FICHE DE RÉVISION – Suites Numériques
(Niveau : Première)
Suites Numériques (Modèles Discrets)
Comprendre comment décrire des évolutions « pas à pas » : suites arithmétiques, géométriques, variations et introduction aux limites.
Partie 1 : Définir une Suite Numérique
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes de la suite. Chaque terme a un rang (sa position dans la liste), généralement un entier naturel \(n\).
Notations :
- La suite entière est notée \((u_n)\) ou \((u(n))\).
- Le terme de rang \(n\) (le \(n\)-ième nombre de la liste, en commençant souvent à \(n=0\) ou \(n=1\)) est noté \(u_n\) ou \(u(n)\).
- \(u_0\) est le premier terme, \(u_1\) le deuxième, etc.
Modes de génération (Comment définir la suite) :
- Formule Explicite : On donne une formule qui calcule \(u_n\) directement en fonction de \(n\).
\( u_n = f(n) \) - Relation de Récurrence : On donne le premier terme (ex: \(u_0\)) et une formule qui calcule le terme suivant \(u_{n+1}\) à partir du terme précédent \(u_n\).
\( u_{n+1} = f(u_n) \) - Algorithme : Un programme qui calcule les termes.
- Motifs : Description géométrique ou logique (ex: nombre de points dans une figure qui grandit).
Suite définie explicitement : \(u_n = 2n + 3\) pour \(n \ge 0\).
\(u_0 = 2(0)+3 = 3\), \(u_1 = 2(1)+3 = 5\), \(u_2 = 2(2)+3 = 7\)… (On peut calculer n’importe quel terme directement).
Suite définie par récurrence : \(v_0 = 4\) et \(v_{n+1} = 2v_n – 1\) pour \(n \ge 0\).
\(v_1 = 2v_0 – 1 = 2(4)-1 = 7\)
\(v_2 = 2v_1 – 1 = 2(7)-1 = 13\)
\(v_3 = 2v_2 – 1 = 2(13)-1 = 25\)… (On doit calculer les termes les uns après les autres).
Partie 2 : Suites Arithmétiques (SA)
Ce sont les suites où on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.
Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un nombre réel \(r\) (appelé la raison) tel que, pour tout entier \(n\) : $$ u_{n+1} = u_n + r $$ (Autrement dit : \(u_{n+1} – u_n = r\))
La suite 3, 5, 7, 9… est arithmétique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(r = 2\).
Terme Général (Formule Explicite)
Si \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r\), alors pour tout \(n \ge 0\) : $$ u_n = u_0 + n \times r $$ Et plus généralement, pour tous entiers \(n\) et \(p\) : $$ u_n = u_p + (n – p) \times r $$
Démonstration (Terme général à partir de \(u_0\))
On part de la définition : \(u_{n+1} = u_n + r\).
\(u_1 = u_0 + r\)
\(u_2 = u_1 + r = (u_0 + r) + r = u_0 + 2r\)
\(u_3 = u_2 + r = (u_0 + 2r) + r = u_0 + 3r\)
…
On conjecture que \(u_n = u_0 + nr\). (On peut le prouver rigoureusement par récurrence, mais l’intuition suffit ici).
Soit \((u_n)\) une SA de raison \(r=5\) et \(u_3 = 12\). Calculer \(u_{10}\).
On utilise \(u_n = u_p + (n-p)r\) avec \(n=10\) et \(p=3\).
\(u_{10} = u_3 + (10 – 3) \times 5 = 12 + 7 \times 5 = 12 + 35 = 47\).
Sens de Variation
Le sens de variation d’une suite arithmétique ne dépend que du signe de la raison \(r\) :
- Si \(r > 0\), la suite est strictement croissante.
- Si \(r < 0\), la suite est strictement décroissante.
- Si \(r = 0\), la suite est constante.
Somme des Termes
La somme des \(n+1\) premiers termes d’une SA (\(u_0 + u_1 + … + u_n\)) est : $$ S_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2} $$ Formule générale (Somme de termes consécutifs) : $$ \text{Somme} = (\text{Nombre de termes}) \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2} $$ Cas particulier : Somme des \(n\) premiers entiers : $$ 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2} $$
Démonstration (Somme \(1 + 2 + … + n\))
Soit \(S = 1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n\).
