FICHE DE RÉVISION – La Fonction exponentielle
(Niveau : Première)
Analyse : La Fonction Exponentielle
Découverte d’une fonction unique \(e^x\), essentielle pour modéliser les croissances et décroissances rapides.
Partie 1 : Une Fonction Unique au Monde
La fonction exponentielle est la seule fonction qui vérifie deux conditions très spéciales.
Il existe une unique fonction \(f\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), telle que :
- Sa dérivée est égale à elle-même : \(f'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
- Elle vaut 1 en 0 : \(f(0) = 1\).
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle, notée exp.
\( \exp'(x) = \exp(x) \) et \( \exp(0) = 1 \)
(L’existence et l’unicité sont admises en Première).
Partie 2 : Notations et Propriétés Algébriques
1. Le Nombre \(e\) et la Notation \(e^x\)
L’image de 1 par la fonction exponentielle est un nombre irrationnel très important, noté \(e\). $$ e = \exp(1) \approx 2,71828… $$ On montre (admis ici) que la fonction exponentielle se comporte comme une puissance. On adopte donc la notation : $$ \exp(x) = e^x $$
Avec cette notation, les propriétés deviennent très intuitives (ce sont les règles des puissances !) :
2. Propriétés Algébriques Fondamentales
Pour tous nombres réels \(x\) et \(y\), et pour tout entier relatif \(n\) :
- Relation fonctionnelle : \(e^{x+y} = e^x \times e^y\)
- \(e^0 = 1\)
- \(e^1 = e\)
- \(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\)
- \(e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}\)
- \((e^x)^n = e^{nx}\)
Simplifier \(A = e^{2x} \times e^{-x+1}\) et \(B = \frac{(e^x)^3}{e^{2x}}\).
\(A = e^{2x + (-x+1)} = e^{x+1}\).
\(B = \frac{e^{3x}}{e^{2x}} = e^{3x – 2x} = e^x\).
Approfondissement : Démonstration de \(e^{x+y} = e^x e^y\)
Soit \(y\) un réel fixé. On considère la fonction \(g(x) = \frac{\exp(x+y)}{\exp(y)}\) définie sur \(\mathbb{R}\) (car \(\exp(y) \neq 0\), on verra pourquoi).
1. Calculons la dérivée de \(g(x)\). C’est de la forme \(k \times f(ax+b)\) avec \(k=1/\exp(y)\) et \(f(u) = \exp(u)\) et \(u=x+y\) (donc \(a=1\)).
\(g'(x) = \frac{1}{\exp(y)} \times [ \exp'(x+y) \times 1 ]\)
Comme \(\exp’ = \exp\), on a : \(g'(x) = \frac{\exp(x+y)}{\exp(y)} = g(x)\).
2. Calculons \(g(0)\).
\(g(0) = \frac{\exp(0+y)}{\exp(y)} = \frac{\exp(y)}{\exp(y)} = 1\).
3. Conclusion (Unicité) :
La fonction \(g\) vérifie \(g’ = g\) et \(g(0) = 1\). Par définition, \(g\) est donc LA fonction exponentielle.
Ainsi, \(g(x) = \exp(x)\).
Donc \(\frac{\exp(x+y)}{\exp(y)} = \exp(x)\), ce qui donne \(\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)\).
Partie 3 : Étude de la Fonction Exponentielle \(f(x)=e^x\)
1. Signe
Pour tout nombre réel \(x\), \(e^x > 0\).
La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).
2. Variations
La dérivée de \(f(x)=e^x\) est \(f'(x)=e^x\).
Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x\), la dérivée est toujours positive.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Conséquence : Pour tous réels \(a\) et \(b\), \(a < b \Leftrightarrow e^a < e^b\).
Approfondissement : Démonstration de la positivité et croissance
1. Positivité :
On peut écrire \(e^x = e^{x/2 + x/2} = e^{x/2} \times e^{x/2} = (e^{x/2})^2\).
Un carré est toujours positif ou nul.
Peut-il être nul ? Si \(e^x = 0\), alors \(e^x \times e^{-x} = 0 \times e^{-x} = 0\). Mais \(e^x \times e^{-x} = e^{x-x} = e^0 = 1\). On obtient \(1 = 0\), ce qui est impossible.
Donc \(e^x\) ne peut pas être nul. Étant toujours \(\ge 0\) et jamais nul, il est toujours \(> 0\).
2. Croissance :
La dérivée de \(f(x)=e^x\) est \(f'(x)=e^x\).
On vient de montrer que \(e^x > 0\) pour tout \(x\).
Donc \(f'(x) > 0\) pour tout \(x\).
Une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante.
3. Courbe Représentative
La courbe de \(y=e^x\) a les caractéristiques suivantes :
- Elle passe par le point \((0, 1)\) (car \(e^0=1\)).
- Elle est toujours au-dessus de l’axe des abscisses.
- Elle est strictement croissante.
- La tangente en \(x=0\) a pour pente \(e^0=1\) (équation \(y=x+1\)).
- Elle « explose » très vite vers \(+\infty\) quand \(x\) devient grand.
- Elle s’écrase très vite vers 0 quand \(x\) devient très négatif (l’axe des abscisses est asymptote horizontale en \(-\infty\)).
