FICHE DE RÉVISION –fonction logarithme népérien (ln)
(Niveau : Terminale)
Analyse : Fonction Logarithme Népérien (ln)
La fonction réciproque de l’exponentielle : maîtriser les propriétés, la dérivation et les limites de ln.
Partie 1 : Définition et Lien avec l’Exponentielle
La fonction logarithme népérien est la « défaire » de la fonction exponentielle.
1. Définition
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Elle est définie sur l’intervalle \(]0, +\infty[\) (car l’exponentielle est toujours strictement positive).
Cela signifie que pour tout réel \(y \in \mathbb{R}\) et pour tout réel \(x \in ]0, +\infty[\) : $$ y = \ln(x) \iff x = e^y $$
Conséquences immédiates :
- Pour tout \(x \in ]0, +\infty[\) : \(e^{\ln(x)} = x\).
- Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(\ln(e^x) = x\).
- \(\ln(1) = 0\) (car \(e^0 = 1\)).
- \(\ln(e) = 1\) (car \(e^1 = e\)).
Résoudre \(e^x = 5\) : On applique \(\ln\) des deux côtés : \(\ln(e^x) = \ln(5) \Rightarrow x = \ln(5)\).
Résoudre \(\ln(x) = 2\) : On applique \(e\) des deux côtés : \(e^{\ln(x)} = e^2 \Rightarrow x = e^2\).
2. Courbes Représentatives (Symétrie)
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle (\(C_{\exp}\)) et logarithme népérien (\(C_{\ln}\)) sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y=x\) (la première bissectrice).
Partie 2 : Propriétés Algébriques
Le logarithme transforme les produits en sommes, les quotients en différences, et les puissances en produits.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\), et pour tout entier relatif \(n \in \mathbb{Z}\) :
- Produit : \(\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)\)
- Inverse : \(\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)\)
- Quotient : \(\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b)\)
- Puissance : \(\ln(a^n) = n \times \ln(a)\)
- Racine carrée : \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)\) (car \(\sqrt{a} = a^{1/2}\))
\(\ln(6) = \ln(2 \times 3) = \ln(2) + \ln(3)\).
\(\ln\left(\frac{5}{7}\right) = \ln(5) – \ln(7)\).
\(\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)\).
Simplifier \(\ln(e^3 \times 4)\) : \(\ln(e^3) + \ln(4) = 3 + \ln(4)\).
Partie 3 : Dérivation et Variations
1. Dérivée du Logarithme
La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\).
Sa fonction dérivée est : $$ (\ln(x))’ = \frac{1}{x} $$
Démonstration (Admise) : On utilise la dérivée de la réciproque. Soit \(y = \ln(x)\). Alors \(x = e^y\).
On sait que \((e^y)’ = e^y\).
La dérivée de la fonction réciproque est donnée par \((f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\).
Ici, \(f(y) = e^y\), \(f'(y) = e^y\), \(f^{-1}(x) = \ln(x)\).
Donc \((\ln(x))’ = \frac{1}{e^{\ln(x)}} = \frac{1}{x}\).
2. Dérivée de \(\ln(u)\)
Si \(u\) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\), alors la fonction \(\ln(u(x))\) est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est : $$ (\ln(u(x)))’ = \frac{u'(x)}{u(x)} $$
Dériver \(f(x) = \ln(x^2+1)\). Ici \(u(x)=x^2+1\) (\(u(x)\) est toujours \(>0\)). \(u'(x)=2x\).
\(f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}\).
Dériver \(g(x) = \ln(-x)\) pour \(x<0\). Ici \(u(x)=-x\) (\(u(x)\) est bien \(>0\) pour \(x<0\)). \(u'(x)=-1\).
\(g'(x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}\).
3. Variations de la Fonction ln
Pour tout \(x \in ]0, +\infty[\), \(\ln'(x) = \frac{1}{x}\).
Comme \(x > 0\), alors \(\frac{1}{x} > 0\).
Donc, la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0, +\infty[\).
Pour résoudre \(\ln(x) > \ln(3)\), on peut directement dire \(x > 3\) (car \(\ln\) est croissante).
Pour résoudre \(\ln(x) \le 0\), comme \(\ln(1)=0\) et \(\ln\) est croissante, on a \(0 < x \le 1\).
Partie 4 : Limites et Croissances Comparées
1. Limites aux Bornes
Les limites de la fonction \(\ln\) à l’infini et en 0 sont :
- \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\)
- \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
Ces limites sont directement liées à celles de l’exponentielle par symétrie :
\(\lim_{y \to +\infty} e^y = +\infty\) et \(\lim_{y \to -\infty} e^y = 0\).
