FICHE DE RÉVISION – Complément sur la dérivation
(Niveau : Terminale)
Analyse : Compléments sur la Dérivation
Aller plus loin avec la dérivation : composée de fonctions, dérivée seconde et l’étude de la convexité.
Partie 1 : Dérivée d’une Fonction Composée
Comment dériver une fonction qui est « à l’intérieur » d’une autre ? (Ex: \(\sqrt{x^2+1}\) ou \(e^{-x}\)).
1. Composition de Fonctions
La composée de la fonction \(u\) suivie de la fonction \(v\), notée \(v \circ u\) (lire « v rond u »), est la fonction définie par : $$ (v \circ u)(x) = v(u(x)) $$ On applique d’abord \(u\) à \(x\), puis on applique \(v\) au résultat \(u(x)\).
Le domaine de définition de \(v \circ u\) est l’ensemble des \(x\) tels que \(x\) est dans \(D_u\) ET \(u(x)\) est dans \(D_v\).
Si \(u(x) = x+1\) et \(v(x) = x^2\).
\((v \circ u)(x) = v(u(x)) = (x+1)^2\).
\((u \circ v)(x) = u(v(x)) = x^2+1\). (L’ordre compte !)
Si \(f(x) = \sqrt{2x+3}\). C’est la composée \(v \circ u\) avec \(u(x)=2x+3\) et \(v(X)=\sqrt{X}\).
2. Formule de Dérivation de la Composée
Si \(u\) est dérivable en \(x\) et \(v\) est dérivable en \(u(x)\), alors la fonction composée \(f = v \circ u\) est dérivable en \(x\) et sa dérivée est : $$ f'(x) = (v \circ u)'(x) = v'(u(x)) \times u'(x) $$ (On dérive la fonction « extérieure » \(v\) en laissant l' »intérieure » \(u(x)\) dedans, puis on multiplie par la dérivée de l' »intérieure » \(u'(x)\)).
Cas particuliers importants (Formules à savoir !) :
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) |
|---|---|
| \((u(x))^n\) (\(n \in \mathbb{Z}^*\)) | \(n \times u'(x) \times (u(x))^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u(x)}\) (où \(u(x)>0\)) | \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) |
| \(e^{u(x)}\) | \(u'(x) \times e^{u(x)}\) |
Dériver \(f(x) = (x^2+1)^3\). C’est de la forme \(u^3\) avec \(u(x)=x^2+1\) (\(u'(x)=2x\)).
\(f'(x) = 3 \times u'(x) \times (u(x))^{3-1} = 3 \times (2x) \times (x^2+1)^2 = 6x(x^2+1)^2\).
Dériver \(g(x) = \sqrt{3x+5}\). C’est \(\sqrt{u}\) avec \(u(x)=3x+5\) (\(u'(x)=3\)).
\(g'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{3}{2\sqrt{3x+5}}\).
Dériver \(h(x) = e^{-x^2}\). C’est \(e^u\) avec \(u(x)=-x^2\) (\(u'(x)=-2x\)).
\(h'(x) = u'(x)e^{u(x)} = -2x e^{-x^2}\).
Partie 2 : Dérivée Seconde et Convexité
Après avoir étudié le signe de \(f’\) pour connaître les variations de \(f\), on va étudier le signe de la dérivée de \(f’\) (la dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\)) pour connaître la « courbure » de \(f\).
1. Dérivée Seconde
Si la fonction dérivée \(f’\) est elle-même dérivable sur un intervalle \(I\), sa propre dérivée est appelée la dérivée seconde de \(f\), notée \(f^{\prime\prime}\) (lire « f seconde »).
Si \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 5\).
\(f'(x) = 3x^2 – 12x\).
\(f^{\prime\prime}(x) = (3x^2 – 12x)’ = 3(2x) – 12 = 6x – 12\).
2. Convexité et Concavité
Intuitivement :
- Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\) si sa courbe \(C_f\) est « tournée vers le haut » (forme de U). Sur cet intervalle, la courbe est au-dessus de ses sécantes et au-dessus de ses tangentes.
- Une fonction \(f\) est concave sur \(I\) si sa courbe \(C_f\) est « tournée vers le bas » (forme de ∩). Sur cet intervalle, la courbe est en dessous de ses sécantes et en dessous de ses tangentes.
