FICHE DE RÉVISION – Représentation Algébrique et graphique
(Niveau : Seconde)
Fonctions : Représentations Algébrique et Graphique
Traduire une formule en dessin (et inversement). Lire une courbe, résoudre graphiquement, et maîtriser les tableaux de signes.
Partie 1 : La Courbe Représentative \(C_f\)
La courbe représentative d’une fonction \(f\), notée \(C_f\), est le « dessin » de la fonction dans un repère.
La courbe \(C_f\) est l’ensemble de tous les points \(M\) du plan dont les coordonnées \((x, y)\) vérifient l’équation \(y = f(x)\).
Autrement dit : un point \(M(x_M, y_M)\) appartient à la courbe \(C_f\) si et seulement si \(y_M = f(x_M)\).
Soit la fonction \(f(x) = x^2 – 1\).
Le point \(A(2, 3)\) appartient-il à \(C_f\) ?
Calculons \(f(x_A) = f(2) = 2^2 – 1 = 4 – 1 = 3\).
On trouve bien \(y_A = 3\). Donc Oui, \(A \in C_f\).
Le point \(B(1, 1)\) appartient-il à \(C_f\) ?
Calculons \(f(x_B) = f(1) = 1^2 – 1 = 0\).
On trouve 0, mais \(y_B = 1\). Comme \(y_B \neq f(x_B)\), Non, \(B \notin C_f\).
Partie 2 : Parité (Fonctions Paires et Impaires)
La parité étudie la symétrie de la courbe d’une fonction.
1. Fonction Paire (Symétrie axiale)
Une fonction \(f\) est paire si, pour tout \(x\) de son ensemble de définition :
1. \( -x \) appartient aussi à l’ensemble de définition.
2. \( f(-x) = f(x) \)
Traduction géométrique : La courbe \(C_f\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (l’axe vertical).
La fonction carré \(f(x) = x^2\) est paire car \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\). Sa courbe (la parabole) est bien symétrique par rapport à l’axe (Oy).
La fonction \(g(x) = \cos(x)\) est aussi paire.
2. Fonction Impaire (Symétrie centrale)
Une fonction \(f\) est impaire si, pour tout \(x\) de son ensemble de définition :
1. \( -x \) appartient aussi à l’ensemble de définition.
2. \( f(-x) = -f(x) \)
Traduction géométrique : La courbe \(C_f\) est symétrique par rapport à l’origine du repère \(O(0,0)\).
La fonction inverse \(f(x) = 1/x\) est impaire car \(f(-x) = 1/(-x) = – (1/x) = -f(x)\). Sa courbe (l’hyperbole) est bien symétrique par rapport à l’origine.
La fonction cube \(g(x) = x^3\) est impaire car \(g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)\).
La fonction \(h(x) = \sin(x)\) est aussi impaire.
– **Paire** : Pense à \(x^2\). Le moins disparaît \(f(-x)=f(x)\). Symétrie par rapport à l’axe (Oy).
– **Impaire** : Pense à \(x^3\). Le moins « sort » \(f(-x)=-f(x)\). Symétrie par rapport à l’origine O.
Attention : la plupart des fonctions ne sont ni paires, ni impaires ! Ex: \(f(x) = x+1\).
Partie 3 : Résolution Graphique d’Équations et Inéquations
Une des grandes forces des graphiques est de pouvoir « voir » les solutions sans calcul !
1. Résoudre \(f(x) = k\)
Les solutions de l’équation \(f(x) = k\) sont les abscisses \(x\) des points d’intersection entre la courbe \(C_f\) et la droite horizontale d’équation \(y = k\).
Pour résoudre \(x^2 = 4\) graphiquement :
1. On trace la courbe de \(f(x)=x^2\) (la parabole).
2. On trace la droite horizontale \(y = 4\).
3. On regarde où elles se coupent. On trouve deux points.
4. On lit les abscisses \(x\) de ces points : -2 et 2.
Solution : \(S = \{-2, 2\}\).
