FICHE DE RÉVISION – Equations de droites
(Niveau : Seconde)
Géométrie : Équations de Droites
La carte d’identité des droites : comment les décrire avec des vecteurs et des équations pour résoudre des problèmes géométriques.
Partie 1 : Vecteur Directeur
Au lieu de parler de « pente », on peut décrire l’inclinaison d’une droite avec un vecteur qui lui est parallèle.
Un vecteur directeur \(\vec{u}\) d’une droite \(\Delta\) est n’importe quel vecteur non nul qui a la même direction que la droite \(\Delta\).
Si \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de la droite \(\Delta\), alors le vecteur \(\vec{AB}\) est un vecteur directeur de \(\Delta\).
Tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires entre eux.
Si une droite passe par A(1, 2) et B(3, 5), alors \(\vec{AB} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur.
Le vecteur \(\vec{u} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) (qui est \(2\vec{AB}\)) est aussi un vecteur directeur de cette droite.
Le vecteur \(\vec{v} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (qui est \(-\vec{AB}\)) est aussi un vecteur directeur.
Partie 2 : Les Équations de Droites
Une équation de droite est une relation algébrique qui lie les coordonnées \(x\) et \(y\) de tous les points appartenant à cette droite (et seulement eux).
1. Équation Cartésienne (La plus générale)
Toute droite \(\Delta\) du plan a une équation de la forme : $$ ax + by + c = 0 $$ où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres réels, et \(a\) et \(b\) ne sont pas nuls en même temps.
Un vecteur directeur de cette droite est \(\vec{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).
Un point \(M(x_M, y_M)\) appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation : \(ax_M + by_M + c = 0\).
La droite d’équation \(2x – 3y + 1 = 0\). Ici \(a=2\), \(b=-3\), \(c=1\).
Un vecteur directeur est \(\vec{u} \begin{pmatrix} -(-3) \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\).
Le point A(1, 1) est-il sur la droite ? \(2(1) – 3(1) + 1 = 2 – 3 + 1 = 0\). Oui.
Le point B(0, 0) est-il sur la droite ? \(2(0) – 3(0) + 1 = 1 \neq 0\). Non.
2. Équation Réduite (Pour les droites non verticales)
Si une droite \(\Delta\) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées (c’est-à-dire si \(b \neq 0\) dans l’équation cartésienne), elle admet une équation unique de la forme : $$ y = mx + p $$ où :
- \(m\) est le coefficient directeur (ou pente).
- \(p\) est l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur \(m\) est lié au vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}\) par \(m = \frac{u_y}{u_x}\) (si \(u_x \neq 0\)).
Un vecteur directeur simple est \(\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}\).
La droite d’équation \(y = -2x + 3\).
Le coefficient directeur est \(m = -2\). La pente est négative (la droite « descend »).
L’ordonnée à l’origine est \(p = 3\). La droite coupe l’axe (Oy) au point (0, 3).
Un vecteur directeur est \(\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).
(On peut vérifier : depuis \(y=-2x+3\), on a \(2x + y – 3 = 0\). \(a=2, b=1\). Un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\), qui est bien colinéaire à \(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\)).
L’équation cartésienne \(ax+by+c=0\) marche pour toutes les droites. C’est elle qu’on utilise le plus souvent avec les vecteurs. Retiens le lien : \(\vec{u}(-b, a)\) est directeur.
Partie 3 : Déterminer une Équation de Droite
On te donne des informations (points, vecteur, pente), tu dois trouver l’équation.
1. Avec deux points A et B
Méthode Vectorielle (la plus sûre) :
- Un point \(M(x, y)\) appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs \(\vec{AM}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires.
- Calculer les coordonnées de \(\vec{AM} \begin{pmatrix} x – x_A \\ y – y_A \end{pmatrix}\) et \(\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix}\).
- Écrire que leur déterminant est nul : \(\det(\vec{AM}, \vec{AB}) = 0\).
- Développer l’expression \( (x – x_A)(y_B – y_A) – (y – y_A)(x_B – x_A) = 0 \). Ceci est une équation cartésienne de la droite.
Trouver une équation de la droite passant par A(1, 2) et B(3, -1).
Soit \(M(x, y)\) un point de la droite.
\(\vec{AM} \begin{pmatrix} x – 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}\). \(\vec{AB} \begin{pmatrix} 3 – 1 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\).
