FICHE DE RÉVISION – Interactions Fondamentales et Notion de Champ
(Niveau : Première)
Mécanique : Interactions Fondamentales et Champs
Décrire les forces gravitationnelle et électrostatique et introduire le concept de champ pour expliquer l’action à distance.
Partie 1 : Interaction Électrostatique
Cette interaction concerne les objets portant une charge électrique.
1. Charge Électrique et Loi de Coulomb
La charge électrique (notée \(q\) ou \(Q\)) est une propriété fondamentale de la matière. Unité : le Coulomb (C).
Il existe deux types de charges : positives (+) et négatives (-). Des charges de même signe se repoussent, des charges de signes opposés s’attirent.
La charge élémentaire est \(e \approx 1,60 \times 10^{-19}\) C (charge du proton \(+e\), charge de l’électron \(-e\)). Toute charge est un multiple entier de \(e\).
Loi de Coulomb (Interaction entre deux charges ponctuelles) : Deux charges ponctuelles \(q_A\) et \(q_B\) placées en A et B, distantes de \(d = AB\), exercent l’une sur l’autre des forces \(\vec{F}_{A/B}\) (force exercée par A sur B) et \(\vec{F}_{B/A}\) (force exercée par B sur A) :
- Direction : La droite (AB).
- Sens : Répulsives si \(q_A\) et \(q_B\) de même signe, attractives si signes opposés.
- Valeur (Norme) : $$ F_{A/B} = F_{B/A} = k \frac{|q_A \times q_B|}{d^2} $$ où \(k \approx 9,0 \times 10^9\) N·m²·C⁻² est la constante de Coulomb.
Expression vectorielle (Force exercée par A sur B) : $$ \vec{F}_{A/B} = k \frac{q_A q_B}{d^2} \vec{u}_{AB} $$ où \(\vec{u}_{AB}\) est un vecteur unitaire dirigé de A vers B (\(\vec{u}_{AB} = \vec{AB}/AB\)). (Si \(q_A q_B > 0\), la force est dans le sens de \(\vec{u}_{AB}\), répulsive. Si \(q_A q_B < 0\), la force est dans le sens opposé, attractive).
[Image illustrating Coulomb’s law between two point charges]
Calculer la valeur de la force entre un proton (\(q_p = +e\)) et un électron (\(q_e = -e\)) dans un atome d’hydrogène (distance \(d \approx 5.3 \times 10^{-11}\) m).
\(F = k \frac{|(+e) \times (-e)|}{d^2} = k \frac{e^2}{d^2}\)
\(F \approx (9 \times 10^9) \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{(5.3 \times 10^{-11})^2}\)
\(F \approx (9 \times 10^9) \frac{2.56 \times 10^{-38}}{28.1 \times 10^{-22}} \approx 8.2 \times 10^{-8}\) N. (Force attractive).
2. Analogie avec l’Interaction Gravitationnelle
La loi de Coulomb ressemble beaucoup à la loi de gravitation universelle de Newton :
- Les deux forces sont proportionnelles au produit des grandeurs caractéristiques (charges \(q_A q_B\) / masses \(m_A m_B\)).
- Les deux forces sont inversement proportionnelles au carré de la distance (\(1/d^2\)).
- Elles agissent selon la droite joignant les deux objets.
Différences :
- La gravitation est toujours attractive, l’électrostatique peut être attractive ou répulsive.
- L’interaction électrostatique est beaucoup plus intense que la gravitation à l’échelle atomique.
Partie 2 : Introduction à la Notion de Champ
Comment un objet « sait-il » qu’un autre objet exerce une force sur lui, même à distance ? L’idée est que le premier objet crée une modification de l’espace autour de lui : un champ. Le second objet subit alors une force due à ce champ à l’endroit où il se trouve.
1. Champ de Gravitation (\(\vec{g}\))
Un astre (ex: la Terre, de masse \(M_T\)) crée en tout point P de l’espace un champ de gravitation \(\vec{g}(P)\).
Si on place un objet de masse \(m\) au point P, il subit une force de gravitation \(\vec{F}_g\) due à l’astre : $$ \vec{F}_g = m \vec{g}(P) $$ Le champ \(\vec{g}(P)\) est donc la force de gravitation subie par une masse de 1 kg placée en P. Unité : N/kg (qui est équivalent à des m/s²).
