FICHE DE RÉVISION – multiplier, diviser, nombres premiers
FICHE DE RÉVISION – multiplier, diviser, nombres premiers(Niveau : Seconde)
Multiples, Diviseurs et Nombres Premiers
La base de l’arithmétique pour décomposer les nombres et simplifier les fractions comme un pro.
Partie 1 : Multiples, Diviseurs et Parité
Ce chapitre travaille uniquement avec les entiers. On rappelle les deux ensembles principaux :
- \(\mathbb{N}\) : Les entiers naturels \{0, 1, 2, 3, …\}
- \(\mathbb{Z}\) : Les entiers relatifs \{…, -2, -1, 0, 1, 2, …\}
1. Multiple et Diviseur
Ces deux notions sont les deux faces d’une même pièce.
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers.
On dit que \(b\) est un multiple de \(a\) s’il existe un entier \(k\) tel que : $$b = k \times a$$ On dit alors que \(a\) est un diviseur de \(b\).
21 est un multiple de 7, car \(21 = 3 \times 7\). (Ici, \(k=3\)).
Donc, 7 est un diviseur de 21.
30 est un multiple de 10 (car \(30 = 3 \times 10\)).
-15 est un multiple de 5 (car \(-15 = -3 \times 5\)).
Tous les entiers sont des multiples de 1.
Les multiples de 7, c’est la « colonne » de résultats de la table de 7 : \{… 0, 7, 14, 21, 28, …\}.
Les diviseurs de 20, ce sont tous les nombres qui « tombent juste » quand tu divises 20 : \{1, 2, 4, 5, 10, 20\} (et leurs opposés -1, -2, etc.).
2. Nombres Pairs et Impairs
C’est juste un cas particulier de divisibilité par 2.
Un entier \(n\) est pair s’il est un multiple de 2.
Il peut s’écrire sous la forme : \(n = 2k\) (où \(k\) est un entier).
Un entier \(n\) est impair s’il n’est pas pair.
Il peut s’écrire sous la forme : \(n = 2k + 1\) (où \(k\) est un entier).
18 est pair, car \(18 = 2 \times 9\). (Ici, \(k=9\)).
-10 est pair, car \(-10 = 2 \times (-5)\). (Ici, \(k=-5\)).
13 est impair, car \(13 = (2 \times 6) + 1\). (Ici, \(k=6\)).
-5 est impair, car \(-5 = (2 \times -3) + 1\).
Partie 2 : Les Nombres Premiers
Les nombres premiers sont les « briques » fondamentales de tous les autres nombres.
Un nombre premier est un entier naturel (\(\in \mathbb{N}\)) qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
1. Le nombre 1 n’est PAS premier ! Il n’a qu’un seul diviseur (lui-même).
2. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 (en plus de 1 et eux-mêmes).
3. La liste commence par : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
7 est-il premier ? Oui. Ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
10 est-il premier ? Non. Ses diviseurs sont 1, 2, 5, 10 (il en a 4).
9 est-il premier ? Non. Ses diviseurs sont 1, 3, 9 (il en a 3).
Partie 3 : Fractions Irréductibles
L’objectif principal de ce chapitre est de savoir simplifier les fractions au maximum.
Une fraction \(\frac{a}{b}\) est dite irréductible lorsque le numérateur \(a\) et le dénominateur \(b\) n’ont aucun diviseur commun (à part 1).
Pour rendre une fraction irréductible, on la simplifie en divisant \(a\) et \(b\) par leurs diviseurs communs, jusqu’à ce qu’on ne puisse plus.
Rendre la fraction \(\frac{42}{60}\) irréductible.
1. On voit que 42 et 60 sont pairs (divisibles par 2) :
\(\frac{42 \div 2}{60 \div 2} = \frac{21}{30}\)
2. On voit que 21 et 30 sont dans la table de 3 (divisibles par 3) :
\(\frac{21 \div 3}{30 \div 3} = \frac{7}{10}\)
3. 7 et 10 n’ont plus de diviseur commun (à part 1).
La fraction est irréductible.