3. Lien entre Convexité et Dérivée Seconde (Théorème Admis)
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).
- \(f\) est convexe sur \(I\) \(\iff\) \(f^{\prime\prime}\) est positive ou nulle (\(f^{\prime\prime}(x) \ge 0\)) sur \(I\).
- \(f\) est concave sur \(I\) \(\iff\) \(f^{\prime\prime}\) est négative ou nulle (\(f^{\prime\prime}(x) \le 0\)) sur \(I\).
Autre caractérisation (équivalente) :
- \(f\) est convexe sur \(I\) \(\iff\) \(f’\) est croissante sur \(I\).
- \(f\) est concave sur \(I\) \(\iff\) \(f’\) est décroissante sur \(I\).
– Signe de \(f’\) \(\rightarrow\) Variations de \(f\).
– Signe de \(f^{\prime\prime}\) (donc variations de \(f’\)) \(\rightarrow\) Convexité de \(f\).
Pour étudier la convexité : on calcule \(f^{\prime\prime}\), on étudie son signe, et on conclut !
Démonstration ( \(f^{\prime\prime} \ge 0 \Rightarrow\) Courbe au-dessus des tangentes)
Soit \(a\) un point de \(I\). On veut montrer que \(f(x) \ge f(a) + f'(a)(x-a)\) pour tout \(x \in I\).
Posons \(g(x) = f(x) – [f(a) + f'(a)(x-a)]\). \(g(x)\) est la différence verticale entre la courbe et la tangente en \(a\). On veut montrer \(g(x) \ge 0\).
1. Calculons la dérivée de \(g\) :
\(g'(x) = f'(x) – f'(a)\) (car \(f(a)\) et \(f'(a)a\) sont des constantes, et la dérivée de \(f'(a)x\) est \(f'(a)\)).
2. Calculons la dérivée seconde de \(g\) :
\(g^{\prime\prime}(x) = (f'(x) – f'(a))’ = f^{\prime\prime}(x) – 0 = f^{\prime\prime}(x)\).
3. Utilisons l’hypothèse \(f^{\prime\prime} \ge 0\) :
Comme \(g^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x) \ge 0\), la fonction \(g’\) est croissante sur \(I\).
4. Étudions le signe de \(g'(x)\) :
On a \(g'(a) = f'(a) – f'(a) = 0\).
Comme \(g’\) est croissante et s’annule en \(a\) :
– Si \(x < a\), alors \(g'(x) \le g'(a) = 0\).
– Si \(x > a\), alors \(g'(x) \ge g'(a) = 0\).
5. Variations de \(g\) :
Comme \(g’ \le 0\) avant \(a\) et \(g’ \ge 0\) après \(a\), la fonction \(g\) est décroissante puis croissante. Elle admet donc un minimum en \(x=a\).
6. Conclusion :
Le minimum de \(g\) est \(g(a) = f(a) – [f(a) + f'(a)(a-a)] = f(a) – f(a) = 0\).
Puisque \(g\) admet un minimum de 0 en \(a\), cela signifie que \(g(x) \ge 0\) pour tout \(x \in I\).
Donc, \(f(x) – [f(a) + f'(a)(x-a)] \ge 0\), soit \(f(x) \ge f(a) + f'(a)(x-a)\). La courbe est au-dessus de sa tangente.
4. Point d’Inflexion
Un point d’inflexion est un point où la courbe \(C_f\) traverse sa tangente. C’est un point où la convexité change (la fonction passe de convexe à concave, ou l’inverse).
Si \(f\) est deux fois dérivable, un point d’inflexion d’abscisse \(a\) correspond à un point où la dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\) s’annule ET change de signe.
Reprenons \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 5\). On a \(f^{\prime\prime}(x) = 6x – 12\).
\(f^{\prime\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow 6x – 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) : C’est une fonction affine croissante. Négative avant 2, positive après 2.
– Sur \(]-\infty, 2]\), \(f^{\prime\prime} \le 0\), donc \(f\) est concave.
– Sur \([2, +\infty[\), \(f^{\prime\prime} \ge 0\), donc \(f\) est convexe.
Comme \(f^{\prime\prime}\) s’annule et change de signe en \(x=2\), la courbe \(C_f\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse 2. (Son ordonnée est \(f(2) = 2^3 – 6(2)^2 + 5 = 8 – 24 + 5 = -11\)).
