FICHE DE RÉVISION – Statistiques et pourcentages
(Niveau : Seconde)
Statistiques Descriptives et Pourcentages
Maîtriser les pourcentages, les évolutions et les indicateurs clés pour analyser des données chiffrées.
Partie 1 : Proportions et Pourcentages
On utilise les pourcentages pour exprimer une proportion (la part d’un sous-ensemble dans un ensemble) ou une évolution (une augmentation ou une diminution).
1. Pourcentage de Proportion
Une proportion \(p\) d’une sous-population A dans une population totale E (avec effectifs \(N_A\) et \(N_E\)) est : $$ p = \frac{\text{Effectif de A}}{\text{Effectif Total}} = \frac{N_A}{N_E} $$ Le pourcentage correspondant est \( T = p \times 100 \). (%)
Dans une classe de 30 élèves (\(N_E=30\)), il y a 12 filles (\(N_A=12\)).
La proportion de filles est \( p = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0,4 \).
Le pourcentage de filles est \( T = 0,4 \times 100 = 40\% \).
2. Pourcentage de Pourcentage
C’est prendre une proportion d’une proportion déjà existante.
Prendre \(t_1 \%\) de \(t_2 \%\) d’une quantité revient à calculer : $$ \left( \frac{t_1}{100} \times \frac{t_2}{100} \right) \times \text{Quantité Totale} $$ Le pourcentage global est \( \frac{t_1 \times t_2}{100} \% \).
Dans la classe de 30 élèves, 40% sont des filles. Parmi ces filles, 25% font de l’espagnol. Quel pourcentage de la classe totale représentent les filles faisant de l’espagnol ?
On calcule \( 25\% \) de \( 40\% \).
Proportion : \( \frac{25}{100} \times \frac{40}{100} = 0,25 \times 0,4 = 0,1 \).
Pourcentage : \( 0,1 \times 100 = 10\% \).
Il y a 10% de filles espagnoles dans la classe totale (soit \(0,1 \times 30 = 3\) élèves).
Partie 2 : Pourcentages d’Évolution
Ici, on compare une valeur finale \(V_f\) par rapport à une valeur initiale \(V_i\).
1. Variation Absolue et Relative
Variation Absolue : C’est la simple différence. $$ \Delta V = V_f – V_i $$ Variation Relative (ou Taux d’évolution) : C’est la variation absolue divisée par la valeur de départ. $$ t = \frac{V_f – V_i}{V_i} $$ Le pourcentage d’évolution est \( T = t \times 100 \) (%).
Un prix passe de \(V_i = 50€\) à \(V_f = 60€\).
Variation Absolue : \( \Delta V = 60 – 50 = 10€ \) (augmentation de 10€).
Taux d’évolution : \( t = \frac{60 – 50}{50} = \frac{10}{50} = 0,2 \).
Pourcentage d’évolution : \( T = 0,2 \times 100 = +20\% \) (augmentation de 20%).
2. Coefficient Multiplicateur (CM)
C’est l’outil le plus puissant pour travailler avec les évolutions.
Le Coefficient Multiplicateur (CM) permet de passer directement de la valeur initiale à la valeur finale : $$ V_f = CM \times V_i \quad \text{donc} \quad CM = \frac{V_f}{V_i} $$ Le lien avec le taux d’évolution \(t\) est : $$ CM = 1 + t $$ (Si \(t\) est en pourcentage \(T\%\), alors \( CM = 1 + \frac{T}{100} \))
Augmenter de 20% : \( T = +20 \), \( t = +0,2 \). Le CM est \( 1 + 0,2 = 1,2 \).
\( V_f = 1,2 \times V_i \). (Ex: \(1,2 \times 50€ = 60€\)).
Diminuer de 30% : \( T = -30 \), \( t = -0,3 \). Le CM est \( 1 – 0,3 = 0,7 \).
\( V_f = 0,7 \times V_i \). (Ex: \(0,7 \times 100€ = 70€\)).
3. Évolutions Successives
Appliquer plusieurs évolutions successives revient à multiplier les Coefficients Multiplicateurs correspondants.
