FICHE DE RÉVISION – Variables Aléatoires réelles
(Niveau : Première)
Variables Aléatoires Réelles
Associer des nombres aux issues du hasard : loi de probabilité, espérance, variance et écart type.
Partie 1 : Qu’est-ce qu’une Variable Aléatoire ?
Souvent, ce qui nous intéresse dans une expérience aléatoire, ce n’est pas l’issue elle-même, mais un nombre associé à cette issue (ex: le gain à un jeu, le nombre de Piles obtenues…).
Une variable aléatoire réelle \(X\) est une fonction définie sur l’univers \(\Omega\) d’une expérience aléatoire, et qui associe un nombre réel à chaque issue \(\omega\) de \(\Omega\).
\( X : \Omega \to \mathbb{R} \)
\( \omega \mapsto X(\omega) \)
L’ensemble des valeurs possibles prises par la variable aléatoire \(X\) est noté \(X(\Omega)\).
Expérience : On lance deux fois une pièce de monnaie. \(\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}\).
Variable aléatoire \(X\) : « Nombre de Piles obtenus ».
– Si l’issue est PP, \(X(PP) = 2\).
– Si l’issue est PF, \(X(PF) = 1\).
– Si l’issue est FP, \(X(FP) = 1\).
– Si l’issue est FF, \(X(FF) = 0\).
L’ensemble des valeurs possibles pour \(X\) est \(X(\Omega) = \{0, 1, 2\}\).
Notations d’Événements
On utilise des notations spécifiques pour décrire les événements liés à une variable aléatoire \(X\) :
- L’événement \(\{X = a\}\) est l’ensemble de toutes les issues \(\omega\) de \(\Omega\) pour lesquelles \(X(\omega) = a\).
- L’événement \(\{X \le a\}\) est l’ensemble de toutes les issues \(\omega\) de \(\Omega\) pour lesquelles \(X(\omega) \le a\).
- On note \(P(X=a)\) la probabilité de l’événement \(\{X=a\}\).
- On note \(P(X \le a)\) la probabilité de l’événement \(\{X \le a\}\).
Avec \(X\) = « Nombre de Piles » (valeurs possibles 0, 1, 2) :
– L’événement \(\{X=1\}\) est l’ensemble \{PF, FP\}.
– L’événement \(\{X \le 1\}\) est l’ensemble \{PF, FP, FF\}.
Si la pièce est équilibrée (chaque issue a une proba 1/4) :
– \(P(X=1) = P(\{PF, FP\}) = P(PF) + P(FP) = 1/4 + 1/4 = 1/2\).
– \(P(X \le 1) = P(\{PF, FP, FF\}) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4\).
Partie 2 : Loi de Probabilité d’une Variable Aléatoire
Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\), c’est donner la probabilité \(P(X=x_i)\) pour chaque valeur possible \(x_i\) prise par \(X\).
On présente souvent la loi de probabilité sous forme d’un tableau :
| Valeurs \(x_i\) prises par X | \(x_1\) | \(x_2\) | … | \(x_n\) | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité \(P(X=x_i)\) | \(p_1\) | \(p_2\) | … | \(p_n\) | 1 |
La somme de toutes les probabilités \(p_1 + p_2 + … + p_n\) doit être égale à 1.
Loi de probabilité de \(X\) = « Nombre de Piles » en 2 lancers (pièce équilibrée) :
Valeurs possibles : 0, 1, 2.
Calculs :
\(P(X=0) = P(\{FF\}) = 1/4\).
\(P(X=1) = P(\{PF, FP\}) = 1/4 + 1/4 = 1/2\).
\(P(X=2) = P(\{PP\}) = 1/4\).
Vérification : \(1/4 + 1/2 + 1/4 = 1\). OK.
Tableau de la loi de X :
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | Total |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 1/4 | 1/2 | 1/4 | 1 |
1. Lister toutes les issues de l’univers \(\Omega\).
2. Pour chaque issue, calculer la valeur prise par \(X\).
3. Regrouper les issues qui donnent la même valeur à \(X\).
4. Pour chaque valeur \(x_i\) possible, additionner les probabilités des issues qui donnent cette valeur.
5. Vérifier que la somme des probabilités fait 1 !
Partie 3 : Espérance, Variance et Écart Type
Ce sont trois nombres qui résument les caractéristiques principales de la loi d’une variable aléatoire.
