FICHE DE RÉVISION –fonctions trigonométriques sin/cos
(Niveau : Terminale)
Analyse : Fonctions Sinus et Cosinus
Étude approfondie des fonctions trigonométriques : dérivées, variations, courbes et résolution d’équations/inéquations.
Partie 1 : Rappels Essentiels (Première)
On travaille avec des angles en radians.
- Cercle trigonométrique : Rayon 1, centré à l’origine. Pour un réel \(x\), le point image \(M\) a pour coordonnées \((\cos x, \sin x)\).
- Relation fondamentale : \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).
- Bornes : \(-1 \le \cos(x) \le 1\) et \(-1 \le \sin(x) \le 1\).
- Périodicité : Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques : \(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\). On les étudie souvent sur un intervalle de longueur \(2\pi\), comme \( [-\pi, \pi] \) ou \( [0, 2\pi] \).
- Parité :
- \( \cos(-x) = \cos(x) \) : Cosinus est paire (symétrie / axe Oy).
- \( \sin(-x) = -\sin(x) \) : Sinus est impaire (symétrie / origine O).
Partie 2 : Dérivées des Fonctions Sinus et Cosinus
Ces formules sont fondamentales et admises (ou démontrées via les limites des taux de variation).
Les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).
- La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus :
$$ (\sin x)’ = \cos x $$ - La dérivée de la fonction cosinus est l’opposé de la fonction sinus :
$$ (\cos x)’ = -\sin x $$
Dérivées des fonctions composées (avec \(u(x)\)) :
- \( (\sin(u(x)))’ = u'(x) \cos(u(x)) \)
- \( (\cos(u(x)))’ = -u'(x) \sin(u(x)) \)
Dériver \(f(x) = \cos(3x + \pi/4)\). C’est \(\cos(u)\) avec \(u(x)=3x+\pi/4 \Rightarrow u'(x)=3\).
\(f'(x) = -u'(x)\sin(u(x)) = -3 \sin(3x + \pi/4)\).
Dériver \(g(x) = \sin(x^2)\). C’est \(\sin(u)\) avec \(u(x)=x^2 \Rightarrow u'(x)=2x\).
\(g'(x) = u'(x)\cos(u(x)) = 2x \cos(x^2)\).
Partie 3 : Variations et Courbes Représentatives
On utilise le signe des dérivées pour déterminer les variations.
1. Variations de Sinus sur \( [-\pi, \pi] \)
\(f(x) = \sin x\), \(f'(x) = \cos x\). On étudie le signe de \(\cos x\) sur \( [-\pi, \pi] \).
Sur le cercle trigo :
- \(\cos x > 0\) (abscisse positive) pour \(x \in ]-\pi/2, \pi/2[\).
- \(\cos x < 0\) (abscisse négative) pour \(x \in [-\pi, -\pi/2[ \cup ]\pi/2, \pi]\).
- \(\cos x = 0\) pour \(x = -\pi/2\) et \(x = \pi/2\).
Tableau de variations de \(\sin x\) :
| \(x\) | \(-\pi\) | \(-\pi/2\) | \(\pi/2\) | \(\pi\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(\cos x\) (\(=\sin’ x\)) | – | 0 | + | 0 | – | ||
| Variations de \(\sin x\) | 0 | \(\searrow\) | -1 | \(\nearrow\) | 1 | \(\searrow\) | 0 |
2. Variations de Cosinus sur \( [-\pi, \pi] \)
\(g(x) = \cos x\), \(g'(x) = -\sin x\). On étudie le signe de \(-\sin x\) sur \( [-\pi, \pi] \).
Sur le cercle trigo :
- \(\sin x > 0\) (ordonnée positive) pour \(x \in ]0, \pi[\). Donc \(-\sin x < 0\) sur cet intervalle.
- \(\sin x < 0\) (ordonnée négative) pour \(x \in ]-\pi, 0[\). Donc \(-\sin x > 0\) sur cet intervalle.
- \(\sin x = 0\) pour \(x = -\pi, 0, \pi\). Donc \(-\sin x = 0\) en ces points.
Tableau de variations de \(\cos x\) :
| \(x\) | \(-\pi\) | 0 | \(\pi\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(-\sin x\) (\(=\cos’ x\)) | + | 0 | – | ||
| Variations de \(\cos x\) | -1 | \(\nearrow\) | 1 | \(\searrow\) | -1 |
3. Courbes Représentatives (Sinusoïdes)
Les tableaux de variations confirment l’allure des courbes vues en Première.
