FICHE DE RÉVISION – Fonctions de références
(Niveau : Seconde)
Les Fonctions de Référence
Les 5 fonctions que tu DOIS connaître par cœur. Elles sont les « briques » de base pour toutes les autres !
Partie 1 : La Fonction Carré \(f(x) = x^2\)
1. Définition et Courbe
La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\) (tous les nombres) par \(f(x) = x^2\).
Sa courbe s’appelle une Parabole. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (on dit que la fonction est paire : \(f(-x) = f(x)\)).
\(f(3) = 3^2 = 9\)
\(f(-3) = (-3)^2 = 9\)
L’image de 2 est 4. Les antécédents de 4 sont 2 et -2.
2. Variations
La fonction carré est strictement décroissante sur \(]-\infty, 0]\).
La fonction carré est strictement croissante sur \([0, +\infty[\).
Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) :
Cas 1 : \(a\) et \(b\) sont positifs, ex: \(2 < 3\). Puisque \(f\) est croissante sur \([0, +\infty[\), on garde l’ordre : \(f(2) < f(3)\) (car \(4 < 9\)).
Cas 2 : \(a\) et \(b\) sont négatifs, ex: \(-3 < -2\). Puisque \(f\) est décroissante sur \(]-\infty, 0]\), on inverse l’ordre : \(f(-3) > f(-2)\) (car \(9 > 4\)).
3. Résolution d’équations \(x^2 = k\)
Résoudre \(x^2 = k\) revient à chercher les antécédents de \(k\).
- Si \(k < 0\) (ex: \(x^2 = -5\)) : Pas de solution (un carré n’est jamais négatif). \(S = \emptyset\).
- Si \(k = 0\) (ex: \(x^2 = 0\)) : Une seule solution, \(x=0\). \(S = \{0\}\).
- Si \(k > 0\) (ex: \(x^2 = 9\)) : Deux solutions, \(\sqrt{k}\) et \(-\sqrt{k}\). \(S = \{-\sqrt{k}, \sqrt{k}\}\).
Résoudre \(x^2 < 4\) (graphiquement : "quand est-ce que la parabole est SOUS la ligne \(y=4\)" ?)
On voit que c’est entre les antécédents -2 et 2.
Solution : \(S = ]-2, 2[\).
Partie 2 : La Fonction Inverse \(f(x) = \frac{1}{x}\)
1. Définition et Courbe
La fonction inverse est définie par \(f(x) = \frac{1}{x}\).
Ensemble de définition : On ne peut pas diviser par 0. Le nombre 0 est la valeur interdite.
L’ensemble de définition est \(\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), soit \(]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[\).
Sa courbe s’appelle une Hyperbole.
2. Variations
La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]-\infty, 0[\).
La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]0, +\infty[\).
On NE PEUT PAS dire que la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}^*\).
Contre-exemple : \(-2 < 3\).
Si on appliquait la décroissance, on inverserait l’ordre : \(f(-2) > f(3)\) ?
Calculons : \(f(-2) = -0,5\) et \(f(3) \approx 0,33\).
On a bien \(-0,5 < 0,33\). L'ordre n'a PAS été inversé !
On compare \(f(a)\) et \(f(b)\) uniquement si \(a\) et \(b\) sont dans le même intervalle (tous les deux positifs ou tous les deux négatifs).
3. Résolution d’équations \(\frac{1}{x} = k\)
Résoudre \(\frac{1}{x} = 5\).
On « inverse » les deux côtés : \(x = \frac{1}{5}\). \(S = \{1/5\}\).
Résoudre \(\frac{1}{x} \le 2\) (pour \(x > 0\)).
Comme \(x\) est positif, on peut multiplier sans changer le sens : \(1 \le 2x\).
On divise par 2 : \(\frac{1}{2} \le x\).
Solution : \(S = [1/2, +\infty[\).
Partie 3 : La Fonction Racine Carrée \(f(x) = \sqrt{x}\)
1. Définition et Courbe
La fonction racine carrée est définie par \(f(x) = \sqrt{x}\).
Ensemble de définition : La racine d’un nombre négatif n’existe pas.
L’ensemble de définition est \(\mathbb{R}^+ = [0, +\infty[\).