Décompose le haut et le bas en « briques » (facteurs premiers) :
\(42 = 2 \times 21 = 2 \times 3 \times 7\)
\(60 = 6 \times 10 = (2 \times 3) \times (2 \times 5)\)
Maintenant, réécris la fraction et « barre » les briques communes en haut et en bas : $$ \frac{42}{60} = \frac{\cancel{2} \times \cancel{3} \times 7}{\cancel{2} \times \cancel{3} \times 2 \times 5} $$ Qu’est-ce qu’il reste ? \(\frac{7}{2 \times 5} = \frac{7}{10}\). C’est la méthode la plus sûre !
Partie 4 : Démonstrations Clés (Au Programme)
Comprendre ces démonstrations t’aide à maîtriser la « logique » des nombres pairs et impairs.
Démonstration : La somme de deux multiples de \(a\) est un multiple de \(a\).
1. Définition (Ce qu’on sait) :
Soient \(M_1\) et \(M_2\) deux nombres.
Puisqu’ils sont tous les deux multiples de \(a\), on peut écrire :
\(M_1 = k_1 \times a\) (où \(k_1\) est un entier)
\(M_2 = k_2 \times a\) (où \(k_2\) est un entier)
2. Calcul (Ce qu’on cherche) :
On veut étudier leur somme \(S = M_1 + M_2\).
\(S = (k_1 \times a) + (k_2 \times a)\)
3. Factorisation :
On voit que \(a\) est un facteur commun. On peut donc factoriser :
\(S = (k_1 + k_2) \times a\)
4. Conclusion :
On pose \(K = k_1 + k_2\). Puisque \(k_1\) et \(k_2\) sont des entiers, leur somme \(K\) est aussi un entier.
On a donc écrit \(S\) sous la forme \(S = K \times a\).
C’est la définition d’un multiple de \(a\).
Conclusion : La somme de deux multiples de \(a\) est bien un multiple de \(a\).
Démonstration : Le carré d’un nombre impair est impair.
1. Définition (Ce qu’on sait) :
Soit \(n\) un nombre impair.
Par définition, on peut l’écrire sous la forme :
\(n = 2k + 1\) (où \(k\) est un entier)
2. Calcul (Ce qu’on cherche) :
On veut étudier son carré \(n^2\).
\(n^2 = (2k + 1)^2\)
3. Développement (Identité remarquable) :
On utilise \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\(n^2 = (2k)^2 + 2(2k)(1) + 1^2\)
\(n^2 = 4k^2 + 4k + 1\)
4. Factorisation (pour retrouver la forme impaire) :
On veut montrer que \(n^2\) est de la forme \(2 \times (\text{entier}) + 1\).
On factorise les deux premiers termes par 2 :
\(n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1\)
5. Conclusion :
On pose \(K = 2k^2 + 2k\). Puisque \(k\) est un entier, \(K\) est aussi un entier.
On a donc écrit \(n^2\) sous la forme \(n^2 = 2K + 1\).
C’est la définition d’un nombre impair.
Conclusion : Le carré d’un nombre impair est toujours impair.
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
À toi de jouer ! Ces exercices couvrent les capacités attendues au programme.
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Exercice 1 (Modélisation) :
Un chocolatier a 126 truffes au chocolat noir et 90 truffes au chocolat blanc. Il veut faire des paquets identiques (même nombre de truffes de chaque sorte) en utilisant toutes les truffes.
a) Peut-il faire 10 paquets ? Pourquoi ?
b) Peut-il faire 6 paquets ? Si oui, quelle est leur composition ?
c) Quel est le plus grand nombre de paquets identiques qu’il peut faire ? -
Exercice 2 (Pair/Impair) :
Sans calculer le résultat, détermine si le nombre \(N = (101 \times 103) + 1\) est pair ou impair. Justifie.
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Exercice 3 (Fraction Irréductible) :
Rendre la fraction \(\frac{72}{120}\) irréductible en utilisant la méthode de ton choix.
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Exercice 4 (Nombre Premier) :
Le nombre 121 est-il un nombre premier ? Justifie.
Partie 6 : Corrections Détaillées
Cliquez sur chaque exercice pour voir la solution.