Si on a deux évolutions \(t_1\) et \(t_2\), le CM global est \( CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \).
Le taux d’évolution global \(t_{global}\) est alors \( t_{global} = CM_{global} – 1 \).
Un prix augmente de 20% puis diminue de 30%. Quel est le taux global ?
\(CM_1 = 1 + 0,2 = 1,2\).
\(CM_2 = 1 – 0,3 = 0,7\).
\(CM_{global} = 1,2 \times 0,7 = 0,84\).
\(t_{global} = 0,84 – 1 = -0,16\).
Le prix a diminué globalement de 16%.
Dans l’exemple ci-dessus, \(+20\% + (-30\%) = -10\%\). Mais le vrai résultat est -16%. L’addition ne marche pas car la base de calcul change après la première évolution. Passe TOUJOURS par les CM.
4. Évolution Réciproque
L’évolution réciproque est celle qu’il faut appliquer pour annuler une première évolution et revenir à la valeur initiale.
Le Coefficient Multiplicateur réciproque \(CM_{recip}\) est l’inverse du CM initial : $$ CM_{recip} = \frac{1}{CM_{initial}} $$ Le taux d’évolution réciproque \(t_{recip}\) est alors \( t_{recip} = CM_{recip} – 1 \).
Après une augmentation de 20% (\(CM = 1,2\)), quelle diminution faut-il appliquer pour revenir au prix initial ?
\(CM_{recip} = \frac{1}{1,2} \approx 0,8333\).
\(t_{recip} = 0,8333 – 1 = -0,1667\).
Il faut appliquer une diminution d’environ 16,67%. (Et non pas -20% !)
– Augmentation de T% \(\Rightarrow\) CM = \(1 + T/100\)
– Diminution de T% \(\Rightarrow\) CM = \(1 – T/100\)
– Plusieurs évolutions \(\Rightarrow\) Multiplier les CM.
– Revenir en arrière \(\Rightarrow\) Prendre l’inverse du CM.
Avec ça, tu ne peux pas te tromper !
Partie 3 : Statistiques Descriptives
On analyse ici une série de données (notes, tailles, salaires…).
1. Indicateurs de Tendance Centrale
Ils donnent une idée du « centre » de la série.
Moyenne (\(\bar{x}\)) : Somme des valeurs divisée par l’effectif total.
Moyenne Pondérée : Si les valeurs \(x_i\) ont des poids (coefficients ou effectifs) \(n_i\), la moyenne est : $$ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + … + n_p x_p}{n_1 + n_2 + … + n_p} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} $$
Médiane (Me) : La valeur qui partage la série (ordonnée !) en deux groupes de même effectif.
Notes : 10 (coeff 2), 12 (coeff 3), 8 (coeff 1). Effectif total = 2+3+1 = 6.
Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{(2 \times 10) + (3 \times 12) + (1 \times 8)}{6} = \frac{20 + 36 + 8}{6} = \frac{64}{6} \approx 10,67\).
2. Indicateurs de Dispersion
Ils mesurent à quel point les données sont « étalées » autour du centre.
Étendue : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\) :
\(Q_1\) (Premier quartile) : La plus petite valeur telle qu’au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales.
\(Q_3\) (Troisième quartile) : La plus petite valeur telle qu’au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales.
Écart Interquartile : Mesure l’étendue des 50% de valeurs « centrales ». $$ \text{Écart Interquartile} = Q_3 – Q_1 $$
Écart Type (\(\sigma\)) : Mesure l’écart moyen des valeurs par rapport à la moyenne. (Se calcule généralement à la calculatrice).
Série de notes ordonnée : 5, 8, 10, 12, 14, 15, 18. (N=7)
Étendue = 18 – 5 = 13.
Médiane : La 4ème valeur = 12.
\(Q_1\) : \(0,25 \times 7 = 1,75\). On prend la 2ème valeur = 8.
\(Q_3\) : \(0,75 \times 7 = 5,25\). On prend la 6ème valeur = 15.
