FICHE DE RÉVISION – Suites numériques (récurrences et limites)
(Niveau : Terminale)
Analyse : Suites Numériques (Limites et Récurrence)
Comportement des suites à l’infini : convergence, divergence, théorèmes clés et le puissant raisonnement par récurrence.
Partie 1 : Notion de Limite d’une Suite
On s’intéresse au comportement des termes \(u_n\) lorsque \(n\) devient très, très grand (\(n \to +\infty\)).
1. Limite Infinie (\(+\infty\) ou \(-\infty\))
On dit que la suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) (ou diverge vers \(+\infty\)) si ses termes deviennent aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang.
Définition formelle : Pour tout réel \(A\), il existe un rang \(N\) tel que si \(n \ge N\), alors \(u_n > A\). (Tout intervalle \([A, +\infty[\) contient tous les termes à partir d’un certain rang).
On dit que la suite \((u_n)\) tend vers \(-\infty\) si ses termes deviennent aussi petits (négativement grands) que l’on veut à partir d’un certain rang (définition similaire avec \(u_n < A\) pour \(A\) très petit).
\(u_n = n^2\). Quand \(n\) grandit, \(n^2\) devient énorme. \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
\(v_n = -n\). Quand \(n\) grandit, \(-n\) devient très négatif. \(\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty\).
2. Limite Finie (\(\ell\)) – Convergence
On dit que la suite \((u_n)\) converge vers un nombre réel \(\ell\) si ses termes deviennent aussi proches de \(\ell\) que l’on veut à partir d’un certain rang.
Définition formelle : Pour tout intervalle ouvert \(I\) contenant \(\ell\) (aussi petit soit-il), il existe un rang \(N\) tel que si \(n \ge N\), alors \(u_n \in I\).
Si une suite ne converge pas, on dit qu’elle diverge (soit vers \(\pm\infty\), soit sans limite comme \( (-1)^n \)).
\(u_n = 1/n\). Quand \(n\) devient très grand, \(1/n\) devient très proche de 0. \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\). La suite converge vers 0.
\(v_n = 3 – \frac{1}{\sqrt{n}}\). Quand \(n \to +\infty\), \(\sqrt{n} \to +\infty\), donc \(1/\sqrt{n} \to 0\). La suite converge vers \(3 – 0 = 3\).
Partie 2 : Théorèmes sur les Limites
1. Limites et Comparaison
Ces théorèmes permettent de déduire la limite d’une suite en la comparant à d’autres.
- Théorème de Comparaison (Divergence) : Si \(u_n \ge v_n\) à partir d’un certain rang et si \(\lim v_n = +\infty\), alors \(\lim u_n = +\infty\). (Si tu es plus grand que quelque chose qui devient infini…). Idem pour \(-\infty\) (\(u_n \le v_n\) et \(\lim v_n = -\infty \Rightarrow \lim u_n = -\infty\)).
- Théorème des Gendarmes (Convergence) : Si \(v_n \le u_n \le w_n\) à partir d’un certain rang et si \(\lim v_n = \lim w_n = \ell\), alors \(\lim u_n = \ell\). (Si tu es coincé entre deux suites qui tendent vers la même limite…).
Soit \(u_n = n + (-1)^n\). Comme \((-1)^n\) vaut 1 ou -1, on a \(n-1 \le u_n \le n+1\).
Ici, on peut dire : \(u_n \ge n-1\). Comme \(\lim (n-1) = +\infty\), alors par comparaison, \(\lim u_n = +\infty\).
Soit \(v_n = \frac{\cos(n)}{n}\) pour \(n \ge 1\).
On sait que \(-1 \le \cos(n) \le 1\).
En divisant par \(n\) (qui est positif) : \(-\frac{1}{n} \le \frac{\cos(n)}{n} \le \frac{1}{n}\).
Or, \(\lim (-1/n) = 0\) et \(\lim (1/n) = 0\).
Par le théorème des gendarmes, \(\lim v_n = 0\).
2. Opérations sur les Limites
Les limites se comportent bien avec les opérations (+, -, x, /), sauf dans certains cas appelés Formes Indéterminées (FI).
Les limites des sommes, produits, quotients s’obtiennent en général en « additionnant », « multipliant », « divisant » les limites (en faisant attention aux signes pour \(\infty\)).
Les 4 Formes Indéterminées (FI) : Ce sont les cas où on ne peut pas conclure directement. Il faut transformer l’expression pour « lever l’indétermination ».
