FICHE DE RÉVISION – Limites de fonctions
(Niveau : Terminale)
Analyse : Limites des Fonctions
Comprendre le comportement des fonctions aux « bords » : limites finies, infinies, asymptotes et opérations.
Partie 1 : Notion de Limite d’une Fonction
On s’intéresse au comportement de \(f(x)\) lorsque la variable \(x\) se rapproche d’une valeur (finie ou infinie).
1. Limite en l’Infini (\(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\))
Limite Finie \(\ell\) en \(+\infty\) : On dit que \(f(x)\) tend vers \(\ell\) quand \(x \to +\infty\) si \(f(x)\) devient aussi proche de \(\ell\) que l’on veut, dès que \(x\) est suffisamment grand.
Notation : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\). Graphiquement : La courbe \(C_f\) admet une asymptote horizontale d’équation \(y = \ell\) en \(+\infty\).
Limite Infinie \(+\infty\) en \(+\infty\) : On dit que \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x \to +\infty\) si \(f(x)\) devient aussi grand que l’on veut, dès que \(x\) est suffisamment grand.
Notation : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). (Pas d’asymptote horizontale).
(Définitions similaires pour \(x \to -\infty\) et pour une limite \(-\infty\)).
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\). Asymptote horizontale \(y=0\) en \(+\infty\).
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0\). Asymptote horizontale \(y=0\) en \(-\infty\).
\(\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\).
\(\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty\).
\(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\).
\(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\). Asymptote horizontale \(y=0\) en \(-\infty\).
2. Limite en un Point \(a\)
Limite Finie \(\ell\) en \(a\) : On dit que \(f(x)\) tend vers \(\ell\) quand \(x \to a\) si \(f(x)\) devient aussi proche de \(\ell\) que l’on veut, dès que \(x\) est suffisamment proche de \(a\) (sans être égal à \(a\)).
Notation : \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\). (Si \(f\) est définie et continue en \(a\), alors \(\ell = f(a)\)).
Limite Infinie \(+\infty\) en \(a\) : On dit que \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x \to a\) si \(f(x)\) devient aussi grand que l’on veut, dès que \(x\) est suffisamment proche de \(a\).
Notation : \(\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\). Graphiquement : La courbe \(C_f\) admet une asymptote verticale d’équation \(x = a\).
(Définition similaire pour une limite \(-\infty\)).
On parle aussi de limite à gauche (\(x \to a^-\), \(x
\(f(x) = \frac{1}{x}\).
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\) (car \(x\) est positif et proche de 0).
\(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\) (car \(x\) est négatif et proche de 0).
Asymptote verticale \(x=0\).
\(g(x) = \sqrt{x}\). \(\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0\). (La fonction est continue en 0 à droite).
– Limite finie \(\ell\) quand \(x \to \pm\infty\) \(\Rightarrow\) Asymptote Horizontale \(y=\ell\).
– Limite infinie \(\pm\infty\) quand \(x \to a\) (valeur finie) \(\Rightarrow\) Asymptote Verticale \(x=a\).
Partie 2 : Limites de Référence et Théorèmes de Comparaison
1. Limites des Fonctions Usuelles (Révision et Ajouts)
En \(+\infty\) :
- \(\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty\) (pour \(n \ge 1\))
- \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)
- \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0\) (pour \(n \ge 1\))
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0\)
En \(-\infty\) :
- \(\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\) si \(n\) est pair ; \(-\infty\) si \(n\) est impair (\(n \ge 1\))
- \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)
- \(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0\) (pour \(n \ge 1\))
En \(0\) :
- \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^n} = +\infty\) (pour \(n \ge 1\))
- \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = +\infty\) si \(n\) est pair ; \(-\infty\) si \(n\) est impair (\(n \ge 1\))
- \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty\)
2. Théorèmes de Comparaison et des Gendarmes
Ces théorèmes sont analogues à ceux vus pour les suites.
Soient \(f, g, h\) des fonctions définies au voisinage de \(a\) (qui peut être fini ou \(\pm\infty\)).
- Théorème de Comparaison (Divergence) : Si \(f(x) \ge g(x)\) au voisinage de \(a\) et si \(\lim_{x \to a} g(x) = +\infty\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\). (Idem pour \(-\infty\)).
- Théorème des Gendarmes (Convergence) : Si \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) au voisinage de \(a\) et si \(\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\).
Trouver \(\lim_{x \to +\infty} (x + \sin x)\).
On sait que \(-1 \le \sin x \le 1\).
Donc \(x – 1 \le x + \sin x \le x + 1\).
Comme \(\lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty\).
Par comparaison, \(\lim_{x \to +\infty} (x + \sin x) = +\infty\).
Trouver \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos x}{x}\).
\(-1 \le \cos x \le 1\). Pour \(x > 0\), on divise par \(x\) :
\(\frac{-1}{x} \le \frac{\cos x}{x} \le \frac{1}{x}\).
Comme \(\lim_{x \to +\infty} (-1/x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} (1/x) = 0\).
Par le théorème des gendarmes, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos x}{x} = 0\).
Partie 3 : Opérations sur les Limites et Formes Indéterminées
Comme pour les suites, on peut calculer les limites de sommes, produits, quotients, mais attention aux Formes Indéterminées (FI).
Les règles opératoires sont intuitives (ex: \(\infty + \ell = \infty\), \(\infty \times \infty = \infty\), \(\ell / \infty = 0\), \(\ell / 0 = \infty\) (attention au signe de 0)).
Les 4 Formes Indéterminées (FI) :
- Somme : \( \infty – \infty \)
- Produit : \( 0 \times \infty \)
- Quotient : \( \frac{\infty}{\infty} \)
- Quotient : \( \frac{0}{0} \)
Techniques pour lever les FI :
- Polynômes / Fractions Rationnelles en \(\pm\infty\) : Factoriser par le terme de plus haut degré (terme dominant).
