FICHE DE RÉVISION – Manipuler les nombres réels
FICHE DE RÉVISION – Manipuler les nombres réels(Niveau : Seconde)
Nombres, Intervalles et Valeur Absolue
Comprendre les fondations des mathématiques de lycée : les ensembles de nombres, les intervalles et la notion de distance.
Partie 1 : Les Ensembles de Nombres
En mathématiques, on « range » les nombres dans différents sacs appelés « ensembles ». Du plus simple au plus complexe :- Les entiers naturels \(\mathbb{N}\) :Ce sont les entiers positifs, ceux qui servent à compter.\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, …\}\)
- Les entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) :Ce sont tous les entiers, positifs et négatifs.\(\mathbb{Z} = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\}\)
- Les nombres décimaux \(\mathbb{D}\) :Ce sont les nombres qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule.Ex: \(0,5\) ; \(-3,25\) ; \(7\) (car \(7 = 7,0\))
- Les nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) :Ce sont tous les nombres qui peuvent s’écrire sous forme de fraction \(\frac{p}{q}\) (avec \(p\) et \(q\) des entiers).Ex: \(\frac{1}{3}\) ; \(-4\) (car \(-4 = \frac{-4}{1}\)) ; \(0,5\) (car \(0,5 = \frac{1}{2}\))
- Les nombres réels \(\mathbb{R}\) :C’est l’ensemble de tous les nombres que tu connais. Il regroupe tous les ensembles précédents ET les nombres « irrationnels ».Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire en fraction (son développement décimal est infini et non périodique).Ex: \(\sqrt{2}\), \(\pi\), …
Partie 2 : Intervalles et Droite Numérique
L’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) peut être représenté par une droite infinie : la droite numérique graduée. Chaque point sur cette droite correspond à un unique nombre réel.Un intervalle est une « portion » de cette droite. C’est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes (qui peuvent être infinies \(\pm\infty\)).Notations (Crochets)
- Un crochet fermé \([ \ \ ]\) signifie que la borne est incluse (on utilise \(\le\) ou \(\ge\)).
- Un crochet ouvert \(] \ \ [\) signifie que la borne est exclue (on utilise \(<\) ou \(>\)).
- Inégalité : \( -2 \le x \le 3 \)Intervalle : \(x \in [-2, 3]\) (Intervalle fermé)
- Inégalité : \( 1 < x < 5 \)Intervalle : \(x \in ]1, 5[\) (Intervalle ouvert)
- Inégalité : \( 0 \le x < 4 \)Intervalle : \(x \in [0, 4[\) (Intervalle semi-ouvert)
- Inégalité : \( x \ge 7 \)Intervalle : \(x \in [7, +\infty[\) (Intervalle non borné)
- Inégalité : \( x < 10 \)Intervalle : \(x \in ]-\infty, 10[\) (Intervalle non borné)
Partie 3 : Valeur Absolue et Distance
La valeur absolue d’un nombre \(a\), notée \(|a|\), est sa « distance par rapport à zéro » sur la droite numérique. Une distance est toujours positive.\(|5| = 5\) (la distance de 5 à 0 est 5)\(|-3| = 3\) (la distance de -3 à 0 est 3)\(|-10,2| = 10,2\)
Lien entre Distance et Valeur Absolue
La distance entre deux nombres réels \(a\) et \(b\) se note \(d(a, b)\) et se calcule avec la valeur absolue :La distance entre 4 et 10 est \(|10 – 4| = |6| = 6\).La distance entre -2 et 5 est \(|5 – (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7\).
\(|x – 3| \le 2\)Signifie : « Quels sont les nombres \(x\) dont la distance à 3 est plus petite que 2 ? »Le centre est \(a=3\) et le rayon est \(r=2\).Bornes : \(3-2=1\) et \(3+2=5\).Solution : \(x \in [1, 5]\)
Partie 4 : Démonstrations Clés (Au Programme)
Ces deux démonstrations sont des classiques à connaître. Elles t’aident à comprendre la nature des nombres.
Démonstration : Le nombre \(\frac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal.
Objectif : Prouver que \(\frac{1}{3}\) ne peut pas s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Raisonnement par l’absurde :
1. Supposons le contraire : imaginons que \(\frac{1}{3}\) est un nombre décimal.
2. Si c’est un nombre décimal, cela signifie qu’il peut s’écrire sous la forme \(\frac{a}{10^n}\), où \(a\) est un entier et \(n\) est un entier positif (par exemple, \(0,5 = \frac{5}{10^1}\) ou \(0,25 = \frac{25}{10^2}\)).