Écrivons la somme à l’envers :
\(S = n + (n-1) + … + 3 + 2 + 1\).
Additionnons les deux lignes, terme à terme :
\(S + S = (1+n) + (2 + n-1) + … + (n-1 + 2) + (n+1)\)
\(2S = (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1)\)
Combien de fois apparaît \((n+1)\) ? Il y a \(n\) termes dans la somme initiale, donc il apparaît \(n\) fois.
\(2S = n \times (n+1)\)
Donc \(S = \frac{n(n+1)}{2}\).
Partie 3 : Suites Géométriques (SG)
Ce sont les suites où on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.
Une suite \((v_n)\) est géométrique s’il existe un nombre réel \(q\) (appelé la raison) tel que, pour tout entier \(n\) : $$ v_{n+1} = v_n \times q $$ (Autrement dit, si \(v_n \neq 0\), \(\frac{v_{n+1}}{v_n} = q\))
La suite 2, 6, 18, 54… est géométrique de premier terme \(v_0 = 2\) et de raison \(q = 3\).
Terme Général (Formule Explicite)
Si \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\), alors pour tout \(n \ge 0\) : $$ v_n = v_0 \times q^n $$ Et plus généralement, pour tous entiers \(n\) et \(p\) : $$ v_n = v_p \times q^{n – p} $$
Démonstration (Terme général à partir de \(v_0\))
On part de la définition : \(v_{n+1} = v_n \times q\).
\(v_1 = v_0 \times q\)
\(v_2 = v_1 \times q = (v_0 \times q) \times q = v_0 \times q^2\)
\(v_3 = v_2 \times q = (v_0 \times q^2) \times q = v_0 \times q^3\)
…
On conjecture que \(v_n = v_0 \times q^n\).
Soit \((v_n)\) une SG de raison \(q=2\) et \(v_2 = 12\). Calculer \(v_5\).
On utilise \(v_n = v_p \times q^{n-p}\) avec \(n=5\) et \(p=2\).
\(v_5 = v_2 \times 2^{5 – 2} = 12 \times 2^3 = 12 \times 8 = 96\).
Sens de Variation (si \(v_0 > 0\))
Le sens de variation d’une suite géométrique (avec \(v_0 > 0\)) dépend de la valeur de la raison \(q\) :
- Si \(q > 1\), la suite est strictement croissante.
- Si \(q = 1\), la suite est constante.
- Si \(0 < q < 1\), la suite est strictement décroissante.
- Si \(q \le 0\), la suite n’est pas monotone (elle alterne les signes ou est nulle).
Somme des Termes
La somme des \(n+1\) premiers termes d’une SG (\(v_0 + v_1 + … + v_n\)) est :
Si \(q = 1\) : \(S_n = (n+1) \times v_0\) (suite constante)
Si \(q \neq 1\) : $$ S_n = v_0 \times \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q} $$ Cas particulier : Somme des puissances de \(q\) : $$ 1 + q + q^2 + … + q^n = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q} $$
Démonstration (Somme \(1 + q + … + q^n\))
Soit \(S = 1 + q + q^2 + … + q^n\).
Multiplions cette somme par \(q\) :
\(qS = q(1 + q + … + q^n) = q + q^2 + q^3 + … + q^{n+1}\).
Calculons la différence \(S – qS\) :
\(S – qS = (1 + q + … + q^n) – (q + q^2 + … + q^{n+1})\)
La plupart des termes s’annulent ! Il reste :
\(S – qS = 1 – q^{n+1}\)
Factorisons S : \(S(1 – q) = 1 – q^{n+1}\).
Si \(q \neq 1\), on peut diviser par \((1-q)\) :
\(S = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\).
Partie 4 : Variation et Introduction aux Limites
1. Étudier le Sens de Variation
Pour une suite quelconque \((u_n)\), comment savoir si elle est croissante ou décroissante ?
Méthode 1 : Signe de la différence \(u_{n+1} – u_n\)
- Si \(u_{n+1} – u_n \ge 0\) pour tout \(n\), la suite est croissante.