Limite de \(f(x) = \ln(x^2+1)\) en \(+\infty\) :
\(\lim_{x \to +\infty} (x^2+1) = +\infty\).
En posant \(X = x^2+1\), \(\lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty\).
Donc \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2+1) = +\infty\).
2. Croissances Comparées
Il est crucial de savoir « qui l’emporte » entre \(\ln(x)\), \(x^n\) et \(e^x\) aux limites.
Pour tout entier naturel non nul \(n \in \mathbb{N}^*\) et tout réel \(\alpha > 0\) :
- En \(+\infty\) :
- L’exponentielle l’emporte sur les puissances : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty\)
- Les puissances l’emportent sur le logarithme : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0\) (ou \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^\alpha} = 0\))
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{\ln(x)} = +\infty\) (conséquence des deux premières)
- En \(0^+\) :
- Le logarithme « tire » vers \(-\infty\) plus vite que les puissances ne « tirent » vers 0 :
$$ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \quad (\text{ou } \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln(x) = 0 \text{ pour } \alpha > 0) $$
Démonstration de \(\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0\) (Admise) :
On pose \(x = e^{-X}\). Quand \(x \to 0^+\), \(X \to +\infty\).
Alors \(x \ln(x) = e^{-X} \ln(e^{-X}) = e^{-X} (-X) = -X e^{-X} = -\frac{X}{e^X}\).
On sait que \(\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X} = +\infty\), donc \(\lim_{X \to +\infty} \frac{X}{e^X} = 0\).
Par conséquent, \(\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = -0 = 0\).
- Le logarithme « tire » vers \(-\infty\) plus vite que les puissances ne « tirent » vers 0 :
$$ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \quad (\text{ou } \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln(x) = 0 \text{ pour } \alpha > 0) $$
Limite de \(f(x) = x \ln(x) – x\) en \(0^+\) :
\(\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0\) (croissances comparées).
\(\lim_{x \to 0^+} x = 0\).
Donc \(\lim_{x \to 0^+} (x \ln(x) – x) = 0 – 0 = 0\).
Limite de \(g(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) en \(+\infty\) :
C’est une croissance comparée : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\).
Limite de \(h(x) = \frac{e^x}{x^2}\) en \(+\infty\) :
C’est une croissance comparée : l’exponentielle l’emporte sur \(x^2\), donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty\).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Propriétés algébriques) :
a) Écrire \(A = \ln(12) – \ln(3) + \ln(e^2)\) sous forme de \(\ln(k)\) ou d’un nombre entier.
b) Résoudre l’équation \(\ln(x+1) = 2\).
c) Résoudre l’inéquation \(e^{2x-1} < 3\). -
Exercice 2 (Dérivation) : Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur leur domaine de définition :
a) \(f(x) = x \ln(x) – x\)
b) \(g(x) = \frac{\ln(x)}{x}\)
c) \(h(x) = (\ln(x))^2\)
d) \(k(x) = \ln(e^x + 1)\) -
Exercice 3 (Limites et croissances comparées) : Calculer les limites suivantes :
a) \(\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) – x)\)
b) \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x}\)
c) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3 + \ln(x)}\)
d) \(\lim_{x \to +\infty} (x^2 – \ln(x))\)
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Propriétés algébriques)
a) Simplifier \(A = \ln(12) – \ln(3) + \ln(e^2)\) :
\(A = \ln\left(\frac{12}{3}\right) + 2\)
\(A = \ln(4) + 2\).
On peut aussi écrire \(A = \ln(2^2) + 2 = 2\ln(2) + 2\).
b) Résoudre \(\ln(x+1) = 2\) :
Condition d’existence : \(x+1 > 0 \Rightarrow x > -1\).
\(\ln(x+1) = 2 \iff e^{\ln(x+1)} = e^2\)
\(x+1 = e^2\)
\(x = e^2 – 1\).
Puisque \(e^2 – 1 \approx 7.38 – 1 = 6.38\), qui est bien \(> -1\), la solution est valide.
L’ensemble des solutions est \(S = \{e^2 – 1\}\).
c) Résoudre \(e^{2x-1} < 3\) :
On applique la fonction \(\ln\) (qui est croissante) des deux côtés :
\(\ln(e^{2x-1}) < \ln(3)\)
\(2x-1 < \ln(3)\)
\(2x < 1 + \ln(3)\)
\(x < \frac{1 + \ln(3)}{2}\).
