FICHE DE RÉVISION – Géométrie dans l'Espace : Vecteurs, Droites, Plans
(Niveau : Terminale)
Géométrie dans l’Espace : Vecteurs, Droites, Plans
Étendre les outils vectoriels à la 3D : décrire les objets de l’espace et leurs positions relatives.
Partie 1 : Vecteurs de l’Espace et Translations
La notion de vecteur s’étend naturellement de la 2D à la 3D.
Une translation qui transforme un point \(M\) en \(M’\) est caractérisée par un vecteur \(\vec{MM’}\).
Comme en 2D, un vecteur \(\vec{u}\) est défini par :
- Sa direction (celle de la droite support).
- Son sens.
- Sa norme (longueur), notée \(||\vec{u}||\).
Deux vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont égaux s’ils représentent la même translation (même direction, sens, norme), ce qui signifie que ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Les opérations (somme de vecteurs, produit par un réel) et la relation de Chasles (\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)) fonctionnent exactement comme dans le plan.
Partie 2 : Combinaisons Linéaires et Dépendance
1. Combinaison Linéaire
Une combinaison linéaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est un vecteur de la forme : $$ \alpha \vec{u} + \beta \vec{v} $$ où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des nombres réels.
Une combinaison linéaire de trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) est un vecteur de la forme : $$ \alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w} $$ où \(\alpha, \beta, \gamma\) sont des réels.
Si A, B, C sont trois points, le vecteur \(2\vec{AB} – 3\vec{AC}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
Dans un parallélépipède ABCDEFGH, \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}\). C’est une combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
2. Vecteurs Colinéaires (Rappel)
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = k\vec{v}\)).
Géométriquement : Ils ont la même direction.
Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires et non nuls, alors les points A, B, C tels que \(\vec{u}=\vec{AB}\) et \(\vec{v}=\vec{AC}\) sont alignés.
3. Vecteurs Coplanaires
Trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si, en choisissant un point O comme origine, les points A, B, C tels que \(\vec{u}=\vec{OA}\), \(\vec{v}=\vec{OB}\), \(\vec{w}=\vec{OC}\) appartiennent au même plan passant par O.
Caractérisation : \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si l’un d’eux peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres (par exemple, \(\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}\)), à condition que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne soient pas colinéaires.
Dans un cube ABCDEFGH, les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\), \(\vec{AC}\) sont coplanaires car \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\).
Les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\), \(\vec{AE}\) ne sont pas coplanaires.
Partie 3 : Droites et Plans de l’Espace
1. Droites
Une droite \((d)\) est définie par :
- Un point \(A\) par lequel elle passe.
- Un vecteur directeur \(\vec{u}\) (non nul) qui donne sa direction.
Un point \(M\) appartient à la droite \((d)\) passant par A et dirigée par \(\vec{u}\) si et seulement si les vecteurs \(\vec{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel \(t\) tel que : $$ \vec{AM} = t\vec{u} $$ (Ceci mène à la représentation paramétrique de la droite).
2. Plans
Un plan \((\mathcal{P})\) est défini par :
- Un point \(A\) par lequel il passe.
- Un couple de vecteurs directeurs \((\vec{u}, \vec{v})\) non colinéaires qui définissent la « direction » du plan.
Un point \(M\) appartient au plan \((\mathcal{P})\) passant par A et dirigé par \((\vec{u}, \vec{v})\) si et seulement si le vecteur \(\vec{AM}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), c’est-à-dire s’il existe deux réels \(s\) et \(t\) tels que : $$ \vec{AM} = s\vec{u} + t\vec{v} $$ (Ceci mène à la représentation paramétrique du plan).
Un plan peut aussi être défini par 3 points non alignés A, B, C. Dans ce cas, un point de référence est A et deux vecteurs directeurs non colinéaires sont \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
– **Droite :** 1 point + 1 direction (vecteur).
– **Plan :** 1 point + 2 directions non parallèles (2 vecteurs non colinéaires).
Un vecteur seul ne peut pas définir un plan, il faut deux directions distinctes pour « l’orienter ».
Partie 4 : Bases et Repères de l’Espace
Une base de l’espace est constituée de trois vecteurs \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) non coplanaires.
Tout vecteur \(\vec{u}\) de l’espace peut s’écrire de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de base : $$ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $$ Le triplet \((x, y, z)\) est le triplet des coordonnées de \(\vec{u}\) dans la base \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
Un repère de l’espace est constitué d’un point Origine \(O\) et d’une base \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). On le note \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
Tout point \(M\) de l’espace est repéré par un unique triplet \((x, y, z)\), ses coordonnées, telles que : $$ \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $$
Si le repère est orthonormé (vecteurs de base orthogonaux deux à deux et de norme 1), les calculs de longueurs et de produit scalaire sont simplifiés (voir chapitres suivants).
Dans le cube ABCDEFGH d’arête 1, on choisit le repère orthonormé \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\).
Coordonnées des points : A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), E(0,0,1), C(1,1,0), F(1,0,1), H(0,1,1), G(1,1,1).
Coordonnées du vecteur \(\vec{AG}\) : \(G-A = (1,1,1)\). On a bien \(\vec{AG} = 1\vec{AB} + 1\vec{AD} + 1\vec{AE}\).
