Séries Numériques et Vectorielles
(Niveau : Prépa)
Séries Numériques et Vectorielles
Les séries sont l’outil fondamental pour passer du discret (les suites) au continu (sommes infinies). Ce chapitre est crucial car il fournit la boîte à outils nécessaire pour étudier plus tard les Séries de Fonctions et les Séries Entières.
Séries Vectorielles en dimension finie, Outils Asymptotiques (équivalents de sommes et restes), Comparaison Série-Intégrale, Règle de d’Alembert et Méthodologie.
1. Séries Vectorielles (Dimension Finie)
On travaille dans un Espace Vectoriel Normé $(E, ||\cdot||)$ de dimension finie.
1.1 Définitions Fondamentales
Soit $(u_n)$ une suite d’éléments de $E$. On appelle série de terme général $u_n$, notée $\sum u_n$, la suite des sommes partielles $(S_n)$ définie par :
$$ S_n = \sum_{k=0}^n u_k $$- La série converge si la suite $(S_n)$ converge vers une limite $S$ (la somme de la série).
- Le reste d’ordre $n$ est défini si la série converge : $R_n = S – S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$.
1.2 Convergence Absolue
Une série vectorielle $\sum u_n$ est dite absolument convergente si la série numérique réelle $\sum ||u_n||$ converge.
Dans un espace de dimension finie (donc complet), toute série absolument convergente est convergente. $$ \sum ||u_n|| < +\infty \implies \sum u_n \text{ converge} $$
2. Outils Asymptotiques (Séries Numériques)
C’est le cœur technique du chapitre : comment sommer des relations de comparaison ($\sim$, $o$, $O$).
2.1 Sommation des Relations de Comparaison
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives telles que $u_n \sim v_n$.
Si $\sum v_n$ diverge, alors $\sum u_n$ diverge et leurs sommes partielles sont équivalentes : $$ \sum_{k=0}^n u_k \sim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n v_k $$
Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge et leurs restes sont équivalents : $$ \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k \sim_{n\to\infty} \sum_{k=n+1}^{+\infty} v_k $$
- Si ça diverge, la somme partiel tend vers l’infini $\to$ équivalence des sommes.
- Si ça converge, le reste tend vers 0 (c’est petit) $\to$ équivalence des restes.
2.2 Comparaison Série-Intégrale
Soit $f$ une fonction continue, positive et décroissante sur $[0, +\infty[$. On pose $u_n = f(n)$. Alors la série $\sum f(n)$ et l’intégrale $\int_0^{+\infty} f(t)dt$ sont de même nature.
Encadrement fondamental :
$$ \int_{n}^{n+1} f(t)dt \le u_n \le \int_{n-1}^{n} f(t)dt $$3. Critères de Convergence Spécifiques
3.1 Règle de d’Alembert
Pour une série à termes strictement positifs, si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to l$ :
- Si $l < 1$ : La série converge (vitesse géométrique).
- Si $l > 1$ : La série diverge grossièrement.
- Si $l = 1$ : Cas douteux, on ne peut rien conclure (il faut utiliser Riemann ou un DL).
3.2 Théorème de Cesàro
Si une suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors la suite des moyennes arithmétiques converge aussi vers $l$ :
$$ \frac{u_0 + \dots + u_n}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{} l $$4. Méthodologie « Maths Spé »
Face à une série $\sum u_n$, voici l’algorithme à suivre :
- Le Réflexe n°1 : Vérifier si $u_n \to 0$. Si non $\to$ Divergence grossière.
- Si $u_n$ est de signe constant (positif) :
- Chercher un équivalent simple $u_n \sim \frac{C}{n^\alpha}$. Conclure par la règle de Riemann.
- Si factorielles ($n!$) ou puissances $n$-ièmes : Tenter d’Alembert.
- Si $u_n = f(n)$ monotone : Comparaison Série-Intégrale.
- Si $u_n$ est de signe quelconque :
- Tester la Convergence Absolue ($\sum |u_n|$).
- Si c’est une série alternée $\sum (-1)^n a_n$ : Penser au Critère Spécial (CSSA).
- Sinon : Faire un Développement Asymptotique (DL en $1/n$) pour séparer le terme convergent du terme divergent.