Courbe de \(y = \cos x\) : Paire, \(2\pi\)-périodique, max 1 en \(0, \pm 2\pi…\), min -1 en \(\pm \pi, \pm 3\pi…\)
Courbe de \(y = \sin x\) : Impaire, \(2\pi\)-périodique, max 1 en \(\pi/2, 5\pi/2…\), min -1 en \(-\pi/2, 3\pi/2…\)
Partie 4 : Équations et Inéquations Trigonométriques Simples
On cherche les angles \(x\) (souvent dans \( [-\pi, \pi] \) ou \( [0, 2\pi] \)) qui vérifient une condition sur leur cosinus ou sinus.
1. Résoudre \(\cos x = a\) (avec \(-1 \le a \le 1\))
Méthode :
- Sur le cercle trigonométrique, tracer la droite verticale d’équation \(X = a\).
- Cette droite coupe le cercle en un ou deux points (sauf si a=±1).
- Repérer les angles \(x\) correspondants dans l’intervalle demandé (souvent \( [-\pi, \pi] \)). Il y a généralement deux solutions symétriques par rapport à l’axe (Ox), sauf pour \(a=\pm 1\).
Si \(\alpha\) est une solution (\(\cos \alpha = a\)), alors l’autre solution dans \( [-\pi, \pi] \) (si elle existe et est différente) est \(-\alpha\).
Résoudre \(\cos x = 1/2\) sur \( [-\pi, \pi] \).
On trace la droite \(X = 1/2\). Elle coupe le cercle en deux points.
On reconnaît la valeur remarquable : \(\cos(\pi/3) = 1/2\). Donc \(x = \pi/3\) est une solution.
L’autre solution est symétrique par rapport à (Ox), c’est \(x = -\pi/3\).
Solution : \(S = \{-\pi/3, \pi/3\}\).
2. Résoudre \(\sin x = a\) (avec \(-1 \le a \le 1\))
Méthode :
- Sur le cercle trigonométrique, tracer la droite horizontale d’équation \(Y = a\).
- Cette droite coupe le cercle en un ou deux points (sauf si a=±1).
- Repérer les angles \(x\) correspondants dans l’intervalle demandé. Il y a généralement deux solutions symétriques par rapport à l’axe (Oy), sauf pour \(a=\pm 1\).
Si \(\alpha\) est une solution (\(\sin \alpha = a\)), alors l’autre solution dans \( [0, 2\pi] \) (si elle existe et est différente) est \(\pi – \alpha\).
Résoudre \(\sin x = \sqrt{2}/2\) sur \( [-\pi, \pi] \).
On trace la droite \(Y = \sqrt{2}/2\). Elle coupe le cercle en deux points.
On reconnaît la valeur remarquable : \(\sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2\). Donc \(x = \pi/4\) est une solution.
L’autre solution (symétrique / (Oy)) correspond à l’angle \(\pi – \pi/4 = 3\pi/4\).
Ces deux angles sont bien dans \( [-\pi, \pi] \).
Solution : \(S = \{\pi/4, 3\pi/4\}\).
3. Résoudre une Inéquation (ex: \(\cos x \le a\))
Méthode :
- Résoudre l’équation associée (ex: \(\cos x = a\)) pour trouver les angles « limites ».
- Sur le cercle trigonométrique, repérer l’arc (ou les arcs) de cercle où la condition est vérifiée (ex: abscisse \(\le a\)).
- Écrire l’ensemble solution sous forme d’intervalle(s) en respectant l’intervalle de résolution demandé.
Résoudre \(\cos x \le 1/2\) sur \( [-\pi, \pi] \).
1. Solutions de \(\cos x = 1/2\) : \(-\pi/3\) et \(\pi/3\).
2. On cherche les points du cercle dont l’abscisse est \(\le 1/2\). C’est l’arc de cercle « à gauche » de la droite \(X=1/2\).
3. Sur \( [-\pi, \pi] \), cet arc correspond aux angles allant de \(-\pi\) jusqu’à \(-\pi/3\), ET de \(\pi/3\) jusqu’à \(\pi\).
Solution : \(S = [-\pi, -\pi/3] \cup [\pi/3, \pi]\).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
- Exercice 1 (Dérivation) : Calculer la dérivée de \(f(x) = \sin(x)\cos(x)\) de deux manières :
a) En utilisant la formule du produit \((uv)’\).
b) En remarquant que \(f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\) et en utilisant la dérivée de la composée. Vérifier que les résultats sont égaux.
