FICHE DE RÉVISION – Continuité des fonctions
(Niveau : Terminale)
Analyse : Continuité des Fonctions
Formaliser l’idée d’une courbe « sans trou », et découvrir le puissant Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).
Partie 1 : Qu’est-ce qu’une Fonction Continue ?
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon.
1. Continuité en un Point
Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si elle remplit trois conditions :
- \(f\) est définie en \(a\) (c’est-à-dire \(f(a)\) existe).
- \(f\) admet une limite finie \(\ell\) lorsque \(x\) tend vers \(a\).
- Cette limite est égale à la valeur de la fonction en \(a\) : \(\ell = f(a)\).
Autrement dit : $$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
La fonction carré \(f(x)=x^2\) est continue en \(a=3\) car \(\lim_{x \to 3} x^2 = 9\) et \(f(3) = 3^2 = 9\).
La fonction partie entière \(E(x)\) n’est pas continue en \(a=1\) car \(\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0\) et \(\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1\) (la limite n’existe pas).
2. Continuité sur un Intervalle
Une fonction \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) si elle est continue en tout point \(a\) de cet intervalle \(I\).
Théorème (Admis) : Toute fonction dérivable sur un intervalle \(I\) est continue sur \(I\).
(La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue \(|x|\) est continue en 0 mais pas dérivable en 0).
Conséquence : Toutes les fonctions usuelles (polynômes, racine carrée sur \(]0, +\infty[\), exponentielle, trigonométriques…) et celles obtenues par opérations (somme, produit, quotient dont le dénominateur ne s’annule pas, composée) sont continues sur leur domaine de définition/dérivabilité.
Partie 2 : Continuité et Suites
La continuité assure que les limites « passent bien » à travers la fonction.
Si une suite \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\), et si \(f\) est une fonction continue en \(\ell\), alors la suite des images \((f(u_n))\) converge vers \(f(\ell)\).
$$ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \quad \text{et } f \text{ continue en } \ell \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell) $$Ceci est particulièrement utile pour trouver la limite d’une suite définie par récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\).
**En français, cela signifie :**
« La continuité permet d’intervertir la limite et la fonction. »
Ou, plus précisément : « Si \(u_n\) tend vers \(\ell\), alors \(f(u_n)\) tend vers \(f(\ell)\) si \(f\) est continue en \(\ell\). »
Soit \(u_n\) définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n+6}\). On a montré (voir fiche Suites) qu’elle converge vers \(\ell=3\).
On a utilisé \(f(x)=\sqrt{x+6}\). Cette fonction est continue sur \([-6, +\infty[\), donc elle est continue en \(\ell=3\).
En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient \(\lim u_{n+1} = \lim f(u_n)\).
Comme \(u_{n+1}\) tend vers \(\ell\) et \(f(u_n)\) tend vers \(f(\ell)\) (par continuité), on a \(\ell = f(\ell)\), ce qui nous a permis de trouver \(\ell\).
Partie 3 : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
C’est LE grand théorème lié à la continuité. Il garantit l’existence de solutions à des équations du type \(f(x) = k\).
1. Version Générale (Existence)
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :
Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle fermé \([a, b]\), alors pour tout nombre réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) dans l’intervalle \([a, b]\) tel que \(f(c) = k\).
Autrement dit : Une fonction continue sur un segment « prend » au moins une fois toutes les valeurs intermédiaires entre les valeurs aux bornes.
Montrer que l’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) a au moins une solution dans \([0, 1]\).
Soit \(f(x) = x^3 + x – 1\).
1. \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), et en particulier sur \([0, 1]\).
2. On calcule les valeurs aux bornes : \(f(0) = 0^3+0-1 = -1\) et \(f(1) = 1^3+1-1 = 1\).
3. Le nombre \(k=0\) est bien compris entre \(f(0)=-1\) et \(f(1)=1\).
4. D’après le TVI, il existe au moins un réel \(c\) dans \([0, 1]\) tel que \(f(c) = 0\). L’équation a donc au moins une solution dans cet intervalle.
