FICHE DE RÉVISION – Mécanique : Aspects Énergétiques
(Niveau : Première)
Mécanique : Aspects Énergétiques
Analyser le mouvement sous l’angle de l’énergie : travail, énergie cinétique, potentielle et mécanique.
Partie 1 : Énergie Cinétique (\(E_c\))
C’est l’énergie que possède un objet du simple fait de son mouvement (de sa vitesse).
L’énergie cinétique d’un système modélisé par un point matériel de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est : $$ E_c = \frac{1}{2} m v^2 $$
- \(E_c\) : Énergie cinétique en Joules (J).
- \(m\) : Masse du système en kilogrammes (kg).
- \(v\) : Vitesse du système en mètres par seconde (m/s).
L’énergie cinétique est toujours positive ou nulle. Elle est nulle si l’objet est immobile.
Une voiture de \(m = 1000\) kg roule à \(v = 36\) km/h.
D’abord, on convertit la vitesse : \(v = 36 / 3.6 = 10\) m/s.
\(E_c = \frac{1}{2} \times 1000 \times (10)^2 = 500 \times 100 = 50000\) J (ou 50 kJ).
Partie 2 : Travail d’une Force (\(W\))
Le travail est un mode de transfert d’énergie. Une force « travaille » si elle participe (ou s’oppose) au déplacement de l’objet sur lequel elle s’applique.
1. Cas d’une Force Constante sur un Trajet Rectiligne
Le travail d’une force constante \(\vec{F}\) lors d’un déplacement rectiligne de A vers B (vecteur \(\vec{AB}\)) est donné par le produit scalaire :
$$ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} $$
Unités : \(W\) en Joules (J), \(\vec{F}\) en Newtons (N), \(\vec{AB}\) en mètres (m).
On peut aussi le calculer avec l’angle \(\theta\) entre la force \(\vec{F}\) et le déplacement \(\vec{AB}\) :
$$ W_{AB}(\vec{F}) = F \times AB \times \cos(\theta) $$
où \(F\) et \(AB\) sont les normes (longueurs).
Trois cas possibles :
- Si \(0^\circ \le \theta < 90^\circ\) (\(\cos \theta > 0\)) : Le travail est moteur. La force aide le mouvement (\(W > 0\)).
- Si \(\theta = 90^\circ\) (\(\cos \theta = 0\)) : Le travail est nul. La force est perpendiculaire au déplacement (\(W = 0\)).
- Si \(90^\circ < \theta \le 180^\circ\) (\(\cos \theta < 0\)) : Le travail est résistant. La force s’oppose au mouvement (\(W < 0\)).
[Image illustrating work of a force with angle theta]
Tu tires une valise de 10 kg (\(P \approx 100\) N) sur 5 m horizontalement avec une force \(\vec{F}\) de 30 N inclinée à 60° vers le haut. Les frottements \(\vec{f}\) sont de 5 N (opposés au mouvement).
Déplacement \(\vec{AB}\) (horizontal, 5 m).
– Travail de ta force \(\vec{F}\) : \(\theta = 60^\circ\).
\(W(\vec{F}) = F \times AB \times \cos(60^\circ) = 30 \times 5 \times 0.5 = 75\) J (moteur).
– Travail du Poids \(\vec{P}\) : \(\vec{P}\) est vertical, \(\vec{AB}\) est horizontal. \(\theta = 90^\circ\).
\(W(\vec{P}) = P \times AB \times \cos(90^\circ) = 100 \times 5 \times 0 = 0\) J (nul).
– Travail des frottements \(\vec{f}\) : \(\vec{f}\) est opposé à \(\vec{AB}\). \(\theta = 180^\circ\).
\(W(\vec{f}) = f \times AB \times \cos(180^\circ) = 5 \times 5 \times (-1) = -25\) J (résistant).
Partie 3 : Théorème de l’Énergie Cinétique (TEC)
C’est le premier grand bilan d’énergie. Il fait le lien direct entre le travail de toutes les forces et la variation de la vitesse.
