-2; 1)\).
Produit scalaire : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3)(-2) + (-3)(1) = -6 – 3 = -9\).
b) Le triangle ABC est-il rectangle ?
Pour qu’il soit rectangle, il faut que le produit scalaire de deux de ses côtés soit nul.
On a déjà \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -9 \neq 0\), donc pas rectangle en A.
Calculons \(\vec{BA} \cdot \vec{BC}\) :
\(\vec{BA} = (1-4; 2-(-1)) = (-3; 3)\).
\(\vec{BC} = (-1-4; 3-(-1)) = (-5; 4)\).
\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3)(-5) + (3)(4) = 15 + 12 = 27 \neq 0\), donc pas rectangle en B.
Calculons \(\vec{CA} \cdot \vec{CB}\) :
\(\vec{CA} = (1-(-1); 2-3) = (2; -1)\).
\(\vec{CB} = (4-(-1); -1-3) = (5; -4)\).
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (2)(5) + (-1)(-4) = 10 + 4 = 14 \neq 0\), donc pas rectangle en C.
Conclusion : Le triangle ABC n’est pas rectangle.
Correction Exercice 3 (Al-Kashi)
Triangle DEF, \(DE=5\), \(DF=7\), \(\widehat{EDF} = 60^\circ\).
On applique la formule d’Al-Kashi pour calculer \(EF^2\):
\(EF^2 = DE^2 + DF^2 – 2 \times DE \times DF \times \cos(\widehat{EDF})\)
\(EF^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \times 5 \times 7 \times \cos(60^\circ)\)
\(EF^2 = 25 + 49 – 2 \times 35 \times \frac{1}{2}\)
\(EF^2 = 74 – 35\)
\(EF^2 = 39\).
Donc \(EF = \sqrt{39}\).
Correction Exercice 4 (Ensemble de points)
A et B sont distants de 6 cm. On cherche les points M tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 7\).
On utilise la transformation de l’expression \(\vec{MA} \cdot \vec{MB}\) en introduisant I, le milieu de \([AB]\) :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – \frac{1}{4}AB^2\).
On remplace les valeurs connues : \(AB=6\).
\(MI^2 – \frac{1}{4}(6^2) = 7\)
\(MI^2 – \frac{1}{4}(36) = 7\)
\(MI^2 – 9 = 7\)
\(MI^2 = 7 + 9\)
\(MI^2 = 16\).
Puisque \(MI\) est une distance, \(MI \ge 0\).
\(MI = \sqrt{16} = 4\).
L’ensemble des points M tels que \(MI = 4\) est le cercle de centre I (milieu de \([AB]\)) et de rayon 4 cm.
Représentation :
1. Placez les points A et B (à 6 cm l’un de l’autre).
2. Placez le point I, milieu de \([AB]\) (à 3 cm de A et B).
3. Tracez le cercle de centre I et de rayon 4 cm. C’est l’ensemble cherché.
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