- Somme : \( (+\infty) + (-\infty) \) ou \( (-\infty) + (+\infty) \)
- Produit : \( 0 \times \infty \)
- Quotient : \( \frac{\infty}{\infty} \)
- Quotient : \( \frac{0}{0} \)
\(u_n = n^2 – n\). C’est \(+\infty – \infty\) (FI). On factorise par le terme dominant : \(u_n = n^2(1 – 1/n)\).
Quand \(n \to +\infty\), \(n^2 \to +\infty\) et \((1 – 1/n) \to (1-0) = 1\).
Donc \(\lim u_n = +\infty \times 1 = +\infty\).
\(v_n = \frac{2n+1}{n+3}\). C’est \(\frac{\infty}{\infty}\) (FI). On factorise par le terme dominant en haut et en bas :
\(v_n = \frac{n(2 + 1/n)}{n(1 + 3/n)} = \frac{2 + 1/n}{1 + 3/n}\).
Quand \(n \to +\infty\), \(1/n \to 0\) et \(3/n \to 0\).
Donc \(\lim v_n = \frac{2+0}{1+0} = 2\).
Partie 3 : Suites Géométriques et Convergence Monotone
1. Limite d’une Suite Géométrique \((q^n)\)
Le comportement de la suite \(u_n = q^n\) dépend de la valeur de la raison \(q\) :
- Si \(q > 1\), alors \(\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty\).
- Si \(q = 1\), alors \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 1\).
- Si \(-1 < q < 1\) (ou \(|q| < 1\)), alors \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\).
- Si \(q \le -1\), la suite \((q^n)\) n’a pas de limite (elle diverge en oscillant).
\(\lim (1.02)^n = +\infty\) (car \(q=1.02 > 1\)).
\(\lim (0.8)^n = 0\) (car \(q=0.8 \in ]-1, 1[\)).
\(\lim (-0.5)^n = 0\) (car \(q=-0.5 \in ]-1, 1[\)).
\((-2)^n\) n’a pas de limite.
Démonstration (Limite de \(q^n\), via inégalité de Bernoulli)
Inégalité de Bernoulli : Pour tout réel \(x \ge -1\) et tout entier \(n \ge 0\), \((1+x)^n \ge 1 + nx\). (Se démontre par récurrence).
Cas \(q > 1\) : On pose \(q = 1+x\) avec \(x = q-1 > 0\).
D’après Bernoulli, \(q^n = (1+x)^n \ge 1 + nx\).
Comme \(x > 0\), \(\lim (1+nx) = +\infty\).
Par comparaison (\(q^n\) est minoré par une suite qui tend vers \(+\infty\)), \(\lim q^n = +\infty\).
Cas \(-1 < q < 1\) :
Si \(q=0\), \(q^n=0\) pour \(n \ge 1\), la limite est 0.
Si \(0 < |q| < 1\), alors \(1/|q| > 1\). Posons \(Q = 1/|q|\).
D’après le cas précédent, \(\lim Q^n = +\infty\).
Or, \(|q^n| = |q|^n = \frac{1}{(1/|q|)^n} = \frac{1}{Q^n}\).
Comme \(\lim Q^n = +\infty\), alors \(\lim |q^n| = \lim (1/Q^n) = 0\).
Si la valeur absolue tend vers 0, la suite elle-même tend vers 0. \(\lim q^n = 0\).
(Les cas \(q=1\) et \(q \le -1\) sont plus directs).
2. Théorème de Convergence Monotone (Théorème fondamental admis)
- Toute suite croissante et majorée (c’est-à-dire qu’elle ne dépasse jamais une certaine valeur M) converge vers une limite finie \(\ell\). (De plus, \(\ell \le M\)).
- Toute suite décroissante et minorée (c’est-à-dire qu’elle ne descend jamais en dessous d’une certaine valeur m) converge vers une limite finie \(\ell\). (De plus, \(\ell \ge m\)).
Cas de divergence :
- Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
- Toute suite décroissante non minorée tend vers \(-\infty\).
Soit \(u_n\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{1 + u_n}\).
On peut montrer (par récurrence) que la suite est croissante et majorée par 2.
Donc, d’après le théorème, elle converge vers une limite finie \(\ell\).
Cette limite \(\ell\) vérifie l’équation \(\ell = \sqrt{1+\ell}\) (en passant à la limite dans la relation de récurrence).
