FICHE DE RÉVISION – Primitives et Équations Différentielles
(Niveau : Terminale)
Analyse : Primitives et Équations Différentielles
Remonter de la dérivée à la fonction : calcul de primitives et résolution des équations différentielles \(y’=ay\) et \(y’=ay+b\).
Partie 1 : Primitives d’une Fonction Continue
Trouver une primitive, c’est faire l’opération inverse de la dérivation.
1. Définition et Unicité
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et si, pour tout \(x \in I\) : $$ F'(x) = f(x) $$
Théorème (Admis ici) : Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Propriété d’Unicité : Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de la même fonction \(f\) sur un intervalle \(I\), alors il existe une constante réelle \(C\) telle que pour tout \(x \in I\) : $$ G(x) = F(x) + C $$ (Deux primitives de la même fonction diffèrent seulement d’une constante).
Démonstration (Les primitives diffèrent d’une constante)
Soient F et G deux primitives de \(f\) sur I. Cela signifie que \(F'(x) = f(x)\) et \(G'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\).
Considérons la fonction \(H(x) = G(x) – F(x)\).
Calculons sa dérivée : \(H'(x) = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0\) pour tout \(x \in I\).
Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est une fonction constante sur cet intervalle.
Donc, il existe une constante \(C\) telle que \(H(x) = C\) pour tout \(x \in I\).
C’est-à-dire \(G(x) – F(x) = C\), ou \(G(x) = F(x) + C\).
\(F(x) = x^2\) est une primitive de \(f(x) = 2x\) sur \(\mathbb{R}\) car \(F'(x) = 2x\).
\(G(x) = x^2 + 5\) est aussi une primitive de \(f(x) = 2x\) car \(G'(x) = 2x + 0 = 2x\).
\(H(x) = x^2 – \pi\) est aussi une primitive de \(f(x) = 2x\).
L’ensemble de toutes les primitives de \(2x\) est l’ensemble des fonctions de la forme \(x^2 + C\), où \(C\) est une constante réelle.
2. Primitives des Fonctions Usuelles (Lecture inverse du tableau des dérivées)
Le tableau suivant donne UNE primitive pour chaque fonction usuelle (on peut toujours ajouter « + C »).
| Fonction \(f(x)\) | Une Primitive \(F(x)\) | Intervalle \(I\) |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z}, n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | Sur tout intervalle ne contenant pas 0 si \(n < -1\) |
| \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\) | \(-\frac{1}{x} = -x^{-1}\) | \(]0, +\infty[\) ou \(]-\infty, 0[\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0, +\infty[\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln(x)\) | \(]0, +\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
3. Primitives et Opérations
Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\) :
- Une primitive de \(f+g\) est \(F+G\).
- Une primitive de \(k \times f\) (où \(k\) est une constante) est \(k \times F\).
Primitives des Formes Composées (Reconnaître \(u’\times …\)) :
| Fonction \(f(x)\) de la forme… | Une Primitive \(F(x)\) | Conditions |
|---|---|---|
| \(u'(x) [u(x)]^n\) (\(n \in \mathbb{Z}, n \neq -1\)) | \(\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}\) | |
| \(\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}\) (cas \(n=-2\)) | \(-\frac{1}{u(x)}\) | \(u(x) \neq 0\) |
| \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) | \(\sqrt{u(x)}\) | \(u(x) > 0\) |
| \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln(|u(x)|)\) | \(u(x) \neq 0\) |
| \(u'(x) e^{u(x)}\) | \(e^{u(x)}\) | |
| \(u'(x) \cos(u(x))\) | \(\sin(u(x))\) | |
| \(u'(x) \sin(u(x))\) | \(-\cos(u(x))\) |
Ex: \(f(x) = (2x+1)(x^2+x)^3\). Ça ressemble à \(u’u^3\) avec \(u=x^2+x\) (donc \(u’=2x+1\)). Bingo ! Une primitive est \(F(x) = \frac{u^4}{4} = \frac{(x^2+x)^4}{4}\).
Ex: \(g(x) = \frac{x}{x^2+1}\). Ça ressemble à \(u’/u\) avec \(u=x^2+1\) (\(u’=2x\)). Il manque juste un facteur 2. On écrit \(g(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{x^2+1}\). Une primitive est \(G(x) = \frac{1}{2} \ln(u) = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)\) (pas besoin de valeur absolue car \(x^2+1>0\)).
Partie 2 : Équations Différentielles Linéaires du Premier Ordre
Une équation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction (souvent notée \(y\) ou \(y(x)\)), et qui fait intervenir cette fonction et ses dérivées (\(y’\), \(y »\)…).