2. Résoudre \(f(x) < k\) (ou >, ≤, ≥)
Les solutions de l’inéquation \(f(x) < k\) sont les abscisses \(x\) des points de la courbe \(C_f\) qui sont situés strictement en dessous de la droite horizontale \(y = k\).
(Pour \(f(x) > k\), on regarde au-dessus ; pour \(\le k\), on regarde en dessous ou sur la ligne ; etc.)
Pour résoudre \(x^2 < 4\) graphiquement :
1. On reprend le dessin précédent.
2. On regarde la partie de la parabole qui est sous la ligne \(y=4\).
3. On lit les abscisses \(x\) correspondantes : ce sont tous les \(x\) entre -2 et 2 (exclus).
Solution : \(S = ]-2, 2[\).
3. Résoudre \(f(x) = g(x)\)
Les solutions de l’équation \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses \(x\) des points d’intersection entre les deux courbes \(C_f\) et \(C_g\).
4. Résoudre \(f(x) < g(x)\) (ou >, ≤, ≥)
Les solutions de l’inéquation \(f(x) < g(x)\) sont les abscisses \(x\) des points où la courbe \(C_f\) est située strictement en dessous de la courbe \(C_g\).
Résoudre graphiquement \(x^2 \le x\).
1. On trace \(C_f: y=x^2\) (parabole) et \(C_g: y=x\) (droite qui passe par l’origine).
2. On regarde où la parabole est en dessous ou sur la droite.
3. On voit que c’est le cas entre les points d’intersection.
4. Les points d’intersection ont pour abscisses 0 et 1.
Solution : \(S = [0, 1]\).
Partie 4 : Tableaux de Signes (pour Produits et Quotients)
C’est l’outil indispensable pour résoudre les inéquations du type \( A(x) \times B(x) > 0 \) ou \( \frac{A(x)}{B(x)} \le 0 \).
Méthode pour \(A(x) \times B(x) > 0\) (par exemple) :
- Trouver les « zéros » : Résoudre \(A(x)=0\) et \(B(x)=0\). Ces valeurs annulent l’expression.
- Étudier le signe de chaque facteur : Déterminer quand \(A(x)\) est positif/négatif, et pareil pour \(B(x)\) (souvent avec les règles des fonctions affines).
- Construire le tableau :
- Ligne 1 : Les valeurs de \(x\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\), avec les « zéros » trouvés).
- Ligne 2 : Le signe de \(A(x)\).
- Ligne 3 : Le signe de \(B(x)\).
- Ligne 4 : Le signe du produit \(A(x)B(x)\) (en utilisant la règle des signes : \(+\times+ = +\), \(-\times- = +\), \(+\times- = -\)).
- Conclure : Lire sur la dernière ligne les intervalles où le signe correspond à l’inéquation de départ (> 0 ici).
Pour un quotient \(\frac{A(x)}{B(x)}\) : C’est la même chose, MAIS il faut indiquer les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur \(B(x)\)) avec une double barre dans le tableau.
Résoudre l’inéquation \( (2x – 6)( -x + 1 ) \ge 0 \).
1. Zéros : \(2x-6=0 \Rightarrow x=3\) ; \(-x+1=0 \Rightarrow x=1\).
2. Signe de \(A(x)=2x-6\) : C’est une fonction affine croissante (m=2 > 0). Elle est négative avant 3, positive après 3.
3. Signe de \(B(x)=-x+1\) : C’est une fonction affine décroissante (m=-1 < 0). Elle est positive avant 1, négative après 1.
4. Tableau :
| \(x\) | \(-\infty\) | 1 | 3 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(2x-6\) | – | – | 0 | + | |||
| Signe de \(-x+1\) | + | 0 | – | – | |||
| Signe du produit | – | 0 | + | 0 | – |
5. Conclusion : On cherche quand le produit est \(\ge 0\). La dernière ligne est « + » ou « 0 » entre 1 et 3.
Solution : \(S = [1, 3]\).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
- Exercice 1 (Appartenance) : Soit \(f(x) = \frac{1}{x-2}\). Le point \(A(3, 1)\) appartient-il à \(C_f\) ? Le point \(B(1, -1)\) ?