La courbe de \(y=\sqrt{x}\) est la « demi-parabole » de \(y=x^2\), mais « couchée » sur l’axe des abscisses.
2. Variations
La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0, +\infty[\).
Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) :
Puisque \(f\) est croissante, on garde toujours l’ordre.
\(5 < 7 \Rightarrow \sqrt{5} < \sqrt{7}\).
3. Résolution d’équations \(\sqrt{x} = k\)
Résoudre \(\sqrt{x} = k\).
- Si \(k < 0\) (ex: \(\sqrt{x} = -2\)) : Pas de solution (une racine est toujours positive). \(S = \emptyset\).
- Si \(k \ge 0\) (ex: \(\sqrt{x} = 3\)) : Une seule solution. On met au carré : \(x = k^2\).
\(\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 3^2 = 9\). \(S = \{9\}\).
Résoudre \(\sqrt{x} < 2\).
On met au carré (tout est positif, on garde l’ordre) : \(x < 4\).
Attention, on doit aussi respecter le domaine de définition (\(x \ge 0\)).
Solution : \(S = [0, 4[\).
Partie 4 : La Fonction Cube \(f(x) = x^3\)
1. Définition et Courbe
La fonction cube est définie sur \(\mathbb{R}\) (tous les nombres) par \(f(x) = x^3\).
Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine (on dit que la fonction est impaire : \(f(-x) = -f(x)\)).
\(f(2) = 2^3 = 8\)
\(f(-2) = (-2)^3 = -8\)
2. Variations
La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
Elle ne « change » jamais de sens, donc on garde toujours l’ordre.
\(-5 < 2 \Rightarrow (-5)^3 < 2^3\) (car \(-125 < 8\)).
3. Résolution d’équations \(x^3 = k\)
Contrairement à \(x^2\), l’équation \(x^3 = k\) a toujours une unique solution, quel que soit \(k\).
Cette solution s’appelle la racine cubique de \(k\).
Résoudre \(x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\). \(S = \{2\}\).
Résoudre \(x^3 = -27 \Rightarrow x = -3\). \(S = \{-3\}\).
Partie 5 : Rappel sur les Fonctions Affines \(f(x) = mx + p\)
Elles sont vues au collège mais restent des fonctions de référence essentielles.
Une fonction affine est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = mx + p\).
Sa courbe est une droite.
\(p\) est l’ordonnée à l’origine (où la droite coupe l’axe vertical).
\(m\) est le coefficient directeur (la « pente » de la droite).
Variations (Le plus important !) :
- Si \(m > 0\) (pente positive) : la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Si \(m < 0\) (pente négative) : la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
- Si \(m = 0\) (ex: \(f(x)=3\)) : la fonction est constante sur \(\mathbb{R}\).
\(f(x) = -2x + 5\). Ici \(m = -2\). Puisque \(m < 0\), la fonction est décroissante.
Donc \(f(10) > f(20)\) (l’ordre est inversé).
Partie 6 : Démonstration (Au Programme)
Cette démonstration t’oblige à comparer les fonctions de référence entre elles.
Démonstration : Position relative de \(y=x\), \(y=x^2\) et \(y=x^3\) sur \([0, +\infty[\)
Pour comparer deux courbes \(f(x)\) et \(g(x)\), on étudie le signe de leur différence \(f(x) – g(x)\).
1. Comparons \(x^2\) et \(x\) :
On étudie \(x^2 – x = x(x-1)\).
Sur l’intervalle \([0, 1]\), \(x\) est positif mais \(x-1\) est négatif. Donc \(x(x-1) \le 0\).
Sur l’intervalle \([1, +\infty[\), \(x\) et \(x-1\) sont positifs. Donc \(x(x-1) \ge 0\).
Conclusion 1 : Sur \([0, 1]\), \(x^2 \le x\). Sur \([1, +\infty[\), \(x^2 \ge x\).
2. Comparons \(x^3\) et \(x^2\) :
On étudie \(x^3 – x^2 = x^2(x-1)\).
Le terme \(x^2\) est toujours positif. Le signe ne dépend que de \((x-1)\).
Sur \([0, 1]\), \(x-1\) est négatif. Donc \(x^2(x-1) \le 0\).