Coordonnées du vecteur \(\vec{EC}\) : \(C-E = (1-0, 1-0, 0-1) = (1, 1, -1)\).
Partie 5 : Positions Relatives (Introduction)
Comment deux droites, une droite et un plan, ou deux plans peuvent-ils être positionnés les uns par rapport aux autres ?
Deux droites \((d)\) et \((d’)\) :
- Coplanaires : Si elles sont dans le même plan. Elles peuvent être :
- Sécantes : Un seul point commun.
- Parallèles : Aucun point commun (si distinctes) ou tous leurs points communs (si confondues). Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Non coplanaires : Si elles ne sont pas dans le même plan. Elles n’ont aucun point commun.
Une droite \((d)\) et un plan \((\mathcal{P})\) :
- Sécants : Un seul point commun.
- Parallèles : Aucun point commun (si \(d\) n’est pas incluse dans \(\mathcal{P}\)) ou tous les points de \(d\) (si \(d\) est incluse dans \(\mathcal{P}\)). Le vecteur directeur de \(d\) est une combinaison linéaire des vecteurs directeurs de \(\mathcal{P}\).
Deux plans \((\mathcal{P})\) et \((\mathcal{P’})\) :
- Sécants : Leur intersection est une droite.
- Parallèles : Aucun point commun (si distincts) ou tous leurs points communs (si confondus). Les vecteurs directeurs de l’un sont coplanaires avec ceux de l’autre (mais plus formellement, leurs vecteurs normaux seront colinéaires – vu plus tard).
[Image showing relative positions of lines and planes in space]
Partie 6 : Entraînement (Exercices)
On se place dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
- Exercice 1 (Combinaison Linéaire) : Soit ABCDEFGH un cube. Exprimer le vecteur \(\vec{DF}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\), \(\vec{AE}\).
- Exercice 2 (Colinéarité / Alignement) : Les points A(1, 0, 2), B(2, 1, 0), C(4, 3, -4) sont-ils alignés ?
- Exercice 3 (Coplanarité) : Les vecteurs \(\vec{u}(1; 2; -1)\), \(\vec{v}(0; 1; 1)\) et \(\vec{w}(2; 5; -1)\) sont-ils coplanaires ?
Partie 7 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Combinaison Linéaire)
On utilise la relation de Chasles dans le cube ABCDEFGH.
On veut exprimer \(\vec{DF}\) en fonction de \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\), \(\vec{AE}\).
Partons de D :
\(\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF}\) (en passant par A et B)
On sait que :
\(\vec{DA} = -\vec{AD}\)
\(\vec{AB}\) est déjà un vecteur de base.
\(\vec{BF} = \vec{AE}\) (car AEBF est un rectangle/carré)
Donc, \(\vec{DF} = -\vec{AD} + \vec{AB} + \vec{AE}\).
Solution : \(\vec{DF} = 1\vec{AB} – 1\vec{AD} + 1\vec{AE}\). C’est une combinaison linéaire.
Correction Exercice 2 (Colinéarité / Alignement)
A(1, 0, 2), B(2, 1, 0), C(4, 3, -4).
Les points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
Calculons leurs coordonnées :
\(\vec{AB} = (2-1; 1-0; 0-2) = (1; 1; -2)\).
\(\vec{AC} = (4-1; 3-0; -4-2) = (3; 3; -6)\).
On vérifie s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{AC} = k\vec{AB}\).
Regardons les coordonnées :
Abscisse : \(3 = k \times 1 \Rightarrow k=3\).
Ordonnée : \(3 = k \times 1 \Rightarrow k=3\).
Cote : \(-6 = k \times (-2) \Rightarrow k = -6 / -2 = 3\).
Le coefficient \(k=3\) est le même pour les trois coordonnées. Donc \(\vec{AC} = 3\vec{AB}\).
Conclusion : Les vecteurs sont colinéaires, donc les points A, B, C sont alignés.
Correction Exercice 3 (Coplanarité)
\(\vec{u}(1; 2; -1)\), \(\vec{v}(0; 1; 1)\), \(\vec{w}(2; 5; -1)\).
Les vecteurs sont coplanaires si l’un est combinaison linéaire des deux autres. Cherchons s’il existe des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\).
Cela se traduit par un système d’équations sur les coordonnées : $$ \begin{cases} 2 = \alpha(1) + \beta(0) \quad &(L1) \\ 5 = \alpha(2) + \beta(1) \quad &(L2) \\ -1 = \alpha(-1) + \beta(1) \quad &(L3) \end{cases} $$
De (L1), on tire immédiatement \(\alpha = 2\).
On remplace \(\alpha=2\) dans (L2) :
\(5 = 2(2) + \beta \Rightarrow 5 = 4 + \beta \Rightarrow \beta = 1\).
Maintenant, on vérifie si ces valeurs de \(\alpha=2\) et \(\beta=1\) fonctionnent dans la troisième équation (L3) :
Est-ce que \(-1 = (2)(-1) + (1)(1)\) ?
Est-ce que \(-1 = -2 + 1\) ?
Est-ce que \(-1 = -1\) ? Oui.
Le système a une solution \((\alpha=2, \beta=1)\). On a \(\vec{w} = 2\vec{u} + 1\vec{v}\).
Conclusion : Les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires.
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