Correction Exercice 1 (Problème de diviseurs)
Pour faire \(N\) paquets identiques, \(N\) doit être un diviseur de 126 ET de 90.
a) Peut-il faire 10 paquets ?
10 divise 90 (car \(90 = 10 \times 9\)).
Mais 10 ne divise pas 126 (car 126 ne se termine pas par 0).
Non, il ne peut pas faire 10 paquets identiques.
b) Peut-il faire 6 paquets ?
Est-ce que 6 divise 126 ? Oui, \(126 = 6 \times 21\).
Est-ce que 6 divise 90 ? Oui, \(90 = 6 \times 15\).
Oui, il peut faire 6 paquets.
Chaque paquet contiendra 21 truffes noires et 15 truffes blanches.
c) Plus grand nombre de paquets ?
On cherche le plus grand diviseur commun (PGCD) à 126 et 90.
Diviseurs de 90 : \{1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90\}
Testons les diviseurs de 90 sur 126, en partant du plus grand :
126 / 18 = 7.
Oui ! Le plus grand diviseur commun est 18.
Il peut faire au maximum 18 paquets (chacun aura 7 truffes noires et 5 truffes blanches).
Correction Exercice 2 (Pair/Impair)
On analyse \(N = (101 \times 103) + 1\).
1. 101 est un nombre impair.
2. 103 est un nombre impair.
3. Le produit de deux nombres impairs est toujours impair.
(Tu peux le prouver comme dans la démo : \((2k+1)(2j+1) = 4kj + 2k + 2j + 1 = 2(2kj+k+j) + 1\))
Donc, \(101 \times 103\) est un nombre impair.
4. L’expression devient : \(N = (\text{Nombre Impair}) + 1\).
5. La somme d’un nombre impair et de 1 est toujours un nombre pair.
(Car \((2K+1) + 1 = 2K + 2 = 2(K+1)\), ce qui est pair)
Solution : Le nombre N est pair.
Correction Exercice 3 (Fraction Irréductible)
On veut simplifier \(\frac{72}{120}\).
Méthode 1 : Simplifications successives
Ils sont pairs (ou divisibles par 10 et 2) :
\(\frac{72 \div 8}{120 \div 8} = \frac{9}{15}\) … Non, essayons plus simple.
Divisons par 10 ? Non. Divisons par 2 :
\(\frac{72 \div 2}{120 \div 2} = \frac{36}{60}\)
Encore par 2 :
\(\frac{36 \div 2}{60 \div 2} = \frac{18}{30}\)
Encore par 2 :
\(\frac{18 \div 2}{30 \div 2} = \frac{9}{15}\)
Maintenant par 3 :
\(\frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}\)
3 et 5 sont premiers, on ne peut plus simplifier.
Méthode 2 : Décomposition (Conseil de Yas)
\(72 = 8 \times 9 = (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3)\)
\(120 = 12 \times 10 = (3 \times 4) \times (2 \times 5) = (3 \times 2 \times 2) \times (2 \times 5)\)
$$ \frac{72}{120} = \frac{\cancel{2} \times \cancel{2} \times \cancel{2} \times \cancel{3} \times 3}{\cancel{2} \times \cancel{2} \times \cancel{2} \times \cancel{3} \times 5} $$
Il reste \(\frac{3}{5}\).
Solution : \(\frac{3}{5}\)
Correction Exercice 4 (Nombre Premier)
On veut savoir si 121 est premier.
On doit tester s’il est divisible par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, …).
1. Divisible par 2 ? Non, il est impair.
2. Divisible par 3 ? Somme des chiffres : \(1+2+1 = 4\). 4 n’est pas multiple de 3. Non.
3. Divisible par 5 ? Non, il ne se termine pas par 0 ou 5.
4. Divisible par 7 ? \(121 = (7 \times 17) + 2\). Non.
5. Divisible par 11 ? \(121 \div 11 = 11\). Oui !
Puisque 121 est divisible par 11, il a plus que deux diviseurs (1, 11, et 121).
Solution : 121 n’est pas un nombre premier. (C’est le carré de 11).
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