FICHE DE RÉVISION –Mesures et incertitudes
(Niveau : Terminale)
Mesures et Incertitudes
Quantifier la précision d’une mesure, composer les incertitudes et valider un résultat de manière rigoureuse.
Partie 1 : Variabilité de la Mesure et Incertitude-type (Type A)
Lorsqu’on répète plusieurs fois la même mesure \(n\) fois (mesures indépendantes), on n’obtient jamais exactement la même valeur. C’est la variabilité de la mesure.
1. Analyse Statistique d’une Série de Mesures
Pour une série de \(n\) mesures \(x_1, x_2, …, x_n\) d’une grandeur \(X\) :
- La meilleure estimation de la valeur vraie est la moyenne arithmétique : $$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + … + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$
- La dispersion des mesures est estimée par l’écart-type expérimental (ou estimateur de l’écart-type), noté \(s(x)\) ou \(\sigma_{n-1}\) (donné par la calculatrice ou un tableur) : $$ s(x) = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} $$
Un histogramme des mesures permet de visualiser cette dispersion et de la comparer à des modèles (ex: courbe de Gauss).
2. Incertitude-type d’Évaluation de Type A
L’incertitude-type d’évaluation de Type A, notée \(u(x)\) ou \(u_A(x)\), est l’incertitude liée à la dispersion statistique des mesures. Elle quantifie l’incertitude sur la moyenne \(\bar{x}\) (pas sur une mesure unique).
Elle est définie par : $$ u(x) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} = \frac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}} $$ où \(s(x)\) (ou \(\sigma_{n-1}\)) est l’écart-type expérimental et \(n\) est le nombre de mesures.
On mesure 10 fois (\(n=10\)) une tension : 5,1 V ; 5,0 V ; 5,2 V ; 4,9 V ; 5,1 V ; 5,0 V ; 4,8 V ; 5,2 V ; 5,1 V ; 5,0 V.
1. Moyenne (calculatrice) : \(\bar{x} = 5,04\) V.
2. Écart-type expérimental (calculatrice, mode \(\sigma_{n-1}\) ou \(s\)) : \(s(x) \approx 0,135\) V.
3. Incertitude-type A sur la moyenne : \(u(x) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} = \frac{0,135}{\sqrt{10}} \approx 0,043\) V.
Partie 2 : Incertitude-type d’Évaluation de Type B
Parfois, on ne répète pas la mesure, ou l’incertitude n’est pas (seulement) due à la dispersion statistique. Elle peut venir de l’instrument de mesure ou du protocole.
L’incertitude-type d’évaluation de Type B, notée \(u_B(x)\), est évaluée par une autre méthode que statistique (lecture de notice, connaissance de la verrerie, etc.).
Cas courants :
- Lecture sur un appareil numérique : L’incertitude \(u\) est donnée par le constructeur dans la notice (ex: \(\pm (1\% \text{ de la lecture} + 2 \text{ digits})\)).
- Lecture sur un appareil analogique (règle, cadran) : On prend souvent l’incertitude comme une fraction de la plus petite graduation (ex: une demi-graduation).
- Verrerie jaugée (fiole, pipette) : L’incertitude est indiquée par le fabricant (ex: fiole de 100 mL \(\pm\) 0,1 mL). Si on suppose une distribution rectangulaire (toutes les valeurs dans l’intervalle sont équiprobables), l’incertitude-type est \(u = \frac{\text{tolérance}}{\sqrt{3}}\).
L’incertitude-type globale \(u(x)\) combine souvent les types A et B. Si on a une seule mesure, \(u(x) = u_B(x)\).
On mesure un volume avec une fiole jaugée de 100,0 mL de classe A. La tolérance indiquée est \(\pm 0,1\) mL.
L’incertitude-type (Type B) est \(u(V) = \frac{0,1}{\sqrt{3}} \approx 0,058\) mL.
(En Seconde/Première, on approxime souvent \(u(V) = 0,1\) mL, mais la méthode par \(\sqrt{3}\) est plus rigoureuse en Terminale si la distribution est supposée rectangulaire).
Partie 3 : Incertitudes-types Composées
Que se passe-t-il si la grandeur \(G\) qu’on cherche est calculée à partir de plusieurs mesures \(X\), \(Y\)… qui ont chacune leur propre incertitude \(u(X)\), \(u(Y)\)… ?
