FICHE DE RÉVISION – Mécanique : Mouvement d'un Système
(Niveau : Première)
Mécanique : Mouvement d’un Système
Comprendre le lien entre les forces agissant sur un objet et la variation de son vecteur vitesse.
Partie 1 : Rappels sur le Vecteur Vitesse (\(\vec{v}\))
Pour décrire le mouvement d’un point matériel dans un référentiel donné (ex: le sol), on utilise le vecteur vitesse \(\vec{v}\) à chaque instant.
Le vecteur vitesse \(\vec{v}\) a pour caractéristiques :
- Direction : Tangente (tangent) à la trajectoire au point considéré.
- Sens : Celui du mouvement.
- Norme (Valeur) : La vitesse \(v\) (en m/s).
Sur une chronophotographie (photos à intervalle de temps \(\Delta t\) régulier), on approxime le vecteur vitesse au point \(M_i\) par : $$ \vec{v}_i = \frac{\vec{M_i M_{i+1}}}{\Delta t} $$ (C’est un vecteur colinéaire au segment « suivant »).
Partie 2 : Le Vecteur Variation de Vitesse (\(\Delta \vec{v}\))
Ce qui nous intéresse, ce n’est pas seulement la vitesse, mais comment elle change. Ce changement est décrit par le vecteur variation de vitesse.
Le vecteur variation de vitesse au point \(M_i\), noté \(\Delta \vec{v}_i\), est la différence entre le vecteur vitesse « après » (\(\vec{v}_{i+1}\)) et le vecteur vitesse « avant » (\(\vec{v}_i\)). $$ \Delta \vec{v}_i = \vec{v}_{i+1} – \vec{v}_i $$
Construction Géométrique (très importante) :
- Au point \(M_i\), tracer le vecteur \(\vec{v}_{i+1}\) (en le recopiant/translatant depuis le point \(M_{i+1}\)).
- Au même point \(M_i\), tracer le vecteur \(-\vec{v}_i\) (le vecteur \(\vec{v}_i\) mais avec le sens opposé).
- Construire la somme \(\vec{v}_{i+1} + (-\vec{v}_i)\). Le vecteur résultant est \(\Delta \vec{v}_i\).
Astuce (méthode « pointe à pointe ») :
Tracer \(\vec{v}_i\) et \(\vec{v}_{i+1}\) depuis la même origine (le point \(M_i\)).
Le vecteur \(\Delta \vec{v}_i\) est le vecteur qui joint la pointe de \(\vec{v}_i\) à la pointe de \(\vec{v}_{i+1}\).
Un objet peut avoir une vitesse constante (ex: 5 m/s) mais changer de direction (mouvement circulaire). Sa vitesse ne varie pas, mais son vecteur vitesse \(\vec{v}\) change (car sa direction change !).
Dans ce cas, \(\Delta \vec{v}\) n’est pas nul ! Il représente ce changement de direction.
\(\Delta \vec{v}\) est non nul si : la vitesse change, OU la direction change, OU les deux changent.
Mouvement rectiligne uniforme : \(\vec{v}\) est constant (même direction, sens, norme). \(\vec{v}_{i+1} = \vec{v}_i\).
\(\Delta \vec{v}_i = \vec{v}_{i+1} – \vec{v}_i = \vec{0}\).
Mouvement circulaire uniforme : La norme \(v\) est constante, mais la direction change.
\(\vec{v}_{i+1} \neq \vec{v}_i\). Donc \(\Delta \vec{v}_i \neq \vec{0}\). (On peut montrer qu’il pointe vers le centre du cercle).
Mouvement rectiligne accéléré : La direction est constante, mais la norme \(v\) augmente.
\(\Delta \vec{v}_i\) est non nul et a le même sens que \(\vec{v}\).
Partie 3 : Lien entre Forces et Variation de Vitesse
C’est le cœur de la mécanique. Quel est le lien entre ce qui « pousse/tire » l’objet (\(\sum \vec{F}\)) et comment son mouvement change (\(\Delta \vec{v}\)) ?