Pour un astre de masse \(M\) à symétrie sphérique, le champ \(\vec{g}\) créé en un point P situé à une distance \(d\) du centre est : $$ \vec{g}(P) = – G \frac{M}{d^2} \vec{u}_{astre \to P} $$ où \(\vec{u}_{astre \to P}\) est le vecteur unitaire dirigé de l’astre vers P. Le champ est dirigé vers l’astre attracteur.
Près de la surface de la Terre, \(\vec{g}\) est quasiment uniforme (vertical, vers le bas, de valeur \(g \approx 9,8\) N/kg). C’est le champ de pesanteur.
2. Champ Électrostatique (\(\vec{E}\))
Une charge source \(q_A\) crée en tout point P de l’espace un champ électrostatique \(\vec{E}(P)\).
Si on place une charge test \(q\) au point P, elle subit une force électrostatique \(\vec{F}_e\) due à la charge source : $$ \vec{F}_e = q \vec{E}(P) $$ Le champ \(\vec{E}(P)\) est donc la force électrostatique subie par une charge de +1 C placée en P. Unité : N/C (ou V/m).
Pour une charge ponctuelle \(q_A\) placée en A, le champ \(\vec{E}\) créé en un point P situé à une distance \(d = AP\) est :
$$ \vec{E}(P) = k \frac{q_A}{d^2} \vec{u}_{AP} $$
où \(\vec{u}_{AP}\) est le vecteur unitaire dirigé de A vers P.
– Si \(q_A > 0\), le champ \(\vec{E}\) « fuit » la charge (radial centrifuge).
– Si \(q_A < 0\), le champ \(\vec{E}\) "pointe vers" la charge (radial centripète).
Une charge \(q_A = +2 \mu C\) est en A. Quel champ crée-t-elle en P situé à 10 cm ?
\(d = 0,10\) m. \(q_A = 2 \times 10^{-6}\) C.
Valeur du champ : \(E = k \frac{|q_A|}{d^2} = (9 \times 10^9) \frac{2 \times 10^{-6}}{(0,10)^2} = (9 \times 10^9) \frac{2 \times 10^{-6}}{10^{-2}} = 18 \times 10^{5}\) N/C.
Le vecteur \(\vec{E}(P)\) a cette norme et est dirigé de A vers P (car \(q_A>0\)).
Si on place une charge \(q = -1 nC = -1 \times 10^{-9}\) C en P, la force subie est :
\(\vec{F}_e = q \vec{E}(P)\). Comme \(q<0\), la force est opposée à \(\vec{E}\). Elle est dirigée vers A (attractive).
Sa valeur est \(F_e = |q| E = (1 \times 10^{-9}) \times (18 \times 10^5) = 18 \times 10^{-4}\) N.
3. Lignes de Champ
On représente graphiquement un champ (de gravitation ou électrostatique) par des lignes de champ.
Une ligne de champ est une courbe qui est tangente au vecteur champ en chacun de ses points.
Les lignes de champ sont orientées par une flèche dans le sens du vecteur champ.
La densité des lignes de champ (leur resserrement) donne une indication sur l’intensité du champ (plus c’est dense, plus le champ est fort).
Champ gravitationnel terrestre : Lignes radiales pointant vers le centre de la Terre.
Champ électrostatique d’une charge positive : Lignes radiales partant de la charge vers l’extérieur.
Champ électrostatique d’une charge négative : Lignes radiales venant de l’extérieur et pointant vers la charge.
Partie 3 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Loi de Coulomb) : Deux petites sphères A et B portent des charges \(q_A = +1,0\) nC et \(q_B = -2,0\) nC. Elles sont distantes de \(d = 5,0\) cm.
a) Les forces sont-elles attractives ou répulsives ?
b) Calculer la valeur de la force électrostatique exercée par A sur B. (\(1 \text{ nC} = 10^{-9}\) C). -
Exercice 2 (Champ Électrostatique) : Une charge ponctuelle \(Q = -4,0 \times 10^{-8}\) C est placée à l’origine O d’un repère.
a) Déterminer les caractéristiques (direction, sens, valeur) du champ électrostatique \(\vec{E}\) créé par Q au point P de coordonnées (0, 20 cm).
b) On place une charge \(q = +1,0 \times 10^{-9}\) C au point P. Déterminer les caractéristiques de la force \(\vec{F}\) subie par \(q\). -
Exercice 3 (Champ de Gravitation) : La masse de la Lune est \(M_L \approx 7,3 \times 10^{22}\) kg et son rayon est \(R_L \approx 1,7 \times 10^6\) m. La constante de gravitation est \(G \approx 6,67 \times 10^{-11}\) N·m²·kg⁻².
a) Calculer la valeur du champ de gravitation \(g_L\) à la surface de la Lune.
b) Quel est le poids d’un astronaute de 80 kg sur la Lune ? Comparer à son poids sur Terre (\(g_T \approx 9,8\) N/kg).