\(\det(\vec{AM}, \vec{AB}) = (x – 1)(-3) – (y – 2)(2) = 0\)
\(-3(x – 1) – 2(y – 2) = 0\)
\(-3x + 3 – 2y + 4 = 0\)
\(-3x – 2y + 7 = 0\) (ou \(3x + 2y – 7 = 0\)) est une équation cartésienne.
2. Avec un point A et un vecteur directeur \(\vec{u}\)
C’est la même méthode : \(M(x, y)\) appartient à la droite si et seulement si \(\vec{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires. On écrit \(\det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0\).
Astuce rapide (pour l’équation cartésienne) : Si \(\vec{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\), l’équation est de la forme \(ax + by + c = 0\). On trouve \(c\) en disant que le point A vérifie l’équation.
Droite passant par A(2, -1) et de vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).
Ici, \(-b = 3\) donc \(b=-3\), et \(a=4\). L’équation est de la forme \(4x – 3y + c = 0\).
A est sur la droite : \(4(2) – 3(-1) + c = 0 \Rightarrow 8 + 3 + c = 0 \Rightarrow 11 + c = 0 \Rightarrow c = -11\).
Équation : \(4x – 3y – 11 = 0\).
3. Avec un point A et la pente \(m\)
On sait que l’équation réduite est \(y = mx + p\).
On connaît \(m\). On trouve \(p\) en disant que les coordonnées de A vérifient l’équation : \(y_A = m x_A + p\).
Droite passant par A(1, 5) avec une pente \(m = -2\).
L’équation est \(y = -2x + p\).
A est dessus : \(5 = -2(1) + p \Rightarrow 5 = -2 + p \Rightarrow p = 7\).
Équation réduite : \(y = -2x + 7\).
Partie 4 : Positions Relatives et Intersection
1. Parallélisme
Deux droites \(\Delta\) et \(\Delta’\) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{u’}\) sont colinéaires (\(\det(\vec{u}, \vec{u’}) = 0\)).
Cas des équations réduites \(y=mx+p\) et \(y=m’x+p’\) : Elles sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente (\(m = m’\)). Si de plus \(p=p’\), elles sont confondues.
2. Intersection
Si deux droites ne sont pas parallèles, elles sont sécantes en un unique point.
Pour trouver les coordonnées \((x, y)\) du point d’intersection, on doit résoudre le système d’équations formé par les équations des deux droites.
Trouver l’intersection de \(\Delta: 2x + y = 3\) et \(\Delta’: x – y = 0\).
On résout le système :
$$ \begin{cases} 2x + y = 3 \quad (L1) \\ x – y = 0 \quad (L2) \end{cases} $$
De (L2), on tire \(x = y\).
On remplace dans (L1) : \(2y + y = 3 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1\).
Comme \(x = y\), on a \(x = 1\).
Le point d’intersection est (1, 1).
Partie 5 : Démonstration (Au Programme)
Démonstration : Forme générale d’une équation de droite
Soit \(\Delta\) une droite passant par un point \(A(x_A, y_A)\) et dirigée par un vecteur non nul \(\vec{u} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}\).
Un point \(M(x, y)\) appartient à la droite \(\Delta\) si et seulement si les vecteurs \(\vec{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires.
Les coordonnées de \(\vec{AM}\) sont \(\begin{pmatrix} x – x_A \\ y – y_A \end{pmatrix}\).
La condition de colinéarité s’écrit avec le déterminant nul : $$ \det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0 $$ $$ (x – x_A)u_y – (y – y_A)u_x = 0 $$
Développons cette expression : $$ xu_y – x_A u_y – yu_x + y_A u_x = 0 $$ $$ u_y x – u_x y + (y_A u_x – x_A u_y) = 0 $$
Posons \(a = u_y\), \(b = -u_x\), et \(c = y_A u_x – x_A u_y\).
L’équation devient : $$ ax + by + c = 0 $$
Comme \(\vec{u}\) est non nul, ses coordonnées \(u_x\) et \(u_y\) ne sont pas nulles en même temps. Donc \(a = u_y\) et \(b = -u_x\) ne sont pas nuls en même temps.
Conclusion : On a montré que tout point M de la droite vérifie une équation de la forme \(ax+by+c=0\) (avec a et b non simultanément nuls). Réciproquement, on peut montrer que tout point vérifiant une telle équation est sur la droite.
Note : Le vecteur directeur utilisé ici est \(\vec{u} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\), ce qui confirme la règle donnée plus tôt.