Relation (Approchée) de la 2ème Loi de Newton :
Pour un système modélisé par un point matériel de masse \(m\), la somme des forces extérieures \(\sum \vec{F}\) appliquées au système et la variation de son vecteur vitesse \(\Delta \vec{v}\) pendant un court intervalle de temps \(\Delta t\) sont liées par la relation approchée : $$ \sum \vec{F} \approx m \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} $$ On peut aussi l’écrire : $$ \Delta \vec{v} \approx \frac{\sum \vec{F}}{m} \Delta t $$ Conséquence fondamentale : Les vecteurs \(\sum \vec{F}\) et \(\Delta \vec{v}\) ont la même direction et le même sens.
Rôle de la Masse (m) : La masse (en kg) est l’inertie du système.
Pour une même force \(\sum \vec{F}\) et une même durée \(\Delta t\), si la masse \(m\) est grande, la variation de vitesse \(\Delta \vec{v}\) sera petite. (Il est plus difficile de faire changer le mouvement d’un camion que d’un vélo).
C’est pour ça que si tu lances un objet dans l’espace (pas de frottement, pas de poids \(\Rightarrow \sum \vec{F} = \vec{0}\)), alors \(\Delta \vec{v} = \vec{0}\). Sa vitesse ne change pas : il continue en mouvement rectiligne uniforme pour toujours. C’est le **Principe d’Inertie** (que tu as vu au collège) !
Utilisation de la relation
On peut l’utiliser dans deux sens :
- Estimer \(\Delta \vec{v}\) (Prévoir le mouvement) : Si on connaît les forces (\(\sum \vec{F}\)) et la masse (\(m\)), on peut estimer la variation de vitesse : \(\Delta \vec{v} \approx \frac{\sum \vec{F}}{m} \Delta t\).
- Estimer \(\sum \vec{F}\) (Comprendre les causes) : Si on connaît le mouvement (\(\Delta \vec{v}\) et \(\Delta t\)) et la masse (\(m\)), on peut estimer la force totale qui a causé ce changement : \(\sum \vec{F} \approx m \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\).
(Capacité expérimentale) On filme la chute d’une bille (masse \(m\)).
1. On pointe la vidéo (chronophotographie) et on trace les vecteurs \(\vec{v}_i\), \(\vec{v}_{i+1}\)…
2. On construit les vecteurs \(\Delta \vec{v}_i = \vec{v}_{i+1} – \vec{v}_i\) à chaque point. On constate qu’ils sont tous verticaux et vers le bas.
3. On identifie les forces : la seule force (si on néglige les frottements de l’air) est le Poids \(\vec{P}\), qui est vertical et vers le bas.
4. On vérifie que la direction et le sens de \(\Delta \vec{v}_i\) sont bien les mêmes que ceux de \(\sum \vec{F} = \vec{P}\). C’est le cas !
5. On peut même calculer \(m \frac{\Delta \vec{v}_i}{\Delta t}\) et vérifier si la valeur est proche de \(P = mg\).
Partie 4 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Construction de \(\Delta \vec{v}\)) : Un point M suit une trajectoire courbe. En \(M_2\), son vecteur vitesse est \(\vec{v}_2\) (horizontal, vers la droite, 2 cm de long). En \(M_3\), son vecteur vitesse est \(\vec{v}_3\) (oblique vers le bas et la droite, 2 cm de long, à 45°).
Construire le vecteur variation de vitesse \(\Delta \vec{v}_2\) au point \(M_2\). -
Exercice 2 (Estimer \(\sum \vec{F}\)) : Un palet de 400 g (\(m=0.4\) kg) glisse sur la glace. Une chronophotographie (avec \(\Delta t = 0.5\) s) a permis de mesurer \(\vec{v}_1(2.0, 0)\) m/s et \(\vec{v}_2(1.8, 0)\) m/s (les vecteurs sont donnés par leurs coordonnées).
a) Calculer les coordonnées du vecteur \(\Delta \vec{v}_1\).
b) Estimer la valeur de la somme des forces \(\sum \vec{F}\) (supposée constante) s’exerçant sur le palet.
c) Quelle est la nature probable de cette force ? -
Exercice 3 (Estimer \(\Delta \vec{v}\)) : Une balle de \(m=0.1\) kg est lâchée sans vitesse initiale (\(\vec{v}_0 = \vec{0}\)). Elle n’est soumise qu’à son poids \(\vec{P}\). On prend \(g=10\) N/kg.
a) Calculer la somme des forces \(\sum \vec{F}\).
b) Estimer le vecteur variation de vitesse \(\Delta \vec{v}_0\) pendant les 0,2 premières secondes (\(\Delta t = 0.2\) s).
c) En déduire le vecteur vitesse \(\vec{v}_1\) à l’instant \(t_1 = 0.2\) s.
