FICHE DE RÉVISION – Calcul intégral
(Niveau : Terminale)
Analyse : Calcul Intégral
Calculer des aires sous les courbes : définition de l’intégrale, lien avec les primitives et intégration par parties.
Partie 1 : Intégrale d’une Fonction Continue et Positive
1. Définition comme Aire sous la Courbe
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a, b]\) (\(a \le b\)).
L’intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\), notée \(\int_a^b f(x) dx\), est l’aire (en unités d’aire) du domaine délimité par :
- La courbe \(C_f\) représentative de \(f\).
- L’axe des abscisses (Ox).
- Les droites verticales d’équation \(x=a\) et \(x=b\).
\(a\) et \(b\) sont les bornes d’intégration, \(x\) est la variable (muette), \(dx\) indique qu’on intègre par rapport à \(x\).
Par convention : \(\int_a^a f(x) dx = 0\) et \(\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx\).
Calculer \(\int_0^3 4 dx\).
La fonction est \(f(x)=4\) (constante positive). C’est l’aire d’un rectangle de base \(3-0=3\) et de hauteur 4.
L’intégrale vaut \(3 \times 4 = 12\).
2. Lien avec les Primitives (Théorème Fondamental – Partie 1)
Si \(f\) est une fonction continue et positive sur \([a, b]\), alors la fonction \(F_a\) définie sur \([a, b]\) par : $$ F_a(x) = \int_a^x f(t) dt $$ (l’aire sous la courbe de \(a\) jusqu’à \(x\)) est la primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\).
C’est-à-dire : \(F_a'(x) = f(x)\) et \(F_a(a) = 0\).
Ce théorème établit un lien crucial : calculer une aire (intégrale) est lié à trouver une primitive (l’opération inverse de la dérivation).
3. Calcul d’Intégrale par les Primitives (Théorème Fondamental – Partie 2)
Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) contenant \(a\) et \(b\), et si \(F\) est n’importe quelle primitive de \(f\) sur \(I\), alors : $$ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a) $$
Théorème (Admis) : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Démonstration (\(\int_a^b f = F(b) – F(a)\) pour \(f\) positive et croissante)
Soit \(f\) continue, positive et croissante sur \([a, b]\). On sait que \(F_a(x) = \int_a^x f(t) dt\) est une primitive de \(f\) s’annulant en \(a\).
Soit \(F\) une autre primitive quelconque de \(f\). On sait qu’il existe une constante C telle que \(F(x) = F_a(x) + C\) pour tout \(x \in [a, b]\).
Calculons \(F(b) – F(a)\) :
\(F(b) – F(a) = (F_a(b) + C) – (F_a(a) + C)\)
On sait que \(F_a(a) = \int_a^a f(t) dt = 0\).
Donc \(F(b) – F(a) = (F_a(b) + C) – (0 + C) = F_a(b)\).
Par définition, \(F_a(b) = \int_a^b f(t) dt\).
Conclusion : \(F(b) – F(a) = \int_a^b f(t) dt\).
Calculer \(I = \int_1^2 x^2 dx\).
1. La fonction \(f(x)=x^2\) est continue.
2. Une primitive de \(x^2\) est \(F(x) = \frac{x^3}{3}\).
3. On applique la formule : \(I = F(2) – F(1) = \frac{2^3}{3} – \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} – \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\).
(L’aire sous la parabole \(y=x^2\) entre \(x=1\) et \(x=2\) vaut exactement 7/3).
Partie 2 : Intégrale d’une Fonction de Signe Quelconque
Si \(f\) est une fonction continue sur \([a, b]\) (pas forcément positive), on définit son intégrale par la même formule : $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a) $$ où \(F\) est une primitive quelconque de \(f\).
Interprétation graphique : L’intégrale représente une aire algébrique.
– Si \(f(x) \ge 0\) sur \([a, b]\), \(\int_a^b f(x) dx\) est l’aire géométrique sous la courbe (positive).
– Si \(f(x) \le 0\) sur \([a, b]\), \(\int_a^b f(x) dx\) est l’opposé de l’aire géométrique entre la courbe et l’axe Ox (négative).
– Si \(f\) change de signe, l’intégrale est la somme des aires au-dessus de l’axe moins la somme des aires en dessous.
[Image showing algebraic area for a function with positive and negative parts]
Calculer \(J = \int_0^\pi \cos(x) dx\).
1. \(f(x)=\cos(x)\) est continue.
2. Une primitive est \(F(x) = \sin(x)\).
3. \(J = F(\pi) – F(0) = \sin(\pi) – \sin(0) = 0 – 0 = 0\).
Interprétation : Sur \([0, \pi]\), la fonction cosinus est positive sur \([0, \pi/2]\) et négative sur \([\pi/2, \pi]\). Les deux aires (au-dessus puis en dessous) se compensent exactement.