Partie 6 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Trouver équations) :
a) Donner une équation cartésienne de la droite passant par A(2, 0) et B(-1, 6).
b) Donner l’équation réduite de la droite passant par C(4, 1) et de pente \(m=3\).
c) Donner une équation cartésienne de la droite passant par D(0, -2) et de vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}\). -
Exercice 2 (Parallèles/Sécantes) :
Les droites \(\Delta_1: 6x – 2y + 5 = 0\) et \(\Delta_2: y = 3x – 1\) sont-elles parallèles ou sécantes ? Si elles sont sécantes, trouver leur point d’intersection. -
Exercice 3 (Tracer) :
Tracer dans un repère la droite d’équation \(x + 2y – 4 = 0\). (Trouver deux points simples).
Partie 7 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Trouver équations)
a) Droite (AB) avec A(2, 0) et B(-1, 6) :
Soit \(M(x, y)\) un point de (AB).
\(\vec{AM} \begin{pmatrix} x – 2 \\ y – 0 \end{pmatrix}\). \(\vec{AB} \begin{pmatrix} -1 – 2 \\ 6 – 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}\).
\(\det(\vec{AM}, \vec{AB}) = (x – 2)(6) – (y)(-3) = 0\)
\(6x – 12 + 3y = 0\)
\(6x + 3y – 12 = 0\) (On peut simplifier par 3 : \(2x + y – 4 = 0\)).
b) Droite passant par C(4, 1), pente \(m=3\) :
Équation réduite : \(y = 3x + p\).
C est dessus : \(1 = 3(4) + p \Rightarrow 1 = 12 + p \Rightarrow p = 1 – 12 = -11\).
\(y = 3x – 11\).
c) Droite passant par D(0, -2), vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) :
Ici \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}\). Donc \(b = -5\) et \(a = -1\).
L’équation est de la forme \(-1x – 5y + c = 0\).
D est dessus : \(-1(0) – 5(-2) + c = 0 \Rightarrow 0 + 10 + c = 0 \Rightarrow c = -10\).
\(-x – 5y – 10 = 0\) (ou \(x + 5y + 10 = 0\)).
Correction Exercice 2 (Parallèles/Sécantes)
\(\Delta_1: 6x – 2y + 5 = 0\) et \(\Delta_2: y = 3x – 1\).
Méthode 1 : Vecteurs directeurs
Pour \(\Delta_1\) (\(a=6, b=-2\)), un vecteur directeur est \(\vec{u_1} \begin{pmatrix} -(-2) \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\).
Pour \(\Delta_2\) (\(m=3\)), un vecteur directeur est \(\vec{u_2} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Calculons \(\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}) = (2)(3) – (6)(1) = 6 – 6 = 0\).
Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
Méthode 2 : Pentes
Pour \(\Delta_1\), mettons sous forme réduite : \(-2y = -6x – 5 \Rightarrow y = \frac{-6}{-2}x + \frac{-5}{-2} \Rightarrow y = 3x + 2.5\). La pente est \(m_1 = 3\).
Pour \(\Delta_2\), l’équation est déjà réduite : \(y = 3x – 1\). La pente est \(m_2 = 3\).
Les pentes sont égales (\(m_1 = m_2 = 3\)). Les droites sont parallèles.
(Comme les ordonnées à l’origine sont différentes \(2.5 \neq -1\), elles sont strictement parallèles et non confondues).
Conclusion : Les droites sont parallèles. (Elles ne sont donc pas sécantes).
Correction Exercice 3 (Tracer)
On veut tracer \(\Delta: x + 2y – 4 = 0\).
Il suffit de trouver deux points distincts de la droite.
Point 1 : Choisissons une valeur simple pour \(x\), par exemple \(x=0\).
L’équation devient : \(0 + 2y – 4 = 0 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2\).
Le point A(0, 2) est sur la droite.
Point 2 : Choisissons une valeur simple pour \(y\), par exemple \(y=0\).
L’équation devient : \(x + 2(0) – 4 = 0 \Rightarrow x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4\).
Le point B(4, 0) est sur la droite.
Tracé : On place les points A(0, 2) et B(4, 0) dans le repère et on trace la droite qui passe par ces deux points.
(Autre méthode : mettre sous forme réduite \(2y = -x + 4 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 2\). Placer l’ordonnée à l’origine \(p=2\). Avancer de 2 (dénominateur de m), descendre de 1 (numérateur de m) pour trouver un autre point).
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