Écart Interquartile = \(15 – 8 = 7\).
Partie 4 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Proportions) : Dans un lycée de 1200 élèves, 60% sont des filles. Parmi les filles, 15% sont en Seconde.
a) Combien y a-t-il de filles dans le lycée ?
b) Combien y a-t-il de filles de Seconde ?
c) Quel pourcentage de l’effectif total représentent les filles de Seconde ? -
Exercice 2 (Évolutions) : Le prix d’un article augmente de 10% puis baisse de 10%.
a) Calculer le Coefficient Multiplicateur global.
b) En déduire le taux d’évolution global en pourcentage.
c) Quelle évolution unique aurait permis de revenir au prix initial après la hausse de 10% ? -
Exercice 3 (Statistiques) : Voici les notes d’un élève : 12, 8, 15, 10, 12, 13.
a) Calculer la moyenne.
b) Déterminer la médiane.
c) Déterminer \(Q_1\) et \(Q_3\).
d) Calculer l’écart interquartile.
Partie 5 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Proportions)
a) Nombre de filles :
Calculer 60% de 1200 : \(0,60 \times 1200 = 720\).
Il y a 720 filles.
b) Nombre de filles de Seconde :
Calculer 15% des 720 filles : \(0,15 \times 720 = 108\).
Il y a 108 filles de Seconde.
c) Pourcentage des filles de Seconde dans le total :
Proportion : \(\frac{\text{Filles de Seconde}}{\text{Total élèves}} = \frac{108}{1200} = 0,09\).
Pourcentage : \(0,09 \times 100 = 9\%\).
Les filles de Seconde représentent 9% de l’effectif total.
(Autre méthode : pourcentage de pourcentage. \(15\% \text{ de } 60\% = (0,15 \times 0,60) \times 100 = 0,09 \times 100 = 9\%\)).
Correction Exercice 2 (Évolutions)
a) Coefficient Multiplicateur global :
Hausse de 10% : \(CM_1 = 1 + \frac{10}{100} = 1,1\).
Baisse de 10% : \(CM_2 = 1 – \frac{10}{100} = 0,9\).
CM global = \(CM_1 \times CM_2 = 1,1 \times 0,9 = 0,99\).
Le CM global est 0,99.
b) Taux d’évolution global :
\(t_{global} = CM_{global} – 1 = 0,99 – 1 = -0,01\).
Pourcentage : \(-0,01 \times 100 = -1\%\).
L’évolution globale est une baisse de 1%.
c) Évolution réciproque après la hausse de 10% (\(CM_1=1,1\)) :
\(CM_{recip} = \frac{1}{CM_1} = \frac{1}{1,1} \approx 0,90909…\)
\(t_{recip} = CM_{recip} – 1 \approx 0,90909 – 1 = -0,09090…\)
Pourcentage : \(-0,09090 \times 100 \approx -9,09\%\).
Il aurait fallu appliquer une baisse d’environ 9,09% pour revenir au prix initial.
Correction Exercice 3 (Statistiques)
Série : 12, 8, 15, 10, 12, 13. Effectif total \(N=6\).
0. Ordonner la série : 8, 10, 12, 12, 13, 15.
a) Moyenne :
\(\bar{x} = \frac{8+10+12+12+13+15}{6} = \frac{70}{6} \approx 11,67\).
b) Médiane :
L’effectif \(N=6\) est pair. La médiane est la moyenne entre la \(N/2 = 3\)-ème et la \((N/2)+1 = 4\)-ème valeur.
3ème valeur = 12. 4ème valeur = 12.
Médiane \(Me = \frac{12+12}{2} = 12\).
c) Quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\) :
\(Q_1\) : \(0,25 \times N = 0,25 \times 6 = 1,5\). On prend la 2ème valeur. \(Q_1 = 10\).
\(Q_3\) : \(0,75 \times N = 0,75 \times 6 = 4,5\). On prend la 5ème valeur. \(Q_3 = 13\).
d) Écart Interquartile :
\(Q_3 – Q_1 = 13 – 10 = 3\).
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