Réduction des endomorphismes
(Niveau : Prépa)
Réduction des Endomorphismes : Le Cours Complet
Ce chapitre est un pilier de l’algèbre linéaire. Il s’agit de trouver des bases simples (diagonales, triangulaires) pour comprendre la structure profonde d’une matrice. C’est indispensable pour résoudre des systèmes différentiels ou calculer des puissances.
1. Compléments d’Algèbre Linéaire
Sommes Directes
Si $F_1, \dots, F_p$ sont des sous-espaces vectoriels, on a toujours l’inégalité :
$$ \dim(\sum F_i) \le \sum \dim(F_i) $$L’égalité a lieu si et seulement si la somme est directe ($\oplus F_i$).
Matrices par Blocs
Si $E = E_1 \oplus \dots \oplus E_p$, une base adaptée permet d’écrire la matrice de $u$ par blocs. Si la matrice est triangulaire par blocs (zéros sous la diagonale de blocs), son déterminant est le produit des déterminants des blocs diagonaux :
$$ \det(M) = \prod_{i=1}^p \det(A_{i,i}) $$2. Éléments Propres
$\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $u$ s’il existe $x \ne 0_E$ tel que $u(x) = \lambda x$.
L’ensemble des valeurs propres est le Spectre $Sp(u)$.
Le sous-espace propre est $E_\lambda(u) = \ker(u – \lambda \text{Id})$.
3. Polynôme Caractéristique
Pour trouver les valeurs propres, on utilise le déterminant.
$$ \chi_u(X) = \det(X \text{Id}_E – u) $$Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $\chi_u$. $$ \lambda \in Sp(u) \iff \chi_u(\lambda) = 0 $$
Inégalité fondamentale : Pour toute valeur propre $\lambda$ de multiplicité $\alpha$ dans $\chi_u$, la dimension du sous-espace propre est bornée :
$$ 1 \le \dim E_\lambda(u) \le \alpha $$4. Diagonalisation
Un endomorphisme est diagonalisable s’il existe une base de vecteurs propres.
$u$ est diagonalisable si et seulement si l’une des conditions est vérifiée :
1. La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $\dim(E)$.
2. $\chi_u$ est scindé ET pour tout $\lambda$, $\dim E_\lambda(u) = \text{multiplicité}(\lambda)$.
5. Trigonalisation
Si on ne peut pas diagonaliser, on cherche une matrice triangulaire supérieure.
Sur $\mathbb{C}$, tout polynôme est scindé, donc toute matrice est trigonalisable sur $\mathbb{C}$.
Trace et Déterminant : Pour un endomorphisme trigonalisable de spectre $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ :
$$ \text{Tr}(u) = \sum \lambda_i \quad \text{et} \quad \det(u) = \prod \lambda_i $$6. Endomorphismes Nilpotents
Un endomorphisme est nilpotent s’il existe $p$ tel que $u^p = 0$.
- Son unique valeur propre est $0$.
- Son polynôme caractéristique est $\chi_u(X) = X^n$.
- Il est trigonalisable avec des 0 sur la diagonale.
7. Polynômes d’Endomorphismes
On peut évaluer un polynôme $P$ en $u$. L’application $P \mapsto P(u)$ est un morphisme d’algèbres.
Polynôme Minimal $\mu_u$
C’est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule $u$. Il divise tout polynôme annulateur.
8. Lemme des Noyaux
C’est l’outil de décomposition par excellence.
Si $P = P_1 \dots P_r$ avec les $P_i$ premiers entre eux deux à deux, alors : $$ \ker(P(u)) = \bigoplus_{i=1}^r \ker(P_i(u)) $$
Critère polynomial de diagonalisation : $u$ est diagonalisable $\iff$ il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples.
9. Théorème de Cayley-Hamilton
Le polynôme caractéristique annule l’endomorphisme : $$ \chi_u(u) = 0_{\mathcal{L}(E)} $$
Cela implique que le polynôme minimal $\mu_u$ divise toujours le polynôme caractéristique $\chi_u$.