Partie 5 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Construction de \(\Delta \vec{v}\))
On applique la méthode « pointe à pointe » :
1. Dessiner un point \(M_2\).
2. Depuis \(M_2\), tracer \(\vec{v}_2\) (horizontal, 2 cm, droite).
3. Depuis \(M_2\) (même origine), tracer \(\vec{v}_3\) (oblique, 2 cm, bas-droite à 45°).
4. Tracer le vecteur \(\Delta \vec{v}_2\) qui part de la pointe de \(\vec{v}_2\) et arrive à la pointe de \(\vec{v}_3\).
On constate que \(\Delta \vec{v}_2\) est un vecteur dirigé verticalement (ou presque) vers le bas.
Correction Exercice 2 (Estimer \(\sum \vec{F}\))
\(m=0.4\) kg, \(\Delta t = 0.5\) s, \(\vec{v}_1(2.0, 0)\), \(\vec{v}_2(1.8, 0)\).
a) Coordonnées de \(\Delta \vec{v}_1\) :
\(\Delta \vec{v}_1 = \vec{v}_2 – \vec{v}_1 = (1.8 – 2.0, \ 0 – 0) = (-0.2, \ 0)\) m/s.
b) Estimation de \(\sum \vec{F}\) :
\(\sum \vec{F} \approx m \frac{\Delta \vec{v}_1}{\Delta t} = 0.4 \times \frac{(-0.2, \ 0)}{0.5}\)
\(\sum \vec{F} \approx 0.4 \times (-0.4, \ 0) = (-0.16, \ 0)\) N.
La force totale est un vecteur de valeur 0,16 N, dirigé horizontalement vers la gauche (sens opposé au mouvement).
c) Nature de la force :
Le palet glisse sur la glace (mouvement horizontal). Les forces verticales (poids et réaction de la glace) se compensent.
La force totale \(\sum \vec{F}\) est horizontale, opposée au mouvement, et freine le palet. Il s’agit des forces de frottement (ici, frottement de l’air et/ou sur la glace).
Correction Exercice 3 (Estimer \(\Delta \vec{v}\))
\(m=0.1\) kg, \(\vec{v}_0 = \vec{0}\), \(\Delta t = 0.2\) s, \(g=10\) N/kg.
a) Somme des forces :
La seule force est le poids \(\vec{P}\). Choisissons un axe (Oz) vertical vers le bas.
\(\sum \vec{F} = \vec{P}\). Valeur \(P = mg = 0.1 \times 10 = 1\) N.
Vecteur \(\sum \vec{F} = (1)\) N (sur l’axe Oz).
b) Estimation de \(\Delta \vec{v}_0\) :
\(\Delta \vec{v}_0 \approx \frac{\sum \vec{F}}{m} \Delta t = \frac{\vec{P}}{m} \Delta t\)
On remarque que \(\frac{\vec{P}}{m} = \frac{m\vec{g}}{m} = \vec{g}\).
\(\Delta \vec{v}_0 \approx \vec{g} \Delta t\).
\(\Delta \vec{v}_0 \approx (10) \times 0.2 = 2\) m/s (dirigé vers le bas).
c) Vecteur vitesse \(\vec{v}_1\) :
Par définition, \(\Delta \vec{v}_0 = \vec{v}_1 – \vec{v}_0\).
Donc \(\vec{v}_1 = \vec{v}_0 + \Delta \vec{v}_0\).
\(\vec{v}_1 = \vec{0} + (2) = 2\) m/s (dirigé vers le bas).
Après 0.2s de chute, la vitesse de la balle est de 2 m/s.
Besoin d'aide en Physique-chimie ?
Je propose des cours de remise à niveau en visio ou en présentiel