Théorème de l’Énergie Cinétique :
Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique (\(\Delta E_c\)) d’un système (modélisé par un point matériel) entre un point A et un point B est égale à la somme des travaux (\(W\)) de toutes les forces extérieures \(\sum \vec{F}\) appliquées au système lors du déplacement de A à B.
$$ \Delta E_c = E_c(B) – E_c(A) = \sum W_{AB}(\vec{F}) $$ $$ \frac{1}{2} m v_B^2 – \frac{1}{2} m v_A^2 = W_{AB}(\vec{P}) + W_{AB}(\vec{R}) + W_{AB}(\vec{f}) + … $$
Une voiture de 800 kg freine en ligne droite, passant de \(v_A = 10\) m/s à \(v_B = 0\) m/s sur une distance \(AB = 20\) m. Quelle est la force de frottement \(\vec{f}\) (supposée constante) ?
Forces : Poids \(\vec{P}\), Réaction \(\vec{R}\) (perpendiculaires au sol), Frottements \(\vec{f}\) (opposés au mouvement).
Travaux : \(W(\vec{P})=0\), \(W(\vec{R})=0\) (car \(\perp\) au déplacement).
\(W(\vec{f}) = f \times AB \times \cos(180^\circ) = f \times 20 \times (-1) = -20f\).
TEC : \(\Delta E_c = \sum W(\vec{F})\)
\(E_c(B) – E_c(A) = W(\vec{P}) + W(\vec{R}) + W(\vec{f})\)
\(\frac{1}{2} m v_B^2 – \frac{1}{2} m v_A^2 = 0 + 0 + (-20f)\)
\(0 – \frac{1}{2} \times 800 \times (10)^2 = -20f\)
\(-400 \times 100 = -20f\)
\(-40000 = -20f \Rightarrow f = 40000 / 20 = 2000\) N.
Partie 4 : Énergie Potentielle et Énergie Mécanique
Certaines forces (comme le poids) sont « conservatives » : leur travail ne dépend pas du chemin suivi, seulement du départ et de l’arrivée. On peut leur associer une énergie de position : l’énergie potentielle.
1. Forces Conservatives (ex: Poids) et Non-Conservatives (ex: Frottements)
- Une force est conservative (ex: Poids \(\vec{P}\)) si son travail \(W_{AB}(\vec{F})\) ne dépend que des points A et B, et pas du chemin suivi pour aller de A à B. On peut lui associer une Énergie Potentielle.
- Une force est non-conservative (ex: Forces de frottement \(\vec{f}\)) si son travail dépend du chemin suivi. Le travail des frottements dissipe de l’énergie (en chaleur).
2. Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_{pp}\))
L’énergie potentielle de pesanteur (\(E_{pp}\)) d’un objet de masse \(m\) à une altitude \(z\) (dans un champ de pesanteur \(g\) uniforme) est : $$ E_{pp} = mgz + C $$
- \(m\) en kg, \(g\) en N/kg, \(z\) en m (sur un axe vertical orienté vers le haut).
- \(C\) est une constante qui dépend du choix de l’origine (\(z=0\)). On choisit souvent \(z=0\) au niveau du sol ou au point le plus bas, pour que \(C=0\).
Lien Travail / Epp : Le travail du poids est l’opposé de la variation de l’énergie potentielle de pesanteur. $$ W_{AB}(\vec{P}) = E_{pp}(A) – E_{pp}(B) = -(E_{pp}(B) – E_{pp}(A)) = -\Delta E_{pp} $$
3. Énergie Mécanique (\(E_m\))
L’énergie mécanique (\(E_m\)) d’un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle (ici, de pesanteur).
$$ E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} m v^2 + mgz $$Partie 5 : Conservation et Non-Conservation de l’Énergie Mécanique
C’est le second grand théorème. Il permet de faire des bilans d’énergie très efficaces.
Théorème de l’Énergie Mécanique (généralisé) :
La variation de l’énergie mécanique (\(\Delta E_m\)) d’un système entre A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces non-conservatives \(\vec{F}_{nc}\) (essentiellement les frottements, ou forces de traction).
$$ \Delta E_m = E_m(B) – E_m(A) = \sum W_{AB}(\vec{F}_{nc}) $$Cas 1 : Conservation de l’Énergie Mécanique (Pas de frottements)
S’il n’y a pas de forces non-conservatives qui travaillent (pas de frottements, pas de traction extérieure…), alors \(\sum W_{AB}(\vec{F}_{nc}) = 0\).