- Exercice 2 (Variations) : Étudier les variations de la fonction \(g(x) = x + \cos x\) sur \([0, 2\pi]\).
- Exercice 3 (Équations/Inéquations) : Résoudre dans \( [-\pi, \pi] \) :
a) \(\sin x = -1/2\)
b) \(\cos x > \sqrt{3}/2\)
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Dérivation)
\(f(x) = \sin(x)\cos(x)\).
a) Formule du produit \( (uv)’ = u’v + uv’ \) :
\(u = \sin x \Rightarrow u’ = \cos x\)
\(v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x\)
\(f'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x)\)
\(f'(x) = \cos^2 x – \sin^2 x\).
b) Formule \(f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\) et composée :
C’est de la forme \(\frac{1}{2}\sin(u)\) avec \(u(x)=2x \Rightarrow u'(x)=2\).
\(f'(x) = \frac{1}{2} \times (u'(x) \cos(u(x)))\)
\(f'(x) = \frac{1}{2} \times (2 \cos(2x)) = \cos(2x)\).
Vérification : Les formules de duplication (vues ou admises) disent que \(\cos(2x) = \cos^2 x – \sin^2 x\). Les deux résultats sont bien égaux.
Correction Exercice 2 (Variations)
\(g(x) = x + \cos x\) sur \([0, 2\pi]\).
1. Dérivée : \(g'(x) = 1 + (-\sin x) = 1 – \sin x\).
2. Signe de \(g'(x)\) :
On sait que \(-1 \le \sin x \le 1\) pour tout \(x\).
Donc \( -1 \le -\sin x \le 1 \).
En ajoutant 1 : \( 1 – 1 \le 1 – \sin x \le 1 + 1 \).
Soit \( 0 \le g'(x) \le 2 \).
La dérivée \(g'(x)\) est donc toujours positive ou nulle.
3. Quand \(g'(x) = 0\) ?
\(1 – \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = 1\).
Sur \([0, 2\pi]\), l’unique solution est \(x = \pi/2\).
4. Tableau de variations : Comme \(g'(x) \ge 0\) et ne s’annule qu’en un point isolé, la fonction \(g\) est strictement croissante.
| \(x\) | 0 | \(\pi/2\) | \(2\pi\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(g'(x)\) | 1 | + | 0 | + | 1 |
| Variations de \(g(x)\) | \(g(0)\) | \(\nearrow\) | \(g(2\pi)\) | ||
\(g(0) = 0 + \cos 0 = 1\).
\(g(2\pi) = 2\pi + \cos(2\pi) = 2\pi + 1\).
Conclusion : \(g\) est strictement croissante sur \([0, 2\pi]\).
Correction Exercice 3 (Équations/Inéquations)
a) Résoudre \(\sin x = -1/2\) sur \( [-\pi, \pi] \) :
On trace la droite horizontale \(Y = -1/2\). Elle coupe le cercle en deux points (quadrants 3 et 4).
On sait que \(\sin(\pi/6) = 1/2\).
L’angle dont le sinus est \(-1/2\) dans \(]-\pi/2, 0[\) est \(x = -\pi/6\).
L’autre angle, symétrique par rapport à (Oy) de \(\pi/6\) puis pris dans le sens négatif ou via \(\pi – (-\pi/6)\) n’est pas simple à voir directement.
Utilisons la symétrie par rapport à l’origine ou \(\pi+x\). L’angle \(\pi + \pi/6 = 7\pi/6\) a pour sinus \(-1/2\), mais il n’est pas dans \( [-\pi, \pi] \). Son équivalent est \(7\pi/6 – 2\pi = -5\pi/6\).
Les deux solutions dans \( [-\pi, \pi] \) sont donc \(-\pi/6\) et \(-5\pi/6\).
Solution : \(S = \{-5\pi/6, -\pi/6\}\).
b) Résoudre \(\cos x > \sqrt{3}/2\) sur \( [-\pi, \pi] \) :
1. Équation \(\cos x = \sqrt{3}/2\). Valeur remarquable : \(x = \pi/6\). L’autre solution est \(x = -\pi/6\).
2. On cherche les points du cercle dont l’abscisse est strictement supérieure à \(\sqrt{3}/2\). C’est l’arc de cercle situé « à droite » de la droite verticale \(X = \sqrt{3}/2\).
3. Sur \( [-\pi, \pi] \), cet arc correspond aux angles compris strictement entre \(-\pi/6\) et \(\pi/6\).
Solution : \(S = ]-\pi/6, \pi/6[\).
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