- Si \(u_{n+1} – u_n \le 0\) pour tout \(n\), la suite est décroissante.
Méthode 2 (Si tous les termes sont > 0) : Comparaison du quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1
- Si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1\) pour tout \(n\), la suite est strictement croissante.
- Si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1\) pour tout \(n\), la suite est strictement décroissante.
- Si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1\) pour tout \(n\), la suite est constante.
Méthode 3 (Si \(u_n = f(n)\)) : Étudier les variations de la fonction \(f\) associée sur \([0, +\infty[\).
Soit \(u_n = \frac{n}{n+1}\) pour \(n \ge 1\).
\(u_{n+1} – u_n = \frac{n+1}{n+2} – \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 – n(n+2)}{(n+2)(n+1)}\)
\( = \frac{(n^2+2n+1) – (n^2+2n)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} \).
Comme \(n \ge 1\), le dénominateur est positif. Donc \(u_{n+1} – u_n > 0\). La suite est croissante.
2. Notion Intuitive de Limite
La limite d’une suite, c’est le comportement de ses termes \(u_n\) lorsque \(n\) devient infiniment grand (\(n \to +\infty\)).
On observe sur des exemples :
- Certaines suites se rapprochent d’un nombre fini L (ex: \(u_n = 1/n\) tend vers 0). On dit qu’elle converge vers L.
- Certaines suites deviennent infiniment grandes (ex: \(u_n = n^2\) tend vers \(+\infty\)). On dit qu’elle diverge vers \(+\infty\).
- Certaines suites deviennent infiniment petites (négatives) (ex: \(u_n = -n\) tend vers \(-\infty\)). On dit qu’elle diverge vers \(-\infty\).
- Certaines suites n’ont pas de limite (ex: \(u_n = (-1)^n\) qui oscille entre -1 et 1).
Comportement des suites géométriques \(u_n = q^n\) :
Si \(|q| < 1\) (c'est-à-dire \(-1 < q < 1\)), alors \(q^n\) tend vers 0.
Si \(q > 1\), alors \(q^n\) tend vers \(+\infty\).
Si \(q = 1\), la suite est constante égale à 1.
Si \(q \le -1\), la suite n’a pas de limite.
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Suite Arithmétique) : Soit \((u_n)\) une SA telle que \(u_5 = 10\) et \(u_9 = 22\).
a) Calculer la raison \(r\).
b) Calculer \(u_0\).
c) Calculer la somme \(S = u_5 + u_6 + … + u_{20}\). -
Exercice 2 (Suite Géométrique) : Un capital de 5000€ est placé à un taux annuel de 3% (intérêts composés). On note \(C_n\) le capital après \(n\) années.
a) Exprimer \(C_{n+1}\) en fonction de \(C_n\). Quelle est la nature de la suite \((C_n)\) ? Préciser sa raison et son premier terme \(C_0\).
b) Donner la formule explicite de \(C_n\).
c) Calculer le capital après 10 ans (arrondir au centime). - Exercice 3 (Variation) : Étudier le sens de variation de la suite \(w_n = \frac{2^n}{n+1}\) pour \(n \ge 1\).
-
Exercice 4 (Limite) : Conjecturer la limite (si elle existe) des suites suivantes :
a) \(a_n = 5 – \frac{1}{n^2}\)
b) \(b_n = 3 \times (1.1)^n\)
c) \(c_n = (-0.8)^n\)
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Suite Arithmétique)
a) Calcul de la raison \(r\) :
On utilise la formule \(u_n = u_p + (n-p)r\) avec \(n=9, p=5\).
\(u_9 = u_5 + (9-5)r\)
\(22 = 10 + 4r\)
\(12 = 4r\)
\(r = 12 / 4 = 3\).
La raison est \(r=3\).
b) Calcul de \(u_0\) :
On utilise \(u_n = u_0 + nr\). Prenons \(n=5\).
\(u_5 = u_0 + 5r\)
\(10 = u_0 + 5(3)\)
\(10 = u_0 + 15\)
\(u_0 = 10 – 15 = -5\).