Dans ce cas : \(\Delta E_m = 0 \Rightarrow E_m(B) – E_m(A) = 0 \Rightarrow E_m(A) = E_m(B)\).
L’énergie mécanique se conserve. Il y a transfert entre énergie cinétique et potentielle, mais leur somme reste constante. $$ \frac{1}{2} m v_A^2 + mgz_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + mgz_B $$
(Chute libre sans frottements) On lâche une balle (\(v_A=0\)) d’une hauteur \(z_A = 20\) m. Quelle est sa vitesse \(v_B\) quand elle arrive au sol (\(z_B=0\)) ?
Seul le poids (force conservative) travaille \(\rightarrow E_m\) se conserve.
\(E_m(A) = E_m(B)\)
\(\frac{1}{2} m v_A^2 + mgz_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + mgz_B\)
\(\frac{1}{2} m (0)^2 + mgz_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + mg(0)\)
\(mgz_A = \frac{1}{2} m v_B^2\) (On peut simplifier par \(m\))
\(gz_A = \frac{1}{2} v_B^2 \Rightarrow v_B^2 = 2gz_A\)
\(v_B = \sqrt{2gz_A} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 20} \approx \sqrt{392} \approx 19.8\) m/s.
Cas 2 : Non-Conservation (Avec frottements)
Si des forces non-conservatives (comme les frottements \(\vec{f}\)) travaillent, leur travail est résistant (\(W(\vec{f}) < 0\)).
Dans ce cas : \(\Delta E_m = W(\vec{f})\).
Comme \(W(\vec{f}) < 0\), on a \(\Delta E_m < 0\). L'énergie mécanique diminue.
L’énergie « perdue » (\(E_m(A) – E_m(B)\)) a été dissipée (transformée en chaleur) par le travail des frottements.
Un skieur de 60 kg part sans vitesse du haut (\(z_A=50\) m) d’une piste et arrive en bas (\(z_B=0\)) avec une vitesse \(v_B = 20\) m/s. Quel est le travail des forces de frottement ?
\(\Delta E_m = W(\vec{f})\)
\(E_m(B) – E_m(A) = W(\vec{f})\)
\((\frac{1}{2} m v_B^2 + mgz_B) – (\frac{1}{2} m v_A^2 + mgz_A) = W(\vec{f})\)
\((\frac{1}{2} \times 60 \times 20^2 + 0) – (0 + 60 \times 9.8 \times 50) = W(\vec{f})\)
\((30 \times 400) – (29400) = W(\vec{f})\)
\(12000 – 29400 = W(\vec{f})\)
\(W(\vec{f}) = -17400\) J. (L’énergie mécanique a diminué de 17400 J à cause des frottements).
– **TEC (\(\Delta E_c = \sum W(\text{toutes forces})\)) :** Pratique si tu cherches une force (ex: force de freinage) ou si tu ne veux pas t’occuper de l’altitude.
– **Th. de l’Énergie Mécanique (\(\Delta E_m = W(\vec{F}_{nc})\)) :** Très puissant ! Surtout s’il n’y a pas de frottements (\(\Delta E_m = 0\)). Tu n’as même pas besoin de calculer le travail du poids, il est « caché » dans l’énergie potentielle ! C’est souvent plus rapide.
Partie 6 : Entraînement (Exercices)
- Exercice 1 (TEC) : Un objet de 2 kg est lâché sans vitesse. Quelle est sa vitesse après une chute de 10 m (en supposant seulement le poids) ? Utiliser le TEC. (g=9.8 N/kg).
-
Exercice 2 (Conservation Em) : Un pendule de masse \(m=0.5\) kg est lâché sans vitesse d’une hauteur \(z_A=0.2\) m par rapport à son point le plus bas. On néglige les frottements.
a) Quelle est son énergie mécanique \(E_m\) ? (On prendra \(E_{pp}=0\) au point le plus bas).
b) Quelle est sa vitesse \(v_B\) lorsqu’il passe au point le plus bas (\(z_B=0\)) ? -
Exercice 3 (Non-conservation Em) : Une luge de 5 kg glisse sur une piste. Elle part de A (\(z_A=10\) m, \(v_A=0\) m/s) et arrive en B (\(z_B=0\) m, \(v_B=12\) m/s).
a) Calculer l’énergie mécanique en A.
b) Calculer l’énergie mécanique en B.
c) Calculer le travail des forces de frottement \(W(\vec{f})\) lors de la descente.