1. Espérance Mathématique \(E(X)\)
L’espérance de \(X\), notée \(E(X)\), est la valeur moyenne que l’on peut espérer obtenir pour \(X\) si on répète l’expérience un très grand nombre de fois.
C’est une moyenne pondérée des valeurs \(x_i\) par leurs probabilités \(p_i\). $$ E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) $$
Interprétation (Jeux) : Si \(X\) représente le gain (algébrique) à un jeu :
– Si \(E(X) > 0\), le jeu est favorable au joueur (en moyenne, il gagne).
– Si \(E(X) < 0\), le jeu est défavorable au joueur (en moyenne, il perd).
– Si \(E(X) = 0\), le jeu est équitable.
Calculons l’espérance de \(X\) = « Nombre de Piles » (Loi : 0 avec proba 1/4, 1 avec proba 1/2, 2 avec proba 1/4).
\(E(X) = (0 \times \frac{1}{4}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{4})\)
\(E(X) = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
En moyenne, sur un grand nombre de doubles lancers, on obtient 1 Pile. C’est logique !
Jeu : On lance un dé. Si on fait 6, on gagne 10€. Si on fait 1 ou 2, on perd 3€. Sinon, on ne gagne ni ne perd rien. Le jeu est-il équitable ?
Soit \(G\) la variable aléatoire « Gain ». Valeurs possibles : +10, -3, 0.
Loi de G :
\(P(G=10) = P(\text{Obtenir 6}) = 1/6\).
\(P(G=-3) = P(\text{Obtenir 1 ou 2}) = 2/6 = 1/3\).
\(P(G=0) = P(\text{Obtenir 3, 4 ou 5}) = 3/6 = 1/2\).
Espérance : \(E(G) = (10 \times \frac{1}{6}) + (-3 \times \frac{1}{3}) + (0 \times \frac{1}{2})\)
\(E(G) = \frac{10}{6} – 1 + 0 = \frac{5}{3} – \frac{3}{3} = \frac{2}{3}\).
Comme \(E(G) > 0\), le jeu est favorable au joueur (en moyenne, il gagne 2/3 € par partie).
2. Variance \(V(X)\) et Écart Type \(\sigma(X)\)
La variance de \(X\), notée \(V(X)\), mesure la dispersion des valeurs de \(X\) autour de l’espérance \(E(X)\). C’est la moyenne des carrés des écarts à l’espérance.
$$ V(X) = p_1(x_1 – E(X))^2 + p_2(x_2 – E(X))^2 + … + p_n(x_n – E(X))^2 = \sum_{i=1}^{n} p_i (x_i – E(X))^2 $$L’écart type de \(X\), noté \(\sigma(X)\), est la racine carrée de la variance. Il a la même unité que \(X\) et représente l' »écart moyen » par rapport à l’espérance.
$$ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} $$Une variance (ou un écart type) faible signifie que les valeurs sont concentrées autour de l’espérance. Une variance élevée signifie que les valeurs sont très dispersées.
Formule de König-Huygens (Approfondissement possible, pratique pour le calcul) :
\( V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \)
(La variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne).
Calculons la variance de \(X\) = « Nombre de Piles » (\(E(X)=1\)).
Valeurs : \(x_1=0, x_2=1, x_3=2\). Probas : \(p_1=1/4, p_2=1/2, p_3=1/4\).
\(V(X) = p_1(x_1 – E(X))^2 + p_2(x_2 – E(X))^2 + p_3(x_3 – E(X))^2\)
\(V(X) = \frac{1}{4}(0 – 1)^2 + \frac{1}{2}(1 – 1)^2 + \frac{1}{4}(2 – 1)^2\)
\(V(X) = \frac{1}{4}(-1)^2 + \frac{1}{2}(0)^2 + \frac{1}{4}(1)^2\)
\(V(X) = \frac{1}{4}(1) + 0 + \frac{1}{4}(1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
La variance est \(V(X) = 0,5\).
L’écart type est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0,5} \approx 0,707\).
Partie 4 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Loi et Espérance) : Une urne contient 2 boules vertes (V) et 3 boules rouges (R). On tire successivement deux boules avec remise. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.
a) Donner l’univers \(\Omega\).
b) Quelles sont les valeurs possibles pour \(X\) ?
c) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
d) Calculer l’espérance \(E(X)\). Interpréter. - Exercice 2 (Variance et Écart type) : Calculer la variance et l’écart type de la variable aléatoire \(X\) de l’exercice 1.