Partie 4 : Lien avec les Suites Géométriques et Modélisation
Soit \(a\) un réel. Considérons la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = e^{na}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
Calculons le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) : $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{e^{(n+1)a}}{e^{na}} = \frac{e^{na + a}}{e^{na}} = \frac{e^{na} \times e^a}{e^{na}} = e^a $$ Ce rapport est constant et égal à \(e^a\).
La suite \((e^{na})\) est une suite géométrique de raison \(q = e^a\) et de premier terme \(u_0 = e^{0 \times a} = e^0 = 1\).
Modélisation d’Évolutions
La fonction exponentielle est le modèle de base pour les phénomènes d’évolution « continus » où le taux de variation est proportionnel à la quantité.
- Croissance exponentielle (ex: population, capital) : Modélisée par \(f(t) = C e^{kt}\) avec \(k > 0\).
- Décroissance exponentielle (ex: radioactivité, concentration) : Modélisée par \(f(t) = C e^{-kt}\) avec \(k > 0\).
– **Évolution « pas à pas » (discrète) à taux fixe T% :** Modèle = Suite Géométrique de raison \(q = 1 + T/100\). Formule \(u_n = u_0 \times q^n\).
– **Évolution continue à taux « instantané » k :** Modèle = Fonction Exponentielle. Formule \(f(t) = f(0) \times e^{kt}\).
Les deux décrivent des phénomènes similaires, mais l’un par paliers (chaque année, chaque mois…), l’autre de façon continue.
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Propriétés algébriques) : Simplifier les expressions suivantes :
a) \( \frac{e^5 \times e^{-2}}{e^3} \)
b) \( (e^{-x})^2 \times e^{2x+1} \)
c) \( \frac{e^{x+y}}{e^x e^y} \) -
Exercice 2 (Équations/Inéquations simples) : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a) \( e^x = e^3 \)
b) \( e^x < 1 \)
c) \( e^{-x} = e \) -
Exercice 3 (Modélisation) : La population d’une ville (en milliers d’habitants) \(t\) années après 2020 est modélisée par \(P(t) = 50 e^{0,02t}\).
a) Quelle était la population en 2020 (t=0) ?
b) Quel est le taux de croissance annuel (en pourcentage) ?
c) Estimer la population en 2030 (arrondir à l’unité).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Propriétés algébriques)
a) \( \frac{e^5 \times e^{-2}}{e^3} \) :
\( = \frac{e^{5+(-2)}}{e^3} = \frac{e^3}{e^3} = e^{3-3} = e^0 = 1 \).
b) \( (e^{-x})^2 \times e^{2x+1} \) :
\( = e^{-x \times 2} \times e^{2x+1} = e^{-2x} \times e^{2x+1} \)
\( = e^{-2x + (2x+1)} = e^1 = e \).
c) \( \frac{e^{x+y}}{e^x e^y} \) :
On sait que \(e^{x+y} = e^x e^y\).
Donc \( \frac{e^{x+y}}{e^x e^y} = \frac{e^x e^y}{e^x e^y} = 1 \).
Correction Exercice 2 (Équations/Inéquations simples)
On utilise le fait que \(e^a = e^b \Leftrightarrow a = b\) et que \(e^x\) est strictement croissante (\(e^a < e^b \Leftrightarrow a < b\)).
a) \( e^x = e^3 \) : \(\Leftrightarrow x = 3\). \(S = \{3\}\).
b) \( e^x < 1 \) : On sait que \(1 = e^0\).
\( e^x < e^0 \Leftrightarrow x < 0\). \(S = ]-\infty, 0[\).
c) \( e^{-x} = e \) : On sait que \(e = e^1\).
\( e^{-x} = e^1 \Leftrightarrow -x = 1 \Leftrightarrow x = -1\). \(S = \{-1\}\).
Correction Exercice 3 (Modélisation)
\(P(t) = 50 e^{0,02t}\) (en milliers d’habitants).
a) Population en 2020 (t=0) :
\(P(0) = 50 e^{0,02 \times 0} = 50 e^0 = 50 \times 1 = 50\).
La population était de 50 milliers d’habitants (50 000).
b) Taux de croissance annuel :
Le modèle est \(P(t) = P(0) e^{kt}\) avec \(k = 0,02\).
Le nombre \(k\) représente le taux de croissance « instantané ».
Pour trouver le taux annuel T%, on regarde le coefficient multiplicateur sur un an :
\(P(t+1) = 50 e^{0,02(t+1)} = 50 e^{0,02t + 0,02} = 50 e^{0,02t} \times e^{0,02} = P(t) \times e^{0,02}\).
Le CM annuel est \(q = e^{0,02}\).
Calculons \(q \approx 2,718^{0,02} \approx 1,0202\).
Le taux \(t\) est \(q – 1 = 1,0202 – 1 = 0,0202\).
En pourcentage \(T = t \times 100 = 2,02\%\).
Le taux de croissance annuel est d’environ 2,02%.
c) Population en 2030 (t=10) :
\(P(10) = 50 e^{0,02 \times 10} = 50 e^{0,2}\).
À la calculatrice : \(P(10) \approx 50 \times 1,2214 \approx 61,07\).
La population estimée en 2030 est d’environ 61 milliers d’habitants (61 000).
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