3. On aurait donc l’égalité : \(\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\).
4. En faisant un produit en croix, cela donne : \(1 \times 10^n = 3 \times a\), soit \(10^n = 3a\).
5. Cette équation signifie que \(10^n\) est un multiple de 3.
6. (Critère de divisibilité par 3) Pour qu’un nombre soit un multiple de 3, la somme de ses chiffres doit être un multiple de 3.
7. Regardons \(10^n\) : c’est un 1 suivi de \(n\) zéros (10, 100, 1000, …). La somme de ses chiffres est toujours \(1+0+0… = 1\).
8. Contradiction : 1 n’est pas un multiple de 3. Donc, \(10^n\) ne peut pas être un multiple de 3.
9. Notre hypothèse de départ (étape 1) est fausse.
Conclusion : \(\frac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal.
Démonstration : Le nombre \(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel.
Objectif : Prouver que \(\sqrt{2}\) ne peut pas s’écrire comme une fraction \(\frac{p}{q}\).
Raisonnement par l’absurde :
1. Supposons le contraire : imaginons que \(\sqrt{2}\) est un nombre rationnel.
2. Si c’est un rationnel, il peut s’écrire \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\), où \(p\) et \(q\) sont des entiers (avec \(q \neq 0\)).
3. On suppose que la fraction \(\frac{p}{q}\) est irréductible (c’est-à-dire qu’on l’a simplifiée au maximum ; \(p\) et \(q\) n’ont pas de diviseur commun à part 1).
4. Mettons l’équation au carré : \((\sqrt{2})^2 = (\frac{p}{q})^2\), ce qui donne \(2 = \frac{p^2}{q^2}\).
5. On réarrange : \(p^2 = 2q^2\).
6. Cette équation signifie que \(p^2\) est un multiple de 2. Donc, \(p^2\) est un nombre pair.
7. Si \(p^2\) est pair, alors \(p\) lui-même doit être pair (car le carré d’un nombre impair est toujours impair).
8. Puisque \(p\) est pair, on peut l’écrire sous la forme \(p = 2k\) (où \(k\) est un autre entier).
9. Remplaçons \(p\) par \(2k\) dans l’équation de l’étape 5 : \((2k)^2 = 2q^2\).
10. Cela donne : \(4k^2 = 2q^2\).
11. On simplifie par 2 : \(2k^2 = q^2\).
12. Cela signifie que \(q^2\) est un multiple de 2, donc \(q^2\) est pair.
13. Si \(q^2\) est pair, alors \(q\) lui-même doit être pair.
14. Contradiction : On a prouvé à l’étape 7 que \(p\) est pair, et à l’étape 13 que \(q\) est pair. Si \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs, ils sont tous les deux divisibles par 2. La fraction \(\frac{p}{q}\) n’est donc pas irréductible.
15. C’est en contradiction directe avec notre hypothèse de l’étape 3.
16. Notre hypothèse de départ (étape 1) est fausse.
Conclusion : \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel, il est donc irrationnel.
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
Appliquez ce que vous venez de voir. Prenez un brouillon et essayez de résoudre ces exercices avant de regarder la correction.- Exercice 1 (Ensembles) :Pour chaque nombre, dire à quel(s) plus petit(s) ensemble(s) il appartient (\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), ou Irrationnel) :a) \(10\quad\) b) \(-4\quad\) c) \(\frac{1}{4}\quad\) d) \(\frac{1}{3}\quad\) e) \(\sqrt{9}\quad\) f) \(\pi\quad\) g) \(\sqrt{5}\)
- Exercice 2 (Intervalles) :Traduire les inégalités suivantes en intervalles, et inversement :a) \(x > -2\)b) \(-5 \le x < 1\)c) \(x \in [4, 9]\)d) \(x \in ]-\infty, 0[\)
- Exercice 3 (Valeur Absolue) :Traduire l’inégalité \(|x – 5| \le 3\) sous forme d’intervalle.Aide-toi de la phrase : « La distance entre \(x\) et … est inférieure à … »
- Exercice 4 (Encadrement) :Donner un encadrement (une approximation) du nombre \(\pi \approx 3,14159…\) :a) d’amplitude \(10^{-2}\) (à 0,01 près)b) d’amplitude \(10^{-3}\) (à 0,001 près)
Partie 6 : Corrections Détaillées
Cliquez sur chaque exercice pour voir la solution étape par étape.Correction Exercice 1 (Ensembles)
Correction Exercice 2 (Intervalles)
Correction Exercice 3 (Valeur Absolue)
Correction Exercice 4 (Encadrement)
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