Le premier terme est \(u_0 = -5\).
c) Calcul de la somme \(S = u_5 + … + u_{20}\) :
Formule : \( \text{Somme} = (\text{Nb termes}) \times \frac{\text{Premier} + \text{Dernier}}{2} \)
– Nombre de termes : De 5 à 20 inclus, il y a \(20 – 5 + 1 = 16\) termes.
– Premier terme : \(u_5 = 10\).
– Dernier terme : \(u_{20} = u_5 + (20-5)r = 10 + 15 \times 3 = 10 + 45 = 55\).
Calcul de S : \(S = 16 \times \frac{10 + 55}{2} = 16 \times \frac{65}{2} = 8 \times 65 = 520\).
La somme est \(S = 520\).
Correction Exercice 2 (Suite Géométrique)
a) Relation de récurrence et nature :
Un taux annuel de 3% signifie une augmentation de 3%.
Le coefficient multiplicateur associé est \(CM = 1 + \frac{3}{100} = 1,03\).
Pour passer du capital de l’année \(n\) (\(C_n\)) à celui de l’année \(n+1\) (\(C_{n+1}\)), on multiplie par le CM :
\(C_{n+1} = 1,03 \times C_n\).
C’est la définition d’une suite géométrique de raison \(q = 1,03\).
Le capital initial (après 0 année) est \(C_0 = 5000\).
b) Formule explicite :
Pour une SG, \(v_n = v_0 \times q^n\).
Donc, \(C_n = 5000 \times (1,03)^n\).
c) Capital après 10 ans :
On calcule \(C_{10}\) :
\(C_{10} = 5000 \times (1,03)^{10}\)
À la calculatrice : \(C_{10} \approx 5000 \times 1,343916… \approx 6719,58\).
Le capital après 10 ans est d’environ 6719,58€.
Correction Exercice 3 (Variation)
Soit \(w_n = \frac{2^n}{n+1}\) pour \(n \ge 1\). Tous les termes sont positifs.
On utilise la méthode du quotient \(\frac{w_{n+1}}{w_n}\).
1. Expression de \(w_{n+1}\) : On remplace \(n\) par \((n+1)\).
\(w_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)+1} = \frac{2^{n+1}}{n+2}\).
2. Calcul du quotient :
\(\frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{ \frac{2^{n+1}}{n+2} }{ \frac{2^n}{n+1} } = \frac{2^{n+1}}{n+2} \times \frac{n+1}{2^n}\) (diviser par une fraction = multiplier par l’inverse)
3. Simplification : \(2^{n+1} = 2 \times 2^n\). Donc \(\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2\).
\(\frac{w_{n+1}}{w_n} = 2 \times \frac{n+1}{n+2} = \frac{2(n+1)}{n+2} = \frac{2n+2}{n+2}\).
4. Comparaison à 1 : On étudie \(\frac{w_{n+1}}{w_n} – 1\).
\(\frac{2n+2}{n+2} – 1 = \frac{2n+2 – (n+2)}{n+2} = \frac{2n+2 – n – 2}{n+2} = \frac{n}{n+2}\).
5. Signe : Comme \(n \ge 1\), \(n\) est positif et \(n+2\) est positif. Donc \(\frac{n}{n+2} > 0\).
Cela signifie que \(\frac{w_{n+1}}{w_n} – 1 > 0\), donc \(\frac{w_{n+1}}{w_n} > 1\).
Conclusion : La suite \((w_n)\) est strictement croissante pour \(n \ge 1\).
Correction Exercice 4 (Limite)
a) \(a_n = 5 – \frac{1}{n^2}\) :
Quand \(n \to +\infty\), \(n^2 \to +\infty\).
Donc \(\frac{1}{n^2} \to 0\).
Par conséquent, \(a_n \to 5 – 0 = 5\).
Limite = 5.
b) \(b_n = 3 \times (1.1)^n\) :
C’est une suite géométrique de raison \(q = 1.1\).
Comme \(q > 1\), \((1.1)^n \to +\infty\).
Multiplié par 3 (positif), ça reste \(+\infty\).
Limite = \(+\infty\).
c) \(c_n = (-0.8)^n\) :
C’est une suite géométrique de raison \(q = -0.8\).
Comme \(|q| < 1\) (car \(-1 < -0.8 < 1\)), \(q^n \to 0\).
Limite = 0.
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