L’incertitude-type de \(G\), notée \(u(G)\), s’appelle incertitude-type composée. On l’évalue à l’aide de formules (fournies) qui dépendent de l’opération mathématique :
| Relation Mathématique | Formule d’Incertitude Composée \(u(G)\) |
|---|---|
| \(G = X + Y\) ou \(G = X – Y\) | \(u(G) = \sqrt{u(X)^2 + u(Y)^2}\) (somme quadratique) |
| \(G = kX\) (k constante sans incertitude) | \(u(G) = |k| u(X)\) |
| \(G = XY\) ou \(G = X/Y\) | \( \frac{u(G)}{|G|} = \sqrt{\left(\frac{u(X)}{|X|}\right)^2 + \left(\frac{u(Y)}{|Y|}\right)^2} \) (somme quadratique des incertitudes relatives) |
(Ces formules supposent que les incertitudes sur X et Y sont indépendantes).
On mesure une masse \(m = 10,2 \pm 0,1\) g et un volume \(V = 5,0 \pm 0,2\) mL.
On calcule \(\rho = m/V = 10,2 / 5,0 = 2,04\) g/mL.
On cherche l’incertitude \(u(\rho)\) en utilisant la formule du quotient :
\( \frac{u(\rho)}{\rho} = \sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\frac{u(V)}{V}\right)^2} \)
\( \frac{u(\rho)}{2,04} = \sqrt{\left(\frac{0,1}{10,2}\right)^2 + \left(\frac{0,2}{5,0}\right)^2} \)
\( \frac{u(\rho)}{2,04} = \sqrt{(0,0098)^2 + (0,04)^2} = \sqrt{0,000096 + 0,0016} \approx \sqrt{0,001696} \approx 0,041\)
\(u(\rho) = 0,041 \times 2,04 \approx 0,084\) g/mL.
Résultat : \(\rho = 2,04 \pm 0,084\) g/mL.
Partie 4 : Écriture du Résultat et Comparaison
1. Écriture du Résultat de Mesure
Un résultat de mesure doit être écrit sous la forme \(m_{mes} \pm u(m)\), où \(u(m)\) est l’incertitude-type (ou l’incertitude élargie, souvent \(2 \times u(m)\) pour un intervalle de confiance à 95%).
Règles des Chiffres Significatifs :
- L’incertitude-type \(u(m)\) est arrondie (par excès) à un seul chiffre significatif (ou deux si le premier est un 1, ex: 0.13).
- Le résultat de la mesure \(m_{mes}\) (la moyenne \(\bar{x}\)) doit être arrondi à la même position décimale que l’incertitude.
Reprenons l’exemple Type A : \(\bar{x} = 5,04\) V et \(u(x) \approx 0,043\) V.
1. On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif : \(u(x) \approx 0,04\) V. (On arrondit 0.043 à 0.04 ou 0.05, souvent 0.05 par excès, mais 0.04 est acceptable).
2. L’incertitude est au centième de Volt (2 chiffres après la virgule).
3. On arrondit la moyenne au centième de Volt : \(\bar{x} = 5,04\) V.
Résultat : \(x = 5,04 \pm 0,04\) V (ou \(x = 5,04(4)\) V).
Reprenons l’exemple \(\rho = 2,04 \pm 0,084\) g/mL.
1. Incertitude \(u(\rho) = 0,084\). On arrondit par excès à 1 chiffre : \(u(\rho) = 0,09\) g/mL (ou \(0.1\) selon la convention).
2. L’incertitude est au centième (0,09) ou dixième (0,1).
3. Si \(u(\rho)=0,09\), \(\rho\) est arrondie au centième : \(\rho = 2,04\) g/mL. Résultat : \(\rho = 2,04 \pm 0,09\) g/mL.
Si \(u(\rho)=0,1\), \(\rho\) est arrondie au dixième : \(\rho = 2,0\) g/mL. Résultat : \(\rho = 2,0 \pm 0,1\) g/mL.
2. Comparaison à une Valeur de Référence
Pour savoir si le résultat d’une mesure \(m_{mes}\) (avec son incertitude-type \(u(m)\)) est compatible ou non avec une valeur de référence théorique \(m_{ref}\), on calcule le quotient (ou « écart normalisé ») :
$$ z = \frac{|m_{mes} – m_{ref}|}{u(m)} $$- Si \(z \le 2\) (ou parfois 3, selon le niveau de confiance choisi) : L’écart est considéré comme non significatif. Le résultat de la mesure est compatible avec la valeur de référence.
- Si \(z > 2\) (ou 3) : L’écart est significatif. Le résultat est non compatible avec la valeur de référence (il y a probablement une erreur systématique ou la référence est fausse).
(Le seuil 2 correspond à un intervalle de confiance d’environ 95%).
On a mesuré \(\rho = 2,04 \pm 0,09\) g/mL. La valeur de référence est \(\rho_{ref} = 2,16\) g/mL.