Partie 4 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Loi de Coulomb)
\(q_A = +1,0 \times 10^{-9}\) C, \(q_B = -2,0 \times 10^{-9}\) C, \(d = 5,0 \text{ cm} = 0,050\) m.
a) Sens des forces : Les charges sont de signes opposés (+ et -). Les forces sont donc attractives.
b) Valeur de la force :
\(F = k \frac{|q_A q_B|}{d^2}\)
\(F = (9,0 \times 10^9) \times \frac{|(+1,0 \times 10^{-9}) \times (-2,0 \times 10^{-9})|}{(0,050)^2}\)
\(F = (9,0 \times 10^9) \times \frac{|-2,0 \times 10^{-18}|}{0,0025}\)
\(F = (9,0 \times 10^9) \times \frac{2,0 \times 10^{-18}}{2,5 \times 10^{-3}}\)
\(F = 9,0 \times \frac{2,0}{2,5} \times 10^{9 – 18 – (-3)} = 9,0 \times 0,8 \times 10^{-6}\)
\(F = 7,2 \times 10^{-6}\) N.
La valeur de la force est de \(7,2 \times 10^{-6}\) N.
Correction Exercice 2 (Champ Électrostatique)
\(Q = -4,0 \times 10^{-8}\) C en O(0, 0). Point P(0, 0.20 m).
a) Champ \(\vec{E}\) en P :
La distance \(d = OP = 0,20\) m. Le vecteur unitaire \(\vec{u}_{OP}\) est dirigé selon l’axe Oy (c’est \(\vec{j}\)).
Formule : \(\vec{E}(P) = k \frac{Q}{d^2} \vec{u}_{OP}\).
– Direction : Celle de la droite (OP), donc l’axe des ordonnées (Oy).
– Sens : Comme Q est négative (\(Q<0\)), le champ est dirigé dans le sens opposé à \(\vec{u}_{OP}\). Il pointe de P vers O (vers le bas).
– Valeur : \(E = k \frac{|Q|}{d^2} = (9,0 \times 10^9) \times \frac{|-4,0 \times 10^{-8}|}{(0,20)^2}\)
\(E = (9,0 \times 10^9) \times \frac{4,0 \times 10^{-8}}{0,04} = 9,0 \times \frac{4,0}{0,04} \times 10^{9-8}\)
\(E = 9,0 \times 100 \times 10^1 = 9000\) N/C.
b) Force \(\vec{F}\) sur \(q = +1,0 \times 10^{-9}\) C en P :
Formule : \(\vec{F} = q \vec{E}(P)\).
– Direction : La même que \(\vec{E}\), donc l’axe (Oy).
– Sens : Comme \(q\) est positive, \(\vec{F}\) a le même sens que \(\vec{E}\). La force est dirigée de P vers O (vers le bas, attractive).
– Valeur : \(F = |q| E = (1,0 \times 10^{-9}) \times 9000 = 9,0 \times 10^{-6}\) N.
Correction Exercice 3 (Champ de Gravitation)
\(M_L \approx 7,3 \times 10^{22}\) kg, \(R_L \approx 1,7 \times 10^6\) m, \(G \approx 6,67 \times 10^{-11}\) N·m²·kg⁻².
a) Valeur de \(g_L\) à la surface :
La distance au centre est \(d = R_L\).
La valeur du champ est \(g_L = G \frac{M_L}{R_L^2}\).
\(g_L = (6,67 \times 10^{-11}) \times \frac{7,3 \times 10^{22}}{(1,7 \times 10^6)^2}\)
\(g_L = (6,67 \times 7,3) \times \frac{10^{-11} \times 10^{22}}{(1,7)^2 \times (10^6)^2}\)
\(g_L \approx 48,7 \times \frac{10^{11}}{2,89 \times 10^{12}} \approx 16,9 \times 10^{11-12} = 16,9 \times 10^{-1} \approx 1,7\) N/kg.
b) Poids de l’astronaute (m=80 kg) :
Poids sur la Lune : \(P_L = m \times g_L \approx 80 \times 1,7 = 136\) N.
Poids sur Terre : \(P_T = m \times g_T \approx 80 \times 9,8 = 784\) N.
Comparaison : Le poids sur la Lune est \(784 / 136 \approx 5,8\) fois plus faible que sur Terre (environ 6 fois, comme attendu).
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