FICHE DE RÉVISION – Etude et variation d'une fonction
(Niveau : Seconde)
Fonctions : Variations et Extremums
Apprendre à lire une courbe, dresser un tableau de variations et trouver les « sommets » et les « creux ».
Partie 1 : Sens de Variation (Croissance, Décroissance)
Étudier le sens de variation d’une fonction, c’est dire quand elle « monte » (croissante) ou quand elle « descend » (décroissante), toujours en lisant de gauche à droite.Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
- \(f\) est croissante sur \(I\) si, pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\) :Si \(a < b\), alors \(f(a) \le f(b)\) (la fonction conserve l’ordre).
- \(f\) est décroissante sur \(I\) si, pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\) :Si \(a < b\), alors \(f(a) \ge f(b)\) (la fonction inverse l’ordre).
- \(f\) est constante sur \(I\) si \(f(a) = f(b)\) pour tous \(a\) et \(b\).
- \(f\) est monotone sur \(I\) si elle est soit toujours croissante, soit toujours décroissante sur \(I\).
C’est super simple : pour lire les variations, suis la courbe avec ton doigt, de la gauche vers la droite (comme la lecture).– Si ton doigt monte \(\Rightarrow\) la fonction est croissante.– Si ton doigt descend \(\Rightarrow\) la fonction est décroissante.Ne te laisse pas avoir par les flèches au bout de la courbe, elles indiquent juste qu’elle continue vers l’infini !
Partie 2 : Le Tableau de Variations
Le tableau de variations est le résumé ultra-efficace du comportement d’une fonction.Il se lit sur deux lignes :- Ligne 1 ( \(x\) ) : L’ensemble de définition (les bornes) et les valeurs de \(x\) où la fonction « change de sens ».
- Ligne 2 ( \(f(x)\) ) : Les flèches (\(\nearrow\) pour croissante, \(\searrow\) pour décroissante) et les valeurs (images) atteintes aux points clés.
Imaginons une fonction \(f\) définie sur \([-5, 10]\).– Elle est croissante sur \([-5, 2]\).– Elle est décroissante sur \([2, 10]\).– On sait que \(f(-5) = -3\), \(f(2) = 6\), et \(f(10) = 1\).Voici son tableau de variations :
| \(x\) | -5 | 2 | 10 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | -3 | \(\nearrow\) | 6 | \(\searrow\) | 1 |
Partie 3 : Extremums (Maximum et Minimum)
Les extremums sont les « points extrêmes » d’une fonction sur un intervalle donné : le sommet de la montagne ou le fond de la vallée.Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).Le maximum de \(f\) sur \(I\) est la plus grande valeur (image) atteinte par \(f\).On dit que \(f\) admet un maximum \(M\) en \(a\) si, pour tout \(x\) dans \(I\), \(f(x) \le f(a) = M\).Le minimum de \(f\) sur \(I\) est la plus petite valeur (image) atteinte par \(f\).On dit que \(f\) admet un minimum \(m\) en \(a\) si, pour tout \(x\) dans \(I\), \(f(x) \ge f(a) = m\).
Dans l’exemple du tableau de variations ci-dessus (sur l’intervalle \([-5, 10]\)) :– Le point le plus haut est \(y=6\).– Le maximum de la fonction est 6, et il est atteint en \(x=2\).– Le point le plus bas est \(y=-3\).– Le minimum de la fonction est -3, et il est atteint en \(x=-5\).
C’est LE piège classique. Ne confonds pas « le maximum » et « où il est atteint ».– Le Maximum (ou Minimum) : C’est la valeur, l’altitude, le \(y\).– L’endroit où il est atteint : C’est l’abscisse, le \(x\).Question : « Quel est le maximum de \(f\) ? » Réponse : 6.Question : « En quel point \(x\) le maximum est-il atteint ? » Réponse : 2.
Partie 4 : Cas Spécial (Rappel) – Fonctions Affines
Le cas d’une fonction affine \(f(x) = mx + p\) est le plus simple : son sens de variation ne dépend que d’un seul nombre, sa pente \(m\).Le coefficient directeur \(m\) s’appelle aussi le taux d’accroissement. Il indique de combien \(y\) augmente (ou diminue) quand \(x\) augmente de 1.
- Si \(m > 0\) (pente positive) \(\Rightarrow\) la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Si \(m < 0\) (pente négative) \(\Rightarrow\) la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
- Si \(m = 0\) (pente nulle) \(\Rightarrow\) la fonction est constante sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(f(x) = -3x + 8\).Le coefficient directeur est \(m = -3\).Puisque \(m < 0\), la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).On peut donc comparer \(f(10)\) et \(f(20)\) : comme \(10 < 20\) et que \(f\) est décroissante, on inverse l’ordre : \(f(10) > f(20)\).
Partie 5 : Démonstrations (Rappel des Fonctions de Référence)
Le B.O. demande de savoir démontrer les variations des fonctions de référence. La méthode est toujours la même : on prend \(a < b\) et on compare \(f(a)\) et \(f(b)\) (souvent en étudiant le signe de \(f(b) – f(a)\)).Démonstration : Variations de la fonction carré \(f(x) = x^2\)
On étudie le signe de \(f(a) – f(b) = a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).Cas 1 : \(a\) et \(b\) dans \([0, +\infty[\) (positifs) avec \(a < b\).\(a-b\) est négatif.\(a+b\) est positif.\(f(a) – f(b) = (\text{négatif}) \times (\text{positif}) = \text{négatif}\).Donc \(f(a) – f(b) < 0\), soit \(f(a) < f(b)\). L’ordre est conservé : \(f\) est croissante.Cas 2 : \(a\) et \(b\) dans \(]-\infty, 0]\) (négatifs) avec \(a < b\).\(a-b\) est négatif.\(a+b\) est négatif.\(f(a) – f(b) = (\text{négatif}) \times (\text{négatif}) = \text{positif}\).Donc \(f(a) – f(b) > 0\), soit \(f(a) > f(b)\). L’ordre est inversé : \(f\) est décroissante.