Calculons \(z\) : \(z = \frac{|2,04 – 2,16|}{0,09} = \frac{|-0,12|}{0,09} = \frac{0,12}{0,09} \approx 1,33\).
Comme \(z \approx 1,33 \le 2\), l’écart n’est pas significatif. Le résultat est compatible avec la valeur de référence.
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Type A et Écriture) : On mesure 6 fois le diamètre \(d\) d’un fil (en mm) : 0,25 ; 0,26 ; 0,24 ; 0,25 ; 0,27 ; 0,26. La calculatrice donne \(\bar{d} \approx 0,255\) mm et \(s(d) \approx 0,0105\) mm.
a) Calculer l’incertitude-type (Type A) \(u(d)\).
b) Écrire le résultat de la mesure \(d = \bar{d} \pm u(d)\) avec un nombre correct de chiffres significatifs. -
Exercice 2 (Type B et Composée) : On mesure la masse \(m = 50,0 \pm 0,1\) g et le volume \(V = 10,0 \pm 0,05\) mL d’un liquide.
a) Calculer la valeur de la masse volumique \(\rho = m/V\).
b) On donne la formule : \(u(\rho) = \rho \times \sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\frac{u(V)}{V}\right)^2}\). Calculer l’incertitude-type \(u(\rho)\).
c) Écrire le résultat final \(\rho \pm u(\rho)\) correctement. - Exercice 3 (Comparaison) : Le résultat de l’exercice 2 est \(\rho = 5,00 \pm 0,11\) g/mL (après arrondi correct de u(\(\rho\))). La valeur de référence est \(\rho_{ref} = 5,35\) g/mL. La mesure est-elle compatible avec la référence ?
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Type A et Écriture)
a) Incertitude-type A : \(n=6\), \(s(d) \approx 0,0105\) mm.
\(u(d) = \frac{s(d)}{\sqrt{n}} = \frac{0,0105}{\sqrt{6}} \approx 0,00428\) mm.
b) Écriture du résultat :
1. On arrondit \(u(d)\) à 1 chiffre significatif (par excès) : \(u(d) = 0,005\) mm. (Le 1er chiffre non nul est 4, on arrondit à 5).
2. L’incertitude est au millième de mm (3 chiffres après la virgule).
3. On arrondit la moyenne \(\bar{d} \approx 0,255\) mm au millième.
Résultat : \(d = 0,255 \pm 0,005\) mm.
Correction Exercice 2 (Type B et Composée)
\(m = 50,0\) g, \(u(m) = 0,1\) g. \(V = 10,0\) mL, \(u(V) = 0,05\) mL.
a) Valeur de \(\rho\) :
\(\rho = m/V = 50,0 / 10,0 = 5,00\) g/mL.
b) Incertitude-type \(u(\rho)\) :
\( \frac{u(\rho)}{\rho} = \sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\frac{u(V)}{V}\right)^2} \)
\( \frac{u(\rho)}{5,00} = \sqrt{\left(\frac{0,1}{50,0}\right)^2 + \left(\frac{0,05}{10,0}\right)^2} \)
\( \frac{u(\rho)}{5,00} = \sqrt{(0,002)^2 + (0,005)^2} = \sqrt{0,000004 + 0,000025} = \sqrt{0,000029} \approx 0,005385 \).
\(u(\rho) = 5,00 \times 0,005385 \approx 0,0269\) g/mL.
c) Écriture du résultat :
1. On arrondit \(u(\rho) \approx 0,0269\) g/mL à 1 chiffre significatif par excès : \(u(\rho) = 0,03\) g/mL.
2. L’incertitude est au centième (2 chiffres après la virgule).
3. On arrondit la moyenne \(\rho = 5,00\) g/mL au centième.
Résultat : \(\rho = 5,00 \pm 0,03\) g/mL.
Correction Exercice 3 (Comparaison)
Mesure : \(m_{mes} = 5,00\) g/mL. Incertitude : \(u(m) = 0,11\) g/mL (donnée dans l’énoncé).
Référence : \(m_{ref} = 5,35\) g/mL.
On calcule l’écart normalisé \(z\) :
\(z = \frac{|m_{mes} – m_{ref}|}{u(m)} = \frac{|5,00 – 5,35|}{0,11}\)
\(z = \frac{|-0,35|}{0,11} = \frac{0,35}{0,11} \approx 3,18\).
On compare \(z\) au seuil 2 :
\(z \approx 3,18 > 2\).
Conclusion : L’écart est significatif. La mesure n’est pas compatible avec la valeur de référence.
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