Partie 7 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (TEC)
m=2 kg, \(v_A=0\), \(h = z_A-z_B = 10\) m. Seule force : Poids \(\vec{P}\).
TEC : \(\Delta E_c = \sum W(\vec{F}) = W_{AB}(\vec{P})\).
Calcul de \(W_{AB}(\vec{P})\) : Le poids \(\vec{P}\) (vertical vers le bas) et le déplacement \(\vec{AB}\) (vertical vers le bas) sont dans le même sens (\(\theta=0^\circ\)).
\(W_{AB}(\vec{P}) = P \times AB \times \cos(0^\circ) = (mg) \times h \times 1 = mgh\).
\(W_{AB}(\vec{P}) = 2 \times 9.8 \times 10 = 196\) J.
Application du TEC : \(E_c(B) – E_c(A) = 196\).
\(\frac{1}{2} m v_B^2 – \frac{1}{2} m v_A^2 = 196\).
\(\frac{1}{2} (2) v_B^2 – 0 = 196\).
\(v_B^2 = 196\).
\(v_B = \sqrt{196} = 14\) m/s.
La vitesse en bas est de 14 m/s.
Correction Exercice 2 (Conservation Em)
m=0.5 kg, \(z_A=0.2\) m, \(v_A=0\). \(z_B=0\). Pas de frottements. \(E_{pp}=0\) en \(z=0\).
a) Énergie mécanique \(E_m\) :
L’énergie mécanique se conserve car il n’y a pas de frottements. On la calcule au point A où on connaît tout.
\(E_m = E_m(A) = E_c(A) + E_{pp}(A)\)
\(E_m = \frac{1}{2} m v_A^2 + mgz_A\)
\(E_m = 0 + (0.5 \times 9.8 \times 0.2) = 0.98\) J.
L’énergie mécanique du pendule est constante et vaut 0.98 J.
b) Vitesse \(v_B\) au point le plus bas (\(z_B=0\)) :
L’énergie mécanique se conserve : \(E_m(B) = E_m(A) = 0.98\) J.
On écrit \(E_m(B)\) : \(E_m(B) = E_c(B) + E_{pp}(B) = \frac{1}{2} m v_B^2 + mgz_B\).
\(0.98 = \frac{1}{2} (0.5) v_B^2 + 0\).
\(0.98 = 0.25 v_B^2\).
\(v_B^2 = 0.98 / 0.25 = 3.92\).
\(v_B = \sqrt{3.92} \approx 1.98\) m/s.
La vitesse au point le plus bas est d’environ 1.98 m/s.
Correction Exercice 3 (Non-conservation Em)
m=5 kg, \(z_A=10\) m, \(v_A=0\), \(z_B=0\), \(v_B=12\) m/s. On prend \(E_{pp}=0\) en \(z=0\).
a) Énergie mécanique en A :
\(E_m(A) = E_c(A) + E_{pp}(A) = \frac{1}{2} m v_A^2 + mgz_A\)
\(E_m(A) = 0 + (5 \times 9.8 \times 10) = 490\) J.
L’énergie mécanique au départ est de 490 J.
b) Énergie mécanique en B :
\(E_m(B) = E_c(B) + E_{pp}(B) = \frac{1}{2} m v_B^2 + mgz_B\)
\(E_m(B) = \frac{1}{2} (5) (12)^2 + 0 = 2.5 \times 144 = 360\) J.
L’énergie mécanique à l’arrivée est de 360 J.
c) Travail des frottements \(W(\vec{f})\) :
L’énergie mécanique n’est pas conservée (490 J \(\neq\) 360 J). La différence est le travail des forces non-conservatives (les frottements).
Théorème : \(\Delta E_m = W(\vec{f})\)
\(E_m(B) – E_m(A) = W(\vec{f})\)
\(360 – 490 = W(\vec{f})\)
\(W(\vec{f}) = -130\) J.
(Le travail est résistant, 130 J d’énergie ont été dissipés en chaleur à cause des frottements).
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