Partie 3 : Entraînement (Exercices)
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Exercice 1 (Dérivée de composées) : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
a) \(f(x) = (1 – 2x)^5\)
b) \(g(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}\)
c) \(h(x) = e^{1/x}\) - Exercice 2 (Convexité) : Soit \(f(x) = x^4 – 2x^3 + 1\). Étudier la convexité de \(f\) et déterminer les éventuels points d’inflexion.
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Exercice 3 (Lecture graphique) : On donne ci-dessous la courbe de \(f’\), la dérivée d’une fonction \(f\).
a) Déduire de la courbe de \(f’\) les variations de \(f\).
b) Déduire de la courbe de \(f’\) la convexité de \(f\).
Partie 4 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Dérivée de composées)
a) \(f(x) = (1 – 2x)^5\) : Forme \(u^5\) avec \(u(x)=1-2x \Rightarrow u'(x)=-2\).
\(f'(x) = 5 \times u’ \times u^{5-1} = 5 \times (-2) \times (1-2x)^4 = -10(1-2x)^4\).
b) \(g(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}\) : Forme \(\sqrt{u}\) avec \(u(x)=x^2+x+1 \Rightarrow u'(x)=2x+1\). (On vérifie que \(u(x)>0\) : \(\Delta = 1^2 – 4(1)(1) = -3 < 0\), donc le trinôme est toujours du signe de \(a=1\), positif).
\(g'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\).
c) \(h(x) = e^{1/x}\) : Forme \(e^u\) avec \(u(x)=1/x \Rightarrow u'(x)=-1/x^2\).
\(h'(x) = u'(x)e^{u(x)} = -\frac{1}{x^2} e^{1/x}\).
Correction Exercice 2 (Convexité)
\(f(x) = x^4 – 2x^3 + 1\). On étudie le signe de \(f^{\prime\prime}\).
1. Dérivée première : \(f'(x) = 4x^3 – 6x^2\).
2. Dérivée seconde : \(f^{\prime\prime}(x) = (4x^3 – 6x^2)’ = 4(3x^2) – 6(2x) = 12x^2 – 12x\).
3. Signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) : C’est un trinôme du second degré.
Factorisation : \(f^{\prime\prime}(x) = 12x(x – 1)\).
Racines : \(x=0\) et \(x=1\).
Signe : C’est du signe de \(a=12\) (positif) à l’extérieur des racines.
4. Tableau de signes de \(f^{\prime\prime}\) et convexité de \(f\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | 1 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) | + | 0 | – | 0 | + | ||
| Convexité de \(f\) | Convexe | Pt Inflexion | Concave | Pt Inflexion | Convexe |
Conclusion :
– \(f\) est convexe sur \(]-\infty, 0]\) et sur \([1, +\infty[\).
– \(f\) est concave sur \([0, 1]\).
– Comme \(f^{\prime\prime}\) s’annule et change de signe en \(x=0\) et en \(x=1\), la courbe \(C_f\) admet deux points d’inflexion aux abscisses 0 et 1.
Correction Exercice 3 (Lecture graphique)
On analyse le graphe de \(f’\).
a) Variations de \(f\) : On regarde le signe de \(f’\).
– Si la courbe de \(f’\) est au-dessus de l’axe des abscisses (\(f'(x)>0\)), alors \(f\) est croissante.
– Si la courbe de \(f’\) est en dessous de l’axe des abscisses (\(f'(x)<0\)), alors \(f\) est décroissante.
– Si la courbe de \(f’\) coupe l’axe des abscisses (\(f'(x)=0\)), alors \(f\) a une tangente horizontale (possible extremum).
b) Convexité de \(f\) : On regarde les variations de \(f’\). (Car variations de \(f’\) \(\iff\) signe de \(f^{\prime\prime}\)).
– Si la courbe de \(f’\) monte (\(f’\) est croissante, donc \(f^{\prime\prime} \ge 0\)), alors \(f\) est convexe.
– Si la courbe de \(f’\) descend (\(f’\) est décroissante, donc \(f^{\prime\prime} \le 0\)), alors \(f\) est concave.
– Si la courbe de \(f’\) atteint un extremum (tangente horizontale pour \(f’\)), alors \(f^{\prime\prime}\) s’annule (et change peut-être de signe), indiquant un possible point d’inflexion pour \(f\).
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