Sur \([1, +\infty[\), \(x-1\) est positif. Donc \(x^2(x-1) \ge 0\).
Conclusion 2 : Sur \([0, 1]\), \(x^3 \le x^2\). Sur \([1, +\infty[\), \(x^3 \ge x^2\).
Bilan :
Sur l’intervalle \([0, 1]\), on a : \(x^3 \le x^2 \le x\).
Sur l’intervalle \([1, +\infty[\), on a : \(x \le x^2 \le x^3\).
(Toutes les courbes se croisent au point d’abscisse \(x=1\)).
Partie 7 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Variations) : En utilisant le sens de variation des fonctions, comparer les nombres suivants :
a) \((-1,2)^2\) et \((-1,3)^2\)
b) \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{1}{6}\)
c) \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{6,5}\) -
Exercice 2 (Résolution algébrique) : Résoudre les équations suivantes :
a) \(x^2 = 100\)
b) \(x^2 = -3\)
c) \(\frac{1}{x} = 4\)
d) \(x^3 = -8\) -
Exercice 3 (Résolution inéquations) : Résoudre les inéquations suivantes :
a) \(\sqrt{x} \ge 5\)
b) \(x^2 < 81\) (Aide-toi de l'intervalle \([-k, k]\))
Partie 8 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Variations)
a) \((-1,2)^2\) et \((-1,3)^2\) :
On compare \(f(-1,2)\) et \(f(-1,3)\) avec \(f(x) = x^2\).
On a \(-1,3 < -1,2\). Ces deux nombres sont dans l'intervalle \(]-\infty, 0]\) où la fonction carré est décroissante.
On doit donc inverser l’ordre : \(f(-1,3) > f(-1,2)\).
Solution : \((-1,3)^2 > (-1,2)^2\) (car \(1,69 > 1,44\)).
b) \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{1}{6}\) :
On compare \(f(5)\) et \(f(6)\) avec \(f(x) = 1/x\).
On a \(5 < 6\). Ces deux nombres sont dans l'intervalle \(]0, +\infty[\) où la fonction inverse est décroissante.
On doit donc inverser l’ordre : \(f(5) > f(6)\).
Solution : \(\frac{1}{5} > \frac{1}{6}\) (car \(0,2 > 0,166…\)).
c) \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{6,5}\) :
On compare \(f(7)\) et \(f(6,5)\) avec \(f(x) = \sqrt{x}\).
On a \(6,5 < 7\). Ces deux nombres sont dans l'intervalle \([0, +\infty[\) où la fonction racine est croissante.
On doit donc garder l’ordre : \(f(6,5) < f(7)\).
Solution : \(\sqrt{6,5} < \sqrt{7}\).
Correction Exercice 2 (Résolution algébrique)
a) \(x^2 = 100\) : C’est du type \(x^2 = k\) avec \(k > 0\). Il y a deux solutions \(\sqrt{100}\) et \(-\sqrt{100}\).
Solution : \(S = \{-10, 10\}\)
b) \(x^2 = -3\) : C’est du type \(x^2 = k\) avec \(k < 0\). Un carré ne peut pas être négatif.
Solution : \(S = \emptyset\) (Ensemble vide)
c) \(\frac{1}{x} = 4\) : On prend l’inverse des deux côtés.
Solution : \(x = \frac{1}{4}\). \(S = \{1/4\}\)
d) \(x^3 = -8\) : On cherche quel nombre au cube donne -8. (C’est un nombre négatif, donc la solution est négative).
Comme \((-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8\).
Solution : \(x = -2\). \(S = \{-2\}\)
Correction Exercice 3 (Résolution inéquations)
a) \(\sqrt{x} \ge 5\) :
On met au carré. Les deux côtés sont positifs, on garde l’ordre.
\(x \ge 5^2\)
Solution : \(x \ge 25\) (soit \(S = [25, +\infty[\)).
b) \(x^2 < 81\) :
On cherche les \(x\) dont le carré est plus petit que 81.
Les solutions de \(x^2 = 81\) sont \(-9\) et \(9\).
Graphiquement (le « bol »), la fonction \(x^2\) est *en dessous* de la ligne \(y=81\) entre ces two valeurs.
Solution : \(x \in ]-9, 9[\)
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