L’ensemble des solutions est \(S = \left]-\infty, \frac{1 + \ln(3)}{2}\right[\).
Correction Exercice 2 (Dérivation)
a) \(f(x) = x \ln(x) – x\) : Domaine de définition \(]0, +\infty[\).
On dérive \(x \ln(x)\) comme un produit \((uv)’ = u’v + uv’\) avec \(u=x\) et \(v=\ln(x)\).
\(u’=1\), \(v’=\frac{1}{x}\).
\((x \ln(x))’ = 1 \times \ln(x) + x \times \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\).
\((-x)’ = -1\).
Donc \(f'(x) = \ln(x) + 1 – 1 = \ln(x)\).
b) \(g(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) : Domaine de définition \(]0, +\infty[\).
On dérive comme un quotient \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\) avec \(u=\ln(x)\) et \(v=x\).
\(u’=\frac{1}{x}\), \(v’=1\).
\(g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x – \ln(x) \times 1}{x^2} = \frac{1 – \ln(x)}{x^2}\).
c) \(h(x) = (\ln(x))^2\) : Domaine de définition \(]0, +\infty[\).
C’est de la forme \(u^n\) avec \(u(x)=\ln(x)\) et \(n=2\).
Rappel : \((u^n)’ = n u’ u^{n-1}\).
\(h'(x) = 2 \times (\ln(x))’ \times (\ln(x))^{2-1} = 2 \times \frac{1}{x} \times \ln(x) = \frac{2\ln(x)}{x}\).
d) \(k(x) = \ln(e^x + 1)\) : Domaine de définition \(\mathbb{R}\) (car \(e^x+1\) est toujours \(\ge 1\), donc \(>0\)).
C’est de la forme \(\ln(u)\) avec \(u(x)=e^x+1\).
\(u'(x)=e^x\).
Rappel : \((\ln(u))’ = \frac{u’}{u}\).
\(k'(x) = \frac{e^x}{e^x+1}\).
Correction Exercice 3 (Limites et croissances comparées)
a) \(\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) – x)\) :
Forme indéterminée « \(\infty – \infty\) ». On factorise par \(x\).
\(\ln(x) – x = x \left(\frac{\ln(x)}{x} – 1\right)\).
On sait que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\) (croissance comparée).
Donc \(\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\ln(x)}{x} – 1\right) = 0 – 1 = -1\).
Puisque \(\lim_{x \to +\infty} x = +\infty\), le produit tend vers \((+\infty) \times (-1) = -\infty\).
\(\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) – x) = -\infty\).
b) \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x}\) :
\(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\).
\(\lim_{x \to 0^+} x = 0^+\).
Donc la limite est de la forme \(\frac{-\infty}{0^+}\), ce qui donne \(-\infty\).
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty\).
c) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3 + \ln(x)}\) :
Au numérateur : \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\).
Au dénominateur : \(\lim_{x \to +\infty} (x^3 + \ln(x))\). \(x^3\) l’emporte sur \(\ln(x)\), donc \(\lim_{x \to +\infty} (x^3 + \ln(x)) = +\infty\).
On a une forme indéterminée « \(\frac{\infty}{\infty}\) ».
On factorise par le terme dominant au dénominateur : \(x^3 + \ln(x) = x^3 \left(1 + \frac{\ln(x)}{x^3}\right)\).
On sait que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^3} = 0\) (croissance comparée).
Donc \(\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{\ln(x)}{x^3}\right) = 1\).
Ainsi, la limite du dénominateur est équivalente à \(\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty\).
La limite de l’expression est \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3}\).
C’est une croissance comparée où l’exponentielle l’emporte sur \(x^3\).
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3 + \ln(x)} = +\infty\).
d) \(\lim_{x \to +\infty} (x^2 – \ln(x))\) :
Forme indéterminée « \(\infty – \infty\) ». On factorise par le terme dominant \(x^2\).
\(x^2 – \ln(x) = x^2 \left(1 – \frac{\ln(x)}{x^2}\right)\).
On sait que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\) (croissance comparée).
Donc \(\lim_{x \to +\infty} \left(1 – \frac{\ln(x)}{x^2}\right) = 1 – 0 = 1\).
Puisque \(\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\), le produit tend vers \((+\infty) \times 1 = +\infty\).
\(\lim_{x \to +\infty} (x^2 – \ln(x)) = +\infty\).
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