Endomorphismes d'un espace euclidien
(Niveau : Prépa)
Espaces Euclidiens : Cours Complet
Ce chapitre fait le lien entre l’algèbre linéaire (matrices, bases) et la géométrie (longueurs, angles). L’aboutissement en est le Théorème Spectral, outil surpuissant pour l’étude des matrices symétriques.
1. L’Adjoint d’un Endomorphisme
Dans un espace euclidien $E$, le produit scalaire permet de définir l’adjoint $u^*$, qui généralise la notion de transposée.
Pour tout $u \in \mathcal{L}(E)$, il existe un unique endomorphisme $u^*$ tel que : $$\forall (x,y) \in E^2, \quad \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$$
Propriétés Algébriques
- Involution : $(u^*)^* = u$.
- Linéarité : $(\lambda u + v)^* = \lambda u^* + v^*$.
- Composition : $(u \circ v)^* = v^* \circ u^*$ (L’ordre s’inverse !).
- Inverse : Si $u$ est inversible, $(u^*)^{-1} = (u^{-1})^*$.
1. Dans une Base Orthonormée (BON), la matrice de l’adjoint est la transposée : $Mat(u^*) = {}^t M$.
2. Si un sous-espace $F$ est stable par $u$, alors son orthogonal $F^\perp$ est stable par $u^*$.
2. Matrices Orthogonales et Groupe $O_n(\mathbb{R})$
Une matrice $M$ est dite orthogonale si elle vérifie ${}^t M M = I_n$. Cela équivaut à $M^{-1} = {}^t M$.
Le Groupe Orthogonal
L’ensemble de ces matrices forme le groupe $O_n(\mathbb{R})$. Le déterminant vaut toujours $\pm 1$.
- $SO_n(\mathbb{R})$ (Spécial Orthogonal) : Matrices de déterminant 1 (Rotations).
- $O_n^-(\mathbb{R})$ : Matrices de déterminant -1 (Isométries indirectes).
Note : La matrice de passage entre deux bases orthonormées est toujours une matrice orthogonale.
3. Isométries Vectorielles
Un endomorphisme est une isométrie vectorielle s’il conserve la norme : $||u(x)|| = ||x||$.
1. $u$ est une isométrie vectorielle.
2. $u$ conserve le produit scalaire : $\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle$.
3. L’image d’une BON est une BON.
4. $u^* \circ u = \text{Id}_E$ (c’est-à-dire $u^{-1} = u^*$).
Exemple : La Réflexion
Une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan $H$ est une isométrie indirecte ($\det = -1$) appelée Réflexion. Sa matrice dans une base adaptée est $Diag(1, \dots, 1, -1)$.
4. Classification en Dimension 2 et 3
Dimension 2 (Le Plan)
- Rotation $R_\theta$ (Directe) : Matrice $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$.
- Réflexion (Indirecte) : Symétrie par rapport à une droite. Matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ dans une BON adaptée.
Dimension 3 (L’Espace)
Les isométries directes sont des rotations autour d’un axe dirigé par un vecteur $k$.
Réduction Générale
Pour toute isométrie, il existe une BON où la matrice est diagonale par blocs, constituée de blocs rotations $R_{\theta_i}$ ($2\times2$) et de scalaires $1$ ou $-1$.
5. Endomorphismes Autoadjoints et Théorème Spectral
Un endomorphisme est autoadjoint (ou symétrique) si $u^* = u$. Matriciellement : ${}^t M = M$.
Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint. Alors :
1. Toutes ses valeurs propres sont RÉELLES.
2. Les sous-espaces propres sont deux à deux ORTHOGONAUX.
3. $u$ est diagonalisable dans une Base Orthonormée.
Traduction Matricielle : Toute matrice symétrique réelle $S$ se diagonalise sous la forme $S = \Omega D {}^t\Omega$ (avec $\Omega$ orthogonale).
Projecteurs Orthogonaux
Un projecteur $p$ ($p^2=p$) est un projecteur orthogonal si et seulement si il est autoadjoint ($p^*=p$).
6. Positivité
Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint.
- $u$ est positif ($u \in \mathcal{S}^+$) si $\forall x, \langle u(x), x \rangle \ge 0$.
Caractérisation spectrale : Toutes les valeurs propres sont $\ge 0$. - $u$ est défini positif ($u \in \mathcal{S}^{++}$) si $\forall x \ne 0, \langle u(x), x \rangle > 0$.
Caractérisation spectrale : Toutes les valeurs propres sont strictement positives ($> 0$).