2. Corollaire pour les Fonctions Strictement Monotones (Unicité)
Si on ajoute une condition sur les variations, on peut garantir qu’il n’y a qu’une seule solution.
Corollaire du TVI (ou Théorème de la Bijection) :
Si \(f\) est une fonction continue ET strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle \([a, b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(c\) dans \([a, b]\).
(Ce théorème s’adapte aussi aux intervalles ouverts ou infinis en utilisant les limites aux bornes).
Montrer que l’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) a une unique solution dans \([0, 1]\).
Soit \(f(x) = x^3 + x – 1\).
1. On sait déjà que \(f\) est continue sur \([0, 1]\).
2. Étudions sa monotonie. Calculons la dérivée : \(f'(x) = 3x^2 + 1\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(x^2 \ge 0\), donc \(3x^2 \ge 0\), donc \(f'(x) \ge 1\). La dérivée est strictement positive.
Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et en particulier sur \([0, 1]\).
3. On calcule \(f(0)=-1\) et \(f(1)=1\). Le nombre \(k=0\) est bien compris entre \(f(0)\) et \(f(1)\).
4. D’après le corollaire du TVI, puisque \(f\) est continue et strictement monotone sur \([0, 1]\), l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(c\) dans \([0, 1]\).
1. Justifier la continuité de \(f\) sur l’intervalle \(I\).
2. (Pour l’unicité) Justifier la stricte monotonie de \(f\) sur \(I\) (souvent via le signe de \(f’\)).
3. Calculer les valeurs (ou limites) de \(f\) aux bornes de \(I\).
4. Vérifier que \(k\) est bien entre ces valeurs (ou limites).
5. Conclure en citant le théorème approprié.
Partie 4 : Méthodes d’Approximation de Solutions (Algorithmes)
Le TVI garantit l’existence d’une solution, mais ne la donne pas. Pour trouver une valeur approchée, on utilise des algorithmes.
Méthode de Dichotomie (Balayage) :
Principe : On a une fonction \(f\) continue et strictement monotone sur \([a, b]\) telle que \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires (donc la solution unique \(c\) de \(f(x)=0\) est entre \(a\) et \(b\)).
- Calculer le milieu \(m = (a+b)/2\).
- Calculer \(f(m)\).
- Si \(f(m)\) a le même signe que \(f(a)\), la solution est dans \([m, b]\). On remplace \(a\) par \(m\).
- Si \(f(m)\) a le même signe que \(f(b)\) (donc signe contraire de \(f(a)\)), la solution est dans \([a, m]\). On remplace \(b\) par \(m\).
- On recommence avec le nouvel intervalle \([a, b]\), qui est deux fois plus petit.
- On arrête quand la longueur de l’intervalle (\(b-a\)) est inférieure à la précision souhaitée.
Autres méthodes (mentionnées au programme, voir approfondissements) : Méthode de Newton, méthode de la sécante.
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
- Exercice 1 (TVI – Existence) : Montrer que l’équation \(e^x = 2 – x\) admet au moins une solution sur l’intervalle \([0, 1]\).
-
Exercice 2 (TVI – Unicité) : Soit \(f(x) = x^3 + 2x – 4\).
a) Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).
c) À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\). - Exercice 3 (Suite récurrente) : Soit \(u_n\) la suite définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2-u_n}\). On admet que la suite est croissante et converge vers \(\ell\). Déterminer \(\ell\).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (TVI – Existence)
On veut résoudre \(e^x = 2 – x\), ce qui équivaut à \(e^x + x – 2 = 0\).
Soit \(f(x) = e^x + x – 2\).
1. Continuité : \(x \mapsto e^x\) est continue sur \(\mathbb{R}\), \(x \mapsto x-2\) est continue (polynôme). Par somme, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc sur \([0, 1]\).