1. Équation \(y’ = ay\) (Homogène)
Soit \(a\) un réel.
Les solutions de l’équation différentielle \(y’ = ay\) sont les fonctions \(y\) définies sur \(\mathbb{R}\) par : $$ y(x) = C e^{ax} $$ où \(C\) est une constante réelle quelconque.
Graphiquement, ces solutions sont des courbes exponentielles. Si \(a>0\), elles divergent vers \(\pm\infty\). Si \(a<0\), elles convergent vers 0.
Démonstration (Résolution de \(y’=ay\))
On cherche les fonctions \(y\) dérivables telles que \(y'(x) = ay(x)\) pour tout \(x\).
1. Analyse (Si \(y\) est solution, quelle forme a-t-elle ?) :
Supposons qu’une solution \(y\) ne s’annule jamais. On peut diviser par \(y(x)\) : \(\frac{y'(x)}{y(x)} = a\).
On reconnaît à gauche la dérivée de \(\ln(|y(x)|)\). Donc \((\ln|y|)’ = a\).
En prenant la primitive, \(\ln(|y(x)|) = ax + k\), où \(k\) est une constante.
En appliquant l’exponentielle : \(|y(x)| = e^{ax+k} = e^{ax} \times e^k\).
Comme \(e^{ax} > 0\), cela signifie que \(y(x) = \pm e^k \times e^{ax}\).
Posons \(C = \pm e^k\). On obtient \(y(x) = C e^{ax}\) (où \(C\) est une constante non nulle).
2. Synthèse (Vérification) :
Soit \(y(x) = C e^{ax}\) (avec \(C\) réel quelconque, même nul).
Calculons la dérivée : \(y'(x) = C \times (e^{ax})’ = C \times (a e^{ax}) = a \times (C e^{ax}) = a y(x)\).
La fonction \(y(x) = C e^{ax}\) est bien solution.
(On admet qu’il n’y a pas d’autres solutions, notamment celles qui pourraient s’annuler).
Résoudre \(y’ = -2y\). Les solutions sont \(y(x) = C e^{-2x}\).
Trouver LA solution qui vérifie \(y(0) = 5\).
On remplace : \(5 = C e^{-2 \times 0} = C e^0 = C \times 1 = C\). Donc \(C=5\).
La solution unique est \(y(x) = 5e^{-2x}\).
2. Équation \(y’ = ay + b\) (Avec second membre constant)
Soit \(a \neq 0\) et \(b\) des réels.
Les solutions de l’équation différentielle \(y’ = ay + b\) sont les fonctions \(y\) définies sur \(\mathbb{R}\) par : $$ y(x) = C e^{ax} – \frac{b}{a} $$ où \(C\) est une constante réelle quelconque.
Méthode de résolution :
- Trouver une solution particulière constante \(y_p(x) = k\). En remplaçant dans l’équation : \(0 = ak + b \Rightarrow k = -b/a\). Donc \(y_p(x) = -b/a\) est une solution.
- Trouver la solution générale de l’équation homogène associée \(y’ = ay\). On sait que c’est \(y_h(x) = C e^{ax}\).
- La solution générale de l’équation complète est la somme de la solution particulière et de la solution homogène : \(y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{ax} – b/a\).
Résoudre \(y’ = 3y + 6\). Ici \(a=3, b=6\).
1. Solution particulière constante : \(y_p = -b/a = -6/3 = -2\). (Vérif: \((-2)’ = 3(-2)+6 \Rightarrow 0 = -6+6\). OK).
2. Solution homogène de \(y’=3y\) : \(y_h(x) = C e^{3x}\).
3. Solution générale : \(y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{3x} – 2\).
Trouver LA solution telle que \(y(0) = 1\).
On remplace : \(1 = C e^{3 \times 0} – 2 = C e^0 – 2 = C – 2\).
Donc \(C = 1 + 2 = 3\).
La solution unique est \(y(x) = 3e^{3x} – 2\).
3. Équation \(y’ = ay + f(x)\) (Cas général)
Si on connaît une solution particulière \(y_p(x)\) de l’équation complète \(y’ = ay + f(x)\).
Alors la solution générale de cette équation est : $$ y(x) = C e^{ax} + y_p(x) $$ (Somme de la solution générale de l’homogène \(y’=ay\) et de la solution particulière \(y_p\)).
Soit l’équation \(y’ = 2y + x\). On vérifie que \(y_p(x) = -\frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\) est une solution particulière.
(\(y_p’ = -1/2\). \(2y_p+x = 2(-\frac{1}{2}x – \frac{1}{4}) + x = -x – \frac{1}{2} + x = -1/2\). OK).