- Exercice 2 (Parité) : Étudier la parité de la fonction \(g(x) = \frac{x^3}{x^2+1}\).
-
Exercice 3 (Résolution graphique) : On donne la courbe d’une fonction \(h\). Résoudre graphiquement :
a) \(h(x) = 1\)
b) \(h(x) \le -1\)
(Imagine une courbe qui coupe y=1 en x=-2 et x=3, et qui est sous y=-1 pour x entre 0 et 2). - Exercice 4 (Tableau de signes) : Résoudre l’inéquation \(\frac{x+2}{4-x} > 0\).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Appartenance)
Pour A(3, 1) :
Calculons \(f(x_A) = f(3) = \frac{1}{3-2} = \frac{1}{1} = 1\).
On trouve \(f(3) = 1\), ce qui est bien égal à \(y_A\).
Oui, \(A \in C_f\).
Pour B(1, -1) :
Calculons \(f(x_B) = f(1) = \frac{1}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1\).
On trouve \(f(1) = -1\), ce qui est bien égal à \(y_B\).
Oui, \(B \in C_f\).
Correction Exercice 2 (Parité)
Soit \(g(x) = \frac{x^3}{x^2+1}\).
1. Ensemble de définition : Le dénominateur \(x^2+1\) ne s’annule jamais (car \(x^2 \ge 0\)). Donc \(D_g = \mathbb{R}\). L’ensemble est bien symétrique par rapport à 0.
2. Calcul de \(g(-x)\) :
\(g(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}\)
\(g(-x) = \frac{-x^3}{x^2+1}\) (car \((-x)^3 = -x^3\) et \((-x)^2 = x^2\))
\(g(-x) = – \left( \frac{x^3}{x^2+1} \right)\)
\(g(-x) = -g(x)\)
Conclusion : Puisque \(g(-x) = -g(x)\), la fonction \(g\) est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Correction Exercice 3 (Résolution graphique)
On imagine la courbe décrite.
a) Résoudre \(h(x) = 1\) :
On cherche les abscisses des points d’intersection entre \(C_h\) et la droite \(y=1\).
D’après l’énoncé, ces abscisses sont -2 et 3.
Solution : \(S = \{-2, 3\}\)
b) Résoudre \(h(x) \le -1\) :
On cherche les abscisses des points de \(C_h\) qui sont sur ou en dessous de la droite \(y=-1\).
D’après l’énoncé, c’est le cas pour les \(x\) compris entre 0 et 2 (inclusivement).
Solution : \(S = [0, 2]\)
Correction Exercice 4 (Tableau de signes)
On veut résoudre \(\frac{x+2}{4-x} > 0\).
1. Zéros : \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\) ; \(4-x=0 \Rightarrow x=4\).
2. Valeur interdite : Le dénominateur s’annule pour \(x=4\). C’est la valeur interdite.
3. Signe de \(A(x)=x+2\) : Fonction affine croissante (m=1 > 0). Négative avant -2, positive après -2.
4. Signe de \(B(x)=4-x\) : Fonction affine décroissante (m=-1 < 0). Positive avant 4, négative après 4.
5. Tableau : (Ne pas oublier la double barre pour \(x=4\))
| \(x\) | \(-\infty\) | -2 | 4 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(x+2\) | – | 0 | + | + | |||
| Signe de \(4-x\) | + | + | 0 | – | |||
| Signe du quotient | – | 0 | + | – | |||
6. Conclusion : On cherche quand le quotient est \(> 0\) (strictement positif). La dernière ligne est « + » entre -2 et 4 (exclus car on veut > 0 et 4 est valeur interdite).
Solution : \(S = ]-2, 4[\)
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