Partie 3 : Propriétés de l’Intégrale
Soient \(f\) et \(g\) des fonctions continues sur un intervalle \(I\), \(a, b, c \in I\), \(k \in \mathbb{R}\).
- Linéarité :
- \(\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx\)
- \(\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx\)
- Positivité : Si \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x \in [a, b]\) (avec \(a \le b\)), alors \(\int_a^b f(x) dx \ge 0\).
- Intégration des inégalités : Si \(f(x) \le g(x)\) pour tout \(x \in [a, b]\) (avec \(a \le b\)), alors \(\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx\).
- Relation de Chasles : Pour tout \(c \in [a, b]\) (ou même en dehors si l’intervalle contient a,b,c) : $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ (L’aire de \(a\) à \(b\) est l’aire de \(a\) à \(c\) plus l’aire de \(c\) à \(b\)).
Calcul d’Aire entre Deux Courbes
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \([a, b]\) et si \(f(x) \ge g(x)\) sur cet intervalle.
L’aire du domaine compris entre les courbes \(C_f\) et \(C_g\) et les droites \(x=a, x=b\) est donnée par : $$ \text{Aire}(C_f, C_g) = \int_a^b [f(x) – g(x)] dx $$ (Intégrale de la fonction « du dessus » moins la fonction « du dessous »).
[Image of area between two curves f(x) and g(x)]
Calculer l’aire entre \(f(x)=x\) et \(g(x)=x^2\) sur \([0, 1]\).
Sur \([0, 1]\), on sait que \(x \ge x^2\). Donc \(f(x) \ge g(x)\).
\(\text{Aire} = \int_0^1 (x – x^2) dx\)
Une primitive de \(x – x^2\) est \(F(x) = \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3}\).
\(\text{Aire} = F(1) – F(0) = \left(\frac{1^2}{2} – \frac{1^3}{3}\right) – \left(\frac{0^2}{2} – \frac{0^3}{3}\right)\)
\(\text{Aire} = \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) – 0 = \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\).
Valeur Moyenne
La valeur moyenne d’une fonction continue \(f\) sur un intervalle \([a, b]\) (avec \(a \neq b\)) est le nombre \(\mu\) défini par : $$ \mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $$ C’est « l’altitude moyenne » de la fonction sur l’intervalle. L’aire sous la courbe \(\int_a^b f\) est égale à l’aire d’un rectangle de base \((b-a)\) et de hauteur \(\mu\).
[Image illustrating mean value of a function]
Valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([1, 2]\).
On a calculé \(\int_1^2 x^2 dx = 7/3\). L’intervalle a une longueur \(b-a = 2-1 = 1\).
\(\mu = \frac{1}{1} \times \frac{7}{3} = \frac{7}{3}\).
Partie 4 : Intégration par Parties (IPP)
C’est une technique pour calculer l’intégrale d’un produit de fonctions, basée sur la formule de dérivation d’un produit.
Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([a, b]\) dont les dérivées \(u’\) et \(v’\) sont continues, alors : $$ \int_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x) v(x) dx $$ où \([u(x) v(x)]_a^b = u(b)v(b) – u(a)v(a)\).
Idée : On transforme l’intégrale de \(uv’\) (qu’on ne sait pas calculer) en l’intégrale de \(u’v\) (qu’on espère savoir calculer).
Démonstration (Intégration par Parties)
On part de la formule de dérivation d’un produit : \((uv)’ = u’v + uv’\).
Comme les fonctions sont continues, on peut intégrer cette égalité entre \(a\) et \(b\) :
\(\int_a^b (u(x)v(x))’ dx = \int_a^b (u'(x)v(x) + u(x)v'(x)) dx\).
Par linéarité de l’intégrale :
\(\int_a^b (u(x)v(x))’ dx = \int_a^b u'(x)v(x) dx + \int_a^b u(x)v'(x) dx\).
Le terme de gauche est l’intégrale d’une dérivée. D’après le théorème fondamental, c’est la différence de la fonction aux bornes :
\(\int_a^b (u(x)v(x))’ dx = [u(x)v(x)]_a^b\).
On a donc : \([u(x)v(x)]_a^b = \int_a^b u'(x)v(x) dx + \int_a^b u(x)v'(x) dx\).
En isolant \(\int_a^b u(x)v'(x) dx\), on obtient la formule de l’IPP.
Règle générale (ALPES) : On choisit pour \(u\) (la fonction qu’on va dériver) dans cet ordre de priorité : Arcsin/cos, Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/cosinus.
L’idée est de choisir pour \(u\) une fonction qui se simplifie en dérivant (comme ln ou un polynôme) et pour \(v’\) une fonction dont on connaît facilement une primitive \(v\).
Calculer \(I = \int_0^1 x e^x dx\). Produit d’un polynôme (\(x\)) et d’une exponentielle (\(e^x\)).
On choisit \(u(x) = x\) (car sa dérivée est simple) et \(v'(x) = e^x\).