La solution générale de l’équation homogène \(y’=2y\) est \(y_h(x) = C e^{2x}\).
La solution générale de l’équation complète est \(y(x) = C e^{2x} – \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\).
Partie 3 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Primitives) : Trouver une primitive des fonctions suivantes :
a) \(f(x) = x^4 – 3x + \frac{1}{x^2}\) sur \(]0, +\infty[\).
b) \(g(x) = \frac{2x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
c) \(h(x) = e^{-x+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
d) \(k(x) = \cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\). -
Exercice 2 (Éq. Diff. \(y’=ay\)) :
a) Résoudre l’équation différentielle \(y’ + 5y = 0\).
b) Trouver la solution \(f\) de cette équation telle que \(f(0) = 2\). -
Exercice 3 (Éq. Diff. \(y’=ay+b\)) :
a) Résoudre l’équation différentielle \(y’ = -y + 4\).
b) Trouver la solution \(g\) de cette équation dont la courbe passe par le point (0, 1).
Partie 4 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Primitives)
a) \(f(x) = x^4 – 3x + x^{-2}\) : Somme de puissances.
Une primitive de \(x^4\) est \(\frac{x^5}{5}\).
Une primitive de \(-3x\) est \(-3 \frac{x^2}{2}\).
Une primitive de \(x^{-2}\) est \(\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}\).
\(F(x) = \frac{1}{5}x^5 – \frac{3}{2}x^2 – \frac{1}{x} + C\).
b) \(g(x) = \frac{2x}{x^2+1}\) : Forme \(\frac{u’}{u}\) avec \(u(x)=x^2+1\) (\(u'(x)=2x\)).
\(G(x) = \ln(x^2+1) + C\) (Pas de valeur absolue car \(x^2+1>0\)).
c) \(h(x) = e^{-x+1}\) : Forme \(e^u\) avec \(u(x)=-x+1\) (\(u'(x)=-1\)). Il manque \(u’\).
On écrit \(h(x) = -1 \times (-1) e^{-x+1} = -u'(x)e^{u(x)}\).
\(H(x) = -e^{u(x)} + C = -e^{-x+1} + C\).
d) \(k(x) = \cos(2x)\) : Forme \(\cos(u)\) avec \(u(x)=2x\) (\(u'(x)=2\)). Il manque \(u’\).
On écrit \(k(x) = \frac{1}{2} \times 2 \cos(2x) = \frac{1}{2} u'(x)\cos(u(x))\).
Une primitive de \(u’\cos(u)\) est \(\sin(u)\).
\(K(x) = \frac{1}{2} \sin(u(x)) + C = \frac{1}{2}\sin(2x) + C\).
Correction Exercice 2 (Éq. Diff. \(y’=ay\))
a) Résoudre \(y’ + 5y = 0\) :
On réécrit l’équation sous la forme \(y’ = -5y\). C’est \(y’ = ay\) avec \(a = -5\).
Les solutions sont de la forme \(y(x) = C e^{ax}\).
\(y(x) = C e^{-5x}\), où C est une constante réelle.
b) Solution telle que \(f(0) = 2\) :
On utilise la forme générale \(f(x) = C e^{-5x}\).
On remplace \(x\) par 0 : \(f(0) = C e^{-5 \times 0} = C e^0 = C \times 1 = C\).
On veut \(f(0) = 2\), donc \(C = 2\).
La solution unique est \(f(x) = 2e^{-5x}\).
Correction Exercice 3 (Éq. Diff. \(y’=ay+b\))
a) Résoudre \(y’ = -y + 4\) :
C’est de la forme \(y’ = ay + b\) avec \(a = -1\) et \(b = 4\).
1. Solution particulière constante : \(y_p = -b/a = -4/(-1) = 4\).
2. Solution générale de l’homogène \(y’ = -y\) : \(y_h(x) = C e^{-1x} = C e^{-x}\).
3. Solution générale de l’équation complète : \(y(x) = y_h(x) + y_p(x)\).
\(y(x) = C e^{-x} + 4\), où C est une constante réelle.
b) Solution telle que la courbe passe par (0, 1) (i.e. \(g(0)=1\)) :
On utilise la forme générale \(g(x) = C e^{-x} + 4\).
On remplace \(x\) par 0 : \(g(0) = C e^{-0} + 4 = C e^0 + 4 = C + 4\).
On veut \(g(0) = 1\), donc \(C + 4 = 1 \Rightarrow C = 1 – 4 = -3\).
La solution unique est \(g(x) = -3e^{-x} + 4\).
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