FICHE DE RÉVISION – Manipuler les vecteurs du plan
(Niveau : Seconde)
Géométrie : Les Vecteurs du Plan
Découverte d’un nouvel outil puissant pour décrire les déplacements et prouver des alignements ou parallélismes.
Partie 1 : Qu’est-ce qu’un Vecteur ?
Au collège, tu as vu la translation : c’est un glissement d’une figure sans la tourner ni la déformer. Un vecteur, c’est l’objet mathématique qui décrit ce glissement.
Une translation qui transforme un point \(M\) en un point \(M’\) est caractérisée par un vecteur, noté \(\vec{MM’}\).
Ce vecteur possède trois caractéristiques :
- Sa direction : celle de la droite \((MM’)\).
- Son sens : de \(M\) vers \(M’\).
- Sa norme (ou longueur) : la distance \(MM’\), notée \(||\vec{MM’}|| = MM’\).
Le vecteur nul \(\vec{0}\) correspond à une translation qui ne bouge pas (\(M=M’\)). Sa norme est 0.
Imagine un glissement qui déplace A en B. Le vecteur \(\vec{AB}\) décrit ce déplacement. Si le même glissement déplace C en D, alors le vecteur \(\vec{CD}\) est le même vecteur que \(\vec{AB}\).
Égalité de Vecteurs
Deux vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont égaux s’ils représentent la même translation. Cela signifie qu’ils ont :
- La même direction (les droites (AB) et (CD) sont parallèles).
- Le même sens.
- La même norme (\(AB = CD\)).
Géométriquement : \(\vec{AB} = \vec{CD}\) si et seulement si le quadrilatère ABDC (attention à l’ordre !) est un parallélogramme.
Partie 2 : Opérations sur les Vecteurs
1. Somme de deux Vecteurs
Additionner deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), c’est « enchaîner » les translations qu’ils représentent.
Construction géométrique : Pour construire \(\vec{u} + \vec{v}\) :
- Place un point A.
- Trace le représentant de \(\vec{u}\) partant de A : \(\vec{AB}\).
- Trace le représentant de \(\vec{v}\) partant de B : \(\vec{BC}\).
- Le vecteur somme est \(\vec{AC}\).
Ceci illustre la Relation de Chasles (très intuitive) : $$ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $$ (Pour aller de A à C, on peut passer par B).
Règle du parallélogramme : Si \(\vec{u} = \vec{AB}\) et \(\vec{v} = \vec{AD}\), alors \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{AC}\) où ABCD est un parallélogramme.
2. Produit d’un Vecteur par un Réel (Scalaire)
Multiplier un vecteur \(\vec{u}\) par un nombre \(k\), c’est créer un nouveau vecteur \(k\vec{u}\).
Le vecteur \(k\vec{u}\) a :
- La même direction que \(\vec{u}\).
- Le même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), et le sens opposé si \(k < 0\).
- Une norme égale à \(|k| \times ||\vec{u}||\) (la longueur est multipliée par \(|k|\)).
Cas particulier : \((-1)\vec{u}\) est noté \(-\vec{u}\). C’est l’opposé de \(\vec{u}\) (même direction, même norme, sens contraire).
\(2\vec{AB}\) est un vecteur de même direction et sens que \(\vec{AB}\), mais deux fois plus long.
\(-\frac{1}{2}\vec{CD}\) est un vecteur de même direction que \(\vec{CD}\), mais de sens opposé et deux fois plus court.
Partie 3 : Vecteurs et Coordonnées
Travailler avec des coordonnées rend les calculs vectoriels beaucoup plus simples ! On se place dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\).
1. Coordonnées d’un Vecteur
Tout vecteur \(\vec{u}\) peut s’écrire de manière unique sous la forme \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\).
Les nombres \(x\) et \(y\) sont les coordonnées du vecteur \(\vec{u}\), notées \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).
- \(x\) est l’abscisse (déplacement horizontal).
- \(y\) est l’ordonnée (déplacement vertical).
Si \(\vec{u} = 3\vec{i} – 2\vec{j}\), alors \(\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Pour le tracer, pars d’un point, avance de 3 carreaux vers la droite, puis descends de 2 carreaux.
2. Calcul des Coordonnées
Si \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées : $$ \vec{AB} \begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix} $$ (Coordonnées de l’arrivée MOINS coordonnées du départ)
Si \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}\), et \(k\) un réel :
- \(\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} x + x’ \\ y + y’ \end{pmatrix}\) (On additionne les coordonnées)
- \(k\vec{u} \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}\) (On multiplie chaque coordonnée par \(k\))
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
A(1, 2) et B(4, -3). \(\vec{AB} \begin{pmatrix} 4 – 1 \\ -3 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\).
Si \(\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\), alors \(\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} 2+(-1) \\ 1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(3\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}\).
3. Norme d’un Vecteur
La norme (longueur) du vecteur \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) se calcule avec une formule issue de Pythagore : $$ ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} $$ La distance entre deux points A et B est la norme du vecteur \(\vec{AB}\) : $$ AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} $$
\(\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\). Norme : \(||\vec{u}|| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\).
4. Coordonnées du Milieu d’un Segment
Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), ses coordonnées sont la moyenne des coordonnées de A et B : $$ I \left( \frac{x_A + x_B}{2} , \frac{y_A + y_B}{2} \right) $$
Milieu de [AB] avec A(1, 2) et B(4, -3) : \(I \left( \frac{1 + 4}{2} , \frac{2 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{5}{2} , \frac{-1}{2} \right)\).