On résout : \(\ell^2 = 1+\ell \Rightarrow \ell^2 – \ell – 1 = 0\). La solution positive est \(\ell = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (le nombre d’or).
Partie 4 : Le Raisonnement par Récurrence
C’est une technique de démonstration très puissante pour prouver qu’une propriété \(P(n)\) est vraie pour tous les entiers naturels \(n\) à partir d’un certain rang \(n_0\).
Le raisonnement par récurrence se déroule en 3 étapes :
- Initialisation : Vérifier que la propriété \(P(n)\) est vraie pour le premier rang \(n_0\) (souvent \(n_0=0\) ou \(n_0=1\)).
- Hérédité : Supposer que la propriété \(P(k)\) est vraie pour un certain entier \(k \ge n_0\) (c’est l’Hypothèse de Récurrence – HR), et démontrer qu’alors, la propriété est aussi vraie pour le rang suivant, \(P(k+1)\).
- Conclusion : D’après le principe de récurrence, puisque la propriété est vraie au départ et qu’elle se transmet d’un rang au suivant, elle est vraie pour tous les entiers \(n \ge n_0\).
1. **Initialisation :** Tu vérifies que tu peux poser le pied sur le premier barreau (\(P(n_0)\) est vraie).
2. **Hérédité :** Tu montres que SI tu es sur n’importe quel barreau \(k\) (\(P(k)\) vraie), ALORS tu peux passer au barreau suivant \(k+1\) (\(P(k+1)\) vraie).
3. **Conclusion :** Puisque tu peux démarrer et que tu peux toujours passer au suivant, tu peux atteindre tous les barreaux !
L’étape clé est l’hérédité : il faut absolument utiliser l’Hypothèse de Récurrence (HR) pour prouver \(P(k+1)\).
Montrer par récurrence que pour tout \(n \ge 0\), la somme \(S_n = 1 + q + … + q^n = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) (pour \(q \neq 1\)).
Soit \(P(n)\) la propriété : « \(\sum_{i=0}^{n} q^i = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) ».
1. Initialisation (n=0) :
Membre de gauche : \(S_0 = \sum_{i=0}^{0} q^i = q^0 = 1\).
Membre de droite : \(\frac{1 – q^{0+1}}{1 – q} = \frac{1 – q}{1 – q} = 1\).
C’est égal. \(P(0)\) est vraie.
2. Hérédité : Supposons que \(P(k)\) est vraie pour un certain \(k \ge 0\). (HR : \(S_k = \frac{1 – q^{k+1}}{1 – q}\)).
Montrons que \(P(k+1)\) est vraie, c’est-à-dire montrons que \(S_{k+1} = \frac{1 – q^{(k+1)+1}}{1 – q} = \frac{1 – q^{k+2}}{1 – q}\).
Calculons \(S_{k+1}\) :
\(S_{k+1} = 1 + q + … + q^k + q^{k+1}\)
\(S_{k+1} = (1 + q + … + q^k) + q^{k+1}\)
\(S_{k+1} = S_k + q^{k+1}\).
On utilise l’HR : \(S_{k+1} = \frac{1 – q^{k+1}}{1 – q} + q^{k+1}\).
On met au même dénominateur :
\(S_{k+1} = \frac{1 – q^{k+1} + q^{k+1}(1-q)}{1 – q}\)
\(S_{k+1} = \frac{1 – q^{k+1} + q^{k+1} – q^{k+2}}{1 – q}\)
\(S_{k+1} = \frac{1 – q^{k+2}}{1 – q}\).
C’est bien ce qu’on voulait montrer. L’hérédité est prouvée.
3. Conclusion : D’après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \ge 0\).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Limites) : Déterminer la limite des suites suivantes :
a) \(u_n = \frac{3n^2 – 1}{n^2 + n + 1}\)
b) \(v_n = (-1.1)^n\)
c) \(w_n = n – \sqrt{n}\)
d) \(z_n = \frac{\sin(n^2)}{n+1}\) -
Exercice 2 (Convergence Monotone) : Soit la suite \(u_n\) définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\). On admet que la suite est décroissante et minorée par 3.
a) Justifier que la suite converge.
b) Déterminer sa limite \(\ell\). - Exercice 3 (Récurrence) : Montrer par récurrence que pour tout \(n \ge 1\), \(1 + 2 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Limites)
a) \(u_n = \frac{3n^2 – 1}{n^2 + n + 1}\) : FI \(\frac{\infty}{\infty}\). Factorisation par terme dominant.