Démonstration : Variations de la fonction inverse \(f(x) = 1/x\)
On étudie le signe de \(f(a) – f(b) = \frac{1}{a} – \frac{1}{b} = \frac{b – a}{ab}\).Cas 1 : \(a\) et \(b\) dans \(]0, +\infty[\) (positifs) avec \(a < b\).\(b-a\) est positif.\(ab\) est positif.\(f(a) – f(b) = \frac{\text{positif}}{\text{positif}} = \text{positif}\).Donc \(f(a) > f(b)\). L’ordre est inversé : \(f\) est décroissante.Cas 2 : \(a\) et \(b\) dans \(]-\infty, 0[\) (négatifs) avec \(a < b\).\(b-a\) est positif.\(ab\) est positif (négatif \(\times\) négatif).\(f(a) – f(b) = \frac{\text{positif}}{\text{positif}} = \text{positif}\).Donc \(f(a) > f(b)\). L’ordre est inversé : \(f\) est décroissante.
Partie 6 : Entraînement (Exercices)
À toi de jouer !- Exercice 1 (Lecture graphique) :Imaginons une fonction \(g\) définie sur \([-4, 5]\).– La courbe part de \(g(-4) = 5\).– Elle descend jusqu’à \(g(1) = -2\).– Elle remonte jusqu’à \(g(5) = 3\).a) Dresser le tableau de variations complet de \(g\).b) Quel est le maximum de \(g\) sur \([-4, 5]\) ? En quel \(x\) est-il atteint ?c) Quel est le minimum de \(g\) sur \([-4, 5]\) ? En quel \(x\) est-il atteint ?
- Exercice 2 (Utilisation du tableau) :Soit \(h\) une fonction dont voici le tableau de variations :
a) Quel est le sens de variation de \(h\) sur l’intervalle \([-2, 4]\) ?b) Comparer, si possible, \(h(1)\) et \(h(3)\).c) Comparer, si possible, \(h(-5)\) et \(h(0)\).\(x\) -10 -2 4 \(h(x)\) 1 \(\searrow\) -5 \(\nearrow\) 8 - Exercice 3 (Calculatrice) :Soit la fonction \(f(x) = x^3 – 3x + 1\) définie sur \([-2, 2]\).Utilise ta calculatrice (mode Graphe) pour déterminer :a) Le maximum de \(f\) sur \([-2, 2]\) et la valeur de \(x\) où il est atteint.b) Le minimum de \(f\) sur \([-2, 2]\) et la valeur de \(x\) où il est atteint.
Partie 7 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Lecture graphique)
a) Tableau de variations de \(g\) :La fonction descend sur \([-4, 1]\) puis monte sur \([1, 5]\).
b) Maximum :Le point le plus haut de la courbe est \(y=5\).Le maximum est 5, atteint en \(x = -4\).c) Minimum :Le point le plus bas de la courbe est \(y=-2\).Le minimum est -2, atteint en \(x = 1\).
| \(x\) | -4 | 1 | 5 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 5 | \(\searrow\) | -2 | \(\nearrow\) | 3 |
Correction Exercice 2 (Utilisation du tableau)
a) Sur l’intervalle \([-2, 4]\), la flèche monte (\(\nearrow\)). La fonction \(h\) est strictement croissante.b) Comparer \(h(1)\) et \(h(3)\) :Les nombres 1 et 3 sont tous les deux dans l’intervalle \([-2, 4]\) où \(h\) est croissante.On a \(1 < 3\). Puisque \(h\) est croissante, elle conserve l’ordre.Solution : \(h(1) < h(3)\).c) Comparer \(h(-5)\) et \(h(0)\) :\(-5\) est dans l’intervalle \([-10, -2]\) où \(h\) est décroissante.\(0\) est dans l’intervalle \([-2, 4]\) où \(h\) est croissante.Les nombres ne sont pas dans le même intervalle de monotonie.Solution : On ne peut pas les comparer juste avec ce tableau (on sait juste que \(h(-5)\) est entre 1 et -5, et \(h(0)\) est entre -5 et 8).
Correction Exercice 3 (Calculatrice)
En entrant la fonction \(f(x) = x^3 – 3x + 1\) dans la calculatrice et en réglant la fenêtre sur \(X_{min}=-2\) et \(X_{max}=2\), on observe la courbe.a) Maximum :On voit un « sommet » (un maximum local) dans les \(x\) négatifs.En utilisant la fonction « G-Solv \(\rightarrow\) MAX » (Casio) ou « Calcul \(\rightarrow\) maximum » (TI) :Le maximum est 3, atteint en \(x = -1\).(Note : la calculatrice trouve parfois \(-0.999…\) à cause des approximations).b) Minimum :On voit un « creux » (un minimum local) dans les \(x\) positifs.En utilisant la fonction « G-Solv \(\rightarrow\) MIN » (Casio) ou « Calcul \(\rightarrow\) minimum » (TI) :Le minimum est -1, atteint en \(x = 1\).(Note : La calculatrice affiche parfois \(0.999…\)).(Attention : les valeurs aux bornes \([-2, 2]\) sont \(f(-2) = -1\) et \(f(2) = 3\). Le maximum est donc atteint en deux points, \(x=-1\) et \(x=2\)).
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