Partie 4 : Colinéarité et Déterminant
C’est l’outil principal pour prouver que des droites sont parallèles ou que des points sont alignés.
1. Vecteurs Colinéaires
Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’ils ont la même direction.
Cela signifie qu’il existe un nombre réel \(k\) tel que : $$ \vec{v} = k \vec{u} $$ (L’un est un « multiple » de l’autre).
Géométriquement : Les flèches représentant \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont parallèles.
\(\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}\) sont colinéaires car \(\vec{v} = -3 \vec{u}\) (ici \(k = -3\)).
2. Critère de Colinéarité (Déterminant)
Comment vérifier si \(\vec{v} = k \vec{u}\) sans chercher \(k\) ? Avec le déterminant !
Le déterminant de deux vecteurs \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}\) est le nombre : $$ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x’ \\ y & y’ \end{vmatrix} = xy’ – yx’ $$ (Produit « en croix » : diagonale descendante MOINS diagonale montante)
Critère fondamental : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. $$ \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$
\(\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}\).
\(\det(\vec{u}, \vec{v}) = (2)(3) – (-1)(-6) = 6 – 6 = 0\).
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.
\(\vec{w} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{z} \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}\).
\(\det(\vec{w}, \vec{z}) = (1)(7) – (4)(2) = 7 – 8 = -1\).
Le déterminant n’est pas nul, donc \(\vec{w}\) et \(\vec{z}\) ne sont pas colinéaires.
3. Applications
La colinéarité sert à prouver :
- Parallélisme : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires (\(\det(\vec{AB}, \vec{CD}) = 0\)).
- Alignement : Les points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) (par exemple) sont colinéaires (\(\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0\)).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Calculs de coordonnées) : Soient A(-1, 3), B(2, 5), C(0, -1).
a) Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\).
b) Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{u} = 2\vec{AB} – \vec{BC}\).
c) Calculer les coordonnées du milieu I de [AC].
d) Calculer la longueur AC. - Exercice 2 (Colinéarité) : Les vecteurs \(\vec{u} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ? Justifier avec le déterminant.
- Exercice 3 (Alignement) : Les points D(1, 1), E(3, 5) et F(0, -1) sont-ils alignés ? Justifier avec le déterminant.
- Exercice 4 (Parallélisme) : On donne G(0, 2), H(4, 0), K(-1, 3), L(1, 2). Les droites (GH) et (KL) sont-elles parallèles ? Justifier.
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Calculs de coordonnées)
A(-1, 3), B(2, 5), C(0, -1).
a) Coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\) :
\(\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 5 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\).
\(\vec{BC} \begin{pmatrix} x_C – x_B \\ y_C – y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 – 2 \\ -1 – 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix}\).
b) Coordonnées de \(\vec{u} = 2\vec{AB} – \vec{BC}\) :
\(2\vec{AB} \begin{pmatrix} 2 \times 3 \\ 2 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\).
\(\vec{u} \begin{pmatrix} 6 – (-2) \\ 4 – (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 2 \\ 4 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
c) Coordonnées du milieu I de [AC] :
\(I \left( \frac{x_A + x_C}{2} , \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-1 + 0}{2} , \frac{3 + (-1)}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2} , \frac{2}{2} \right) = \left( -0.5 , 1 \right)\).
d) Longueur AC :
\(AC = \sqrt{(x_C – x_A)^2 + (y_C – y_A)^2} = \sqrt{(0 – (-1))^2 + (-1 – 3)^2}\)
\(AC = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\).
Correction Exercice 2 (Colinéarité)
\(\vec{u} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \end{pmatrix}\).
On calcule le déterminant :
\(\det(\vec{u}, \vec{v}) = (-2)(-9) – (6)(3)\)
\(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 18 – 18 = 0\).
Conclusion : Le déterminant est nul, donc les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
Correction Exercice 3 (Alignement)
D(1, 1), E(3, 5), F(0, -1).
Pour savoir si les points sont alignés, on vérifie si les vecteurs \(\vec{DE}\) et \(\vec{DF}\) (par exemple) sont colinéaires.
1. Coordonnées des vecteurs :
\(\vec{DE} \begin{pmatrix} 3 – 1 \\ 5 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\).
\(\vec{DF} \begin{pmatrix} 0 – 1 \\ -1 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}\).
2. Calcul du déterminant :
\(\det(\vec{DE}, \vec{DF}) = (2)(-2) – (4)(-1)\)
\(\det(\vec{DE}, \vec{DF}) = -4 – (-4) = -4 + 4 = 0\).
Conclusion : Le déterminant est nul, donc \(\vec{DE}\) et \(\vec{DF}\) sont colinéaires. Puisqu’ils partagent le point D, les points D, E et F sont alignés.
Correction Exercice 4 (Parallélisme)
G(0, 2), H(4, 0), K(-1, 3), L(1, 2).
Pour savoir si (GH) et (KL) sont parallèles, on vérifie si les vecteurs \(\vec{GH}\) et \(\vec{KL}\) sont colinéaires.
1. Coordonnées des vecteurs :
\(\vec{GH} \begin{pmatrix} 4 – 0 \\ 0 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\).
\(\vec{KL} \begin{pmatrix} 1 – (-1) \\ 2 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).
2. Calcul du déterminant :
\(\det(\vec{GH}, \vec{KL}) = (4)(-1) – (-2)(2)\)
\(\det(\vec{GH}, \vec{KL}) = -4 – (-4) = -4 + 4 = 0\).
Conclusion : Le déterminant est nul, donc \(\vec{GH}\) et \(\vec{KL}\) sont colinéaires. Les droites (GH) et (KL) sont parallèles.
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