\(u_n = \frac{n^2(3 – 1/n^2)}{n^2(1 + 1/n + 1/n^2)} = \frac{3 – 1/n^2}{1 + 1/n + 1/n^2}\).
Quand \(n \to +\infty\), les termes en \(1/n\) ou \(1/n^2\) tendent vers 0.
Limite = \(\frac{3-0}{1+0+0} = 3\).
b) \(v_n = (-1.1)^n\) : Suite géométrique de raison \(q = -1.1\).
Comme \(q < -1\), la suite n’a pas de limite (diverge en oscillant et grandissant en valeur absolue).
c) \(w_n = n – \sqrt{n}\) : FI \(+\infty – \infty\). Factorisation par terme dominant \(n\).
\(w_n = n(1 – \sqrt{n}/n) = n(1 – 1/\sqrt{n})\).
Quand \(n \to +\infty\), \(n \to +\infty\) et \((1 – 1/\sqrt{n}) \to (1-0) = 1\).
Limite = \(+\infty \times 1 = +\infty\).
d) \(z_n = \frac{\sin(n^2)}{n+1}\) : Utilisation des gendarmes.
On sait que \(-1 \le \sin(n^2) \le 1\).
Comme \(n+1 > 0\) pour \(n \ge 0\), on peut diviser :
\(\frac{-1}{n+1} \le \frac{\sin(n^2)}{n+1} \le \frac{1}{n+1}\).
Quand \(n \to +\infty\), \(\lim (-1/(n+1)) = 0\) et \(\lim (1/(n+1)) = 0\).
Par le théorème des gendarmes, Limite = 0.
Correction Exercice 2 (Convergence Monotone)
\(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\). On admet \(u_n\) décroissante et minorée par 3.
a) Justification de la convergence :
La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée (par 3).
D’après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge vers une limite finie \(\ell\).
De plus, comme la suite est minorée par 3, on sait que \(\ell \ge 3\).
b) Détermination de la limite \(\ell\) :
Comme \(u_n\) converge vers \(\ell\), alors \(u_{n+1}\) converge aussi vers \(\ell\).
La fonction \(f(x) = \sqrt{x+6}\) est continue sur son domaine (\([-6, +\infty[\)).
On peut passer à la limite dans la relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\).
La limite \(\ell\) vérifie donc l’équation \(\ell = f(\ell)\), soit :
$$ \ell = \sqrt{\ell + 6} $$
Comme \(\ell \ge 3\), \(\ell\) est positif. On peut mettre au carré :
\(\ell^2 = \ell + 6\)
\(\ell^2 – \ell – 6 = 0\).
C’est une équation du second degré. \(\Delta = (-1)^2 – 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\). \(\sqrt{\Delta} = 5\).
Racines : \(\ell_1 = \frac{-(-1) – 5}{2(1)} = \frac{1-5}{2} = -2\) et \(\ell_2 = \frac{-(-1) + 5}{2(1)} = \frac{1+5}{2} = 3\).
Comme on sait que la limite \(\ell\) doit être \(\ge 3\) (car la suite est minorée par 3 et \(u_0=5\)), la seule solution possible est \(\ell = 3\).
La limite de la suite est \(\ell = 3\).
Correction Exercice 3 (Récurrence)
Soit \(P(n)\) la propriété : » \(1 + 2 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\) « .
1. Initialisation (n=1) :
Membre de gauche : \(1\).
Membre de droite : \(\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \times 2}{2} = 1\).
C’est égal. \(P(1)\) est vraie.
2. Hérédité : Supposons \(P(k)\) vraie pour un certain \(k \ge 1\). (HR : \(1 + … + k = \frac{k(k+1)}{2}\)).
Montrons \(P(k+1)\), c’est-à-dire montrons que \(1 + … + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\).
Calculons la somme jusqu’à \(k+1\) :
\(S_{k+1} = (1 + 2 + … + k) + (k+1)\)
On utilise l’HR : \(S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\).
On met au même dénominateur : \(S_{k+1} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}\).
On factorise par \((k+1)\) au numérateur : \(S_{k+1} = \frac{(k+1)(k + 2)}{2}\).
C’est bien ce qu’on voulait. L’hérédité est prouvée.
3. Conclusion : D’après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \ge 1\).
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