- Racines carrées : Multiplier par l’expression conjuguée.
- Taux de variation : Reconnaître la définition du nombre dérivé (\(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)\)).
- Croissances Comparées : Utiliser les résultats sur la « force » comparée de \(x^n\), \(e^x\), \(\ln x\) (voir ci-dessous).
\(\lim_{x \to +\infty} (x^3 – 2x^2 + 1)\). FI \(\infty – \infty\).
\(= \lim_{x \to +\infty} x^3(1 – 2/x + 1/x^3)\).
\(\lim x^3 = +\infty\). \(\lim (1 – 2/x + 1/x^3) = 1 – 0 + 0 = 1\).
Limite = \(+\infty \times 1 = +\infty\). (Le terme dominant \(x^3\) l’emporte).
\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}\). FI \(0/0\).
On factorise : \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\).
\(= \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4\).
(On pouvait aussi reconnaître le taux de variation de \(f(x)=x^2\) en \(a=2\), dont la limite est \(f'(2)=2a=4\)).
Partie 4 : Croissances Comparées (Exponentielle vs Puissances)
Qui « gagne » à l’infini entre \(e^x\) et \(x^n\) ?
À \(+\infty\), la fonction exponentielle « l’emporte » sur n’importe quelle puissance de \(x\).
- Pour tout entier \(n \ge 1\) : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \)
- Pour tout entier \(n \ge 1\) : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \)
- (Conséquence) \( \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \)
Démonstration ( \(e^x/x^n \to +\infty\) )
On montre d’abord (souvent par étude de fonction) que pour \(x>0\), \(e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\).
Donc, \(\frac{e^x}{x^n} > \frac{x^{n+1}}{x^n (n+1)!} = \frac{x}{(n+1)!}\).
Comme \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{(n+1)!} = +\infty\) (car \((n+1)!\) est une constante positive).
Par comparaison, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty\).
\(\lim_{x \to +\infty} (e^x – x^2)\). FI \(\infty – \infty\).
Factorisation par le plus fort : \(e^x(1 – x^2/e^x)\).
\(\lim e^x = +\infty\). \(\lim (x^2/e^x) = 0\) (croissance comparée).
\(\lim (1 – x^2/e^x) = 1 – 0 = 1\).
Limite = \(+\infty \times 1 = +\infty\).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Limites et Asymptotes) : Déterminer les limites suivantes et identifier les asymptotes éventuelles :
a) \(f(x) = \frac{3x – 1}{x + 2}\) en \(+\infty\), \(-\infty\), et \(-2\).
b) \(g(x) = x^2 + e^{-x}\) en \(+\infty\) et \(-\infty\). -
Exercice 2 (Lever FI) : Calculer les limites suivantes :
a) \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} – x)\)
b) \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1}\) - Exercice 3 (Croissance Comparée) : Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{x^3}\).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Limites et Asymptotes)
a) \(f(x) = \frac{3x – 1}{x + 2}\) : Fraction rationnelle.
– En \(+\infty\) : FI \(\infty/\infty\). Termes dominants : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x} = 3\). Asymptote Horizontale \(y=3\).
– En \(-\infty\) : FI \(\infty/\infty\). Termes dominants : \(\lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{x} = 3\). Asymptote Horizontale \(y=3\).
– En \(-2\) : Le dénominateur tend vers 0. Le numérateur tend vers \(3(-2)-1 = -7\). Limite infinie.
Signe du dénominateur : \(x+2 > 0\) si \(x > -2\). \(x+2 < 0\) si \(x < -2\).
Limite à droite (\(x \to -2^+\)) : \(\frac{-7}{0^+} = -\infty\).
Limite à gauche (\(x \to -2^-\)) : \(\frac{-7}{0^-} = +\infty\).
Asymptote Verticale \(x=-2\).
b) \(g(x) = x^2 + e^{-x}\) :
– En \(+\infty\) : \(\lim x^2 = +\infty\). \(\lim e^{-x} = \lim_{X \to -\infty} e^X = 0\).
Limite = \(+\infty + 0 = +\infty\).
– En \(-\infty\) : \(\lim x^2 = +\infty\). \(\lim e^{-x} = \lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty\).
Limite = \(+\infty + \infty = +\infty\).
Correction Exercice 2 (Lever FI)
a) \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} – x)\) : FI \(\infty – \infty\). Expression conjuguée.
\(= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+1} – x)(\sqrt{x^2+1} + x)}{\sqrt{x^2+1} + x}\)
\(= \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2+1) – x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}\).
Au dénominateur : \(\lim \sqrt{x^2+1} = +\infty\) et \(\lim x = +\infty\). Le dénominateur tend vers \(+\infty\).
Limite = \(\frac{1}{+\infty} = 0\).
b) \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1}\) : FI \(0/0\). Taux de variation.
C’est la définition du nombre dérivé de la fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) au point \(a=1\).
La dérivée de \(f(x)\) est \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Le nombre dérivé en \(a=1\) est \(f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}\).
Limite = \(1/2\).
(Autre méthode : multiplier par le conjugué \(\sqrt{x}+1\) en haut et en bas).
Correction Exercice 3 (Croissance Comparée)
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{x^3}\). FI \(\infty/\infty\).
On sépare la fraction :
\(= \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{e^x}{x^3} + \frac{x}{x^3} \right)\)
\(= \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{e^x}{x^3} + \frac{1}{x^2} \right)\).
Par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty\).
Par limite usuelle, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0\).
Limite = \(+\infty + 0 = +\infty\).
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