- Exercice 3 (Jeu équitable) : Un joueur lance une pièce. S’il obtient Pile, il gagne 3€. S’il obtient Face, il perd 2€. Quelle doit être la mise initiale (payée avant de jouer) pour que le jeu soit équitable ?
Partie 5 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Loi et Espérance)
Urne : 2V, 3R (Total 5). Tirage avec remise de 2 boules.
a) Univers : Les issues sont des couples (Tirage1, Tirage2).
\(\Omega = \{VV, VR, RV, RR\}\).
b) Valeurs de \(X\) (nombre de Vertes) :
Issue VV \(\Rightarrow X=2\).
Issues VR, RV \(\Rightarrow X=1\).
Issue RR \(\Rightarrow X=0\).
Valeurs possibles : \(X(\Omega) = \{0, 1, 2\}\).
c) Loi de probabilité de \(X\) :
Les tirages sont indépendants. \(P(V) = 2/5\), \(P(R) = 3/5\).
\(P(X=0) = P(RR) = P(R) \times P(R) = (3/5) \times (3/5) = 9/25\).
\(P(X=1) = P(\{VR, RV\}) = P(VR) + P(RV)\)
\(P(VR) = P(V) \times P(R) = (2/5) \times (3/5) = 6/25\).
\(P(RV) = P(R) \times P(V) = (3/5) \times (2/5) = 6/25\).
Donc \(P(X=1) = 6/25 + 6/25 = 12/25\).
\(P(X=2) = P(VV) = P(V) \times P(V) = (2/5) \times (2/5) = 4/25\).
Vérification : \(9/25 + 12/25 + 4/25 = 25/25 = 1\). OK.
Tableau de la loi :
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | Total |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 9/25 | 12/25 | 4/25 | 1 |
d) Espérance \(E(X)\) :
\(E(X) = (0 \times \frac{9}{25}) + (1 \times \frac{12}{25}) + (2 \times \frac{4}{25})\)
\(E(X) = 0 + \frac{12}{25} + \frac{8}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0,8\).
Interprétation : Si on répète un grand nombre de fois ce double tirage, on obtiendra en moyenne 0,8 boule verte par tirage.
Correction Exercice 2 (Variance et Écart type)
On utilise la loi de \(X\) de l’exercice 1 et \(E(X) = 0,8\).
Calcul de la variance \(V(X)\) :
\(V(X) = P(X=0)(0 – E(X))^2 + P(X=1)(1 – E(X))^2 + P(X=2)(2 – E(X))^2\)
\(V(X) = \frac{9}{25}(0 – 0,8)^2 + \frac{12}{25}(1 – 0,8)^2 + \frac{4}{25}(2 – 0,8)^2\)
\(V(X) = \frac{9}{25}(-0,8)^2 + \frac{12}{25}(0,2)^2 + \frac{4}{25}(1,2)^2\)
\(V(X) = \frac{9}{25}(0,64) + \frac{12}{25}(0,04) + \frac{4}{25}(1,44)\)
\(V(X) = \frac{1}{25} [ 9(0,64) + 12(0,04) + 4(1,44) ]\)
\(V(X) = \frac{1}{25} [ 5,76 + 0,48 + 5,76 ]\)
\(V(X) = \frac{12}{25} = 0,48\).
Calcul de l’écart type \(\sigma(X)\) :
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0,48} \approx 0,693\).
Correction Exercice 3 (Jeu équitable)
Soit \(G\) la variable aléatoire « Gain du joueur avant la mise ».
Loi de G :
Valeurs : +3 (si Pile), -2 (si Face).
Probas (pièce équilibrée) : \(P(G=3) = 1/2\), \(P(G=-2) = 1/2\).
Espérance de G (gain moyen avant mise) :
\(E(G) = (3 \times 1/2) + (-2 \times 1/2) = 3/2 – 2/2 = 1/2 = 0,5\).
En moyenne, le joueur gagne 0,5€ par partie (avant de payer la mise).
Pour que le jeu soit équitable, l’espérance du gain final (Gain – Mise) doit être nulle.
Soit \(M\) la mise. On veut \(E(G – M) = 0\).
Par linéarité de l’espérance, \(E(G – M) = E(G) – E(M)\). Comme \(M\) est une constante (la mise), \(E(M) = M\).
On veut donc \(E(G) – M = 0\), soit \(M = E(G)\).
Solution : Pour que le jeu soit équitable, la mise doit être égale à l’espérance de gain, soit 0,50€.
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