2. Valeurs aux bornes :
\(f(0) = e^0 + 0 – 2 = 1 – 2 = -1\).
\(f(1) = e^1 + 1 – 2 = e – 1 \approx 2,718 – 1 = 1,718\).
3. Valeur intermédiaire : Le nombre \(k=0\) est bien compris entre \(f(0) = -1\) et \(f(1) = e-1\) (qui est positif).
4. Conclusion TVI : D’après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins un réel \(c\) dans \([0, 1]\) tel que \(f(c) = 0\). L’équation \(e^x = 2 – x\) a donc au moins une solution dans \([0, 1]\).
Correction Exercice 2 (TVI – Unicité)
\(f(x) = x^3 + 2x – 4\).
a) Variations :
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). \(f'(x) = 3x^2 + 2\).
Signe de \(f'(x)\) : \(x^2 \ge 0 \Rightarrow 3x^2 \ge 0 \Rightarrow 3x^2 + 2 \ge 2\).
Donc \(f'(x)\) est toujours strictement positive.
La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
b) Existence et Unicité de la solution de \(f(x)=0\) :
1. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (car dérivable/polynôme).
2. \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. Limites aux bornes :
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty\).
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty\).
4. Valeur intermédiaire : Le nombre \(k=0\) est bien compris entre \(-\infty\) et \(+\infty\).
5. Conclusion (Corollaire TVI) : D’après le corollaire du TVI (ou théorème de la bijection), l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).
c) Encadrement de \(\alpha\) :
On utilise la calculatrice (tableau de valeurs ou solveur).
\(f(1) = 1^3 + 2(1) – 4 = 1+2-4 = -1\).
\(f(2) = 2^3 + 2(2) – 4 = 8+4-4 = 8\).
Comme \(f(1) < 0\) et \(f(2) > 0\), on sait que \(1 < \alpha < 2\).
On affine :
\(f(1.1) \approx -0.46\).
\(f(1.2) \approx 0.13\). Donc \(1.1 < \alpha < 1.2\).
\(f(1.17) \approx -0.06\).
\(f(1.18) \approx 0.003\). Donc \(1.17 < \alpha < 1.18\).
Encadrement d’amplitude \(10^{-2}\) : \(1.17 < \alpha < 1.18\).
Correction Exercice 3 (Suite récurrente)
\(u_0 = 0\), \(u_{n+1} = \frac{1}{2-u_n}\). On admet \((u_n)\) croissante et convergente vers \(\ell\).
La relation de récurrence est de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f(x) = \frac{1}{2-x}\).
1. Continuité de f : La fonction \(f\) est une fonction rationnelle. Elle est continue sur son domaine de définition, qui est \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\).
Comme on admet que la suite converge, sa limite \(\ell\) ne peut pas être 2 (sinon \(u_{n+1}\) ne serait pas défini pour \(u_n\) proche de 2). Donc \(f\) est continue en \(\ell\).
2. Passage à la limite :
Puisque \(\lim u_n = \ell\), \(\lim u_{n+1} = \ell\).
Puisque \(f\) est continue en \(\ell\), \(\lim f(u_n) = f(\ell)\).
L’égalité \(u_{n+1} = f(u_n)\) donne à la limite : \(\ell = f(\ell)\).
3. Résolution de \(\ell = f(\ell)\) :
\(\ell = \frac{1}{2-\ell}\)
Comme \(\ell \neq 2\), on peut multiplier par \((2-\ell)\) :
\(\ell(2-\ell) = 1\)
\(2\ell – \ell^2 = 1\)
\(\ell^2 – 2\ell + 1 = 0\)
On reconnaît une identité remarquable : \((\ell – 1)^2 = 0\).
La seule solution est \(\ell = 1\).
Conclusion : La limite de la suite est \(\ell = 1\).
Besoin d'aide en mathématiques ?
Je propose des cours de remise à niveau en visio ou en présentiel