Alors \(u'(x) = 1\) et une primitive \(v(x) = e^x\).
IPP : \(I = [u(x)v(x)]_0^1 – \int_0^1 u'(x)v(x) dx\)
\(I = [x e^x]_0^1 – \int_0^1 1 \times e^x dx\)
\(I = (1e^1 – 0e^0) – \int_0^1 e^x dx\)
\(I = e – [e^x]_0^1\)
\(I = e – (e^1 – e^0) = e – (e – 1) = e – e + 1 = 1\).
\(I = 1\).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
- Exercice 1 (Calcul de primitives) : Trouver une primitive de \(f(x) = \frac{x}{ (x^2+1)^2 }\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Exercice 2 (Calcul d’intégrales) : Calculer les intégrales suivantes :
a) \(I = \int_0^1 (e^x + 2) dx\)
b) \(J = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x} dx\)
c) \(K = \int_0^{\pi/2} x \sin(x) dx\) (utiliser une IPP) -
Exercice 3 (Aire et Valeur Moyenne) :
a) Calculer l’aire A comprise entre la courbe de \(f(x)=1/x\), l’axe (Ox) et les droites \(x=1, x=e\).
b) Calculer la valeur moyenne \(\mu\) de \(f(x)=1/x\) sur \([1, e]\).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Primitive)
\(f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2} = x(x^2+1)^{-2}\).
Ça ressemble à \(u’ u^n\) avec \(u(x) = x^2+1\) (\(u'(x)=2x\)) et \(n=-2\).
Il manque un facteur 2. On écrit : \(f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2} u'(x) [u(x)]^{-2}\).
Une primitive de \(u’u^n\) est \(\frac{u^{n+1}}{n+1}\). Ici \(n+1 = -1\).
Une primitive est \(F(x) = \frac{1}{2} \times \frac{[u(x)]^{-1}}{-1} = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{u(x)}\).
\(F(x) = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C\).
Correction Exercice 2 (Calcul d’intégrales)
a) \(I = \int_0^1 (e^x + 2) dx\) :
Une primitive de \(e^x+2\) est \(F(x) = e^x + 2x\).
\(I = F(1) – F(0) = (e^1 + 2(1)) – (e^0 + 2(0)) = (e+2) – (1+0) = e + 1\).
\(I = e + 1\).
b) \(J = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x} dx\) :
On reconnaît la forme \(u’ \times u^n\) avec \(u(x) = \ln(x)\) (\(u'(x)=1/x\)) et \(n=1\).
\(f(x) = \frac{1}{x} \times (\ln(x))^1 = u'(x) [u(x)]^1\).
Une primitive est \(F(x) = \frac{[u(x)]^{1+1}}{1+1} = \frac{(\ln(x))^2}{2}\).
\(J = F(e) – F(1) = \frac{(\ln(e))^2}{2} – \frac{(\ln(1))^2}{2} = \frac{1^2}{2} – \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}\).
\(J = 1/2\).
c) \(K = \int_0^{\pi/2} x \sin(x) dx\) (IPP) :
Produit Polynôme \(\times\) Sinus. On pose \(u(x)=x\) (pour dériver) et \(v'(x)=\sin(x)\).
Alors \(u'(x)=1\) et une primitive \(v(x)=-\cos(x)\).
IPP : \(K = [u(x)v(x)]_0^{\pi/2} – \int_0^{\pi/2} u'(x)v(x) dx\)
\(K = [x(-\cos x)]_0^{\pi/2} – \int_0^{\pi/2} 1 \times (-\cos x) dx\)
\(K = \left( \frac{\pi}{2}(-\cos(\pi/2)) – 0(-\cos(0)) \right) + \int_0^{\pi/2} \cos x dx\)
\(K = \left( \frac{\pi}{2}(0) – 0 \right) + [\sin x]_0^{\pi/2}\)
\(K = 0 + (\sin(\pi/2) – \sin(0)) = (1 – 0) = 1\).
\(K = 1\).
Correction Exercice 3 (Aire et Valeur Moyenne)
\(f(x)=1/x\) sur \([1, e]\).
a) Aire A : La fonction \(1/x\) est positive sur \([1, e]\).
A = \(\int_1^e \frac{1}{x} dx\).
Une primitive de \(1/x\) sur \(]0, +\infty[\) est \(F(x) = \ln(x)\).
A = \(F(e) – F(1) = \ln(e) – \ln(1) = 1 – 0 = 1\).
L’aire vaut 1 unité d’aire.
b) Valeur Moyenne \(\mu\) :
\(\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx\) avec \(a=1, b=e\).
\(\mu = \frac{1}{e-1} \int_1^e \frac{1}{x} dx = \frac{1}{e-1} \times 1\).
\(\mu = \frac{1}{e-1}\) (\(\approx \frac{1}{1.718} \approx 0.58\)).
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