FICHE DE RÉVISION – Vocabulaire ensembliste et logique
(Niveau : Seconde)
Vocabulaire Ensembliste et Logique
Apprendre à « parler » mathématiques : la grammaire essentielle pour comprendre les énoncés et les raisonnements.
Partie 1 : Le Vocabulaire des Ensembles (Les « Sacs »)
Un ensemble est une collection, un « sac » qui contient des objets, appelés éléments. (Ex: l’ensemble \(\mathbb{N}\) contient l’élément 5).
1. Appartenance (un élément dans un sac)
On utilise le symbole \(\in\) (appartient à) ou \(\notin\) (n’appartient pas à) pour lier un élément à un ensemble.
\(5 \in \mathbb{N}\) (5 est un élément de l’ensemble des entiers naturels)
\(0,5 \notin \mathbb{Z}\) (0,5 n’est pas un élément de l’ensemble des entiers relatifs)
2. Inclusion (un sac dans un autre sac)
On utilise le symbole \(\subset\) (est inclus dans) ou \(\not\subset\) (n’est pas inclus dans) pour lier un ensemble à un autre ensemble.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) (L’ensemble \(\mathbb{N}\) est inclus dans l’ensemble \(\mathbb{Z}\))
\([1, 5] \subset [-2, 10]\)
\(\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q}\) (L’ensemble \(\mathbb{R}\) n’est pas inclus dans \(\mathbb{Q}\))
\(\in\) (Appartenance) : C’est la relation entre un invité et une fête. Ex: « Pierre \(\in\) Fête ».
\(\subset\) (Inclusion) : C’est la relation entre un groupe d’invités et la fête. Ex: « Les amis de Pierre \(\subset\) Fête ».
On écrit \(5 \in \mathbb{N}\), mais on écrit \(\{5\} \subset \mathbb{N}\) (l’ensemble qui contient 5 est inclus dans \(\mathbb{N}\)).
3. Intersection et Réunion (Opérations sur les sacs)
Intersection \(A \cap B\) (le « et ») :
C’est l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A ET dans B.
Si \(A = [1, 10]\) et \(B = [5, 12]\)
\(A \cap B = [5, 10]\) (la partie où les deux se superposent)
Réunion \(A \cup B\) (le « ou ») :
C’est l’ensemble des éléments qui sont dans A OU dans B (ou dans les deux).
Si \(A = [1, 10]\) et \(B = [5, 12]\)
\(A \cup B = [1, 12]\) (on prend tout, du plus petit début à la plus grande fin)
4. Complémentaire (Tout ce qui n’est pas dans le sac)
Le complémentaire d’un ensemble A (dans un ensemble de référence E), noté \(\bar{A}\), est l’ensemble de tous les éléments de E qui ne sont pas dans A.
Dans \(\mathbb{R}\), si \(A = [1, +\infty[\) (tous les nombres \(\ge 1\))
Alors \(\bar{A} = ]-\infty, 1[\) (tous les nombres \(< 1\))
5. Notion de Couple
Un couple, noté \((x, y)\), est une liste ordonnée de deux éléments. L’ordre est important !
C’est ce que tu utilises pour les coordonnées d’un point : le couple \((2, 3)\) n’est pas le même que le couple \((3, 2)\).
Partie 2 : Le Langage Logique
1. Proposition (Phrase mathématique)
Une proposition (ou « assertion ») est une phrase qui est soit Vraie, soit Fausse (mais pas les deux).
« \(5 > 2\) » est une proposition Vraie.
« \(1 + 1 = 3\) » est une proposition Fausse.
« \(x^2 = 4\) » est une proposition (elle dépend de la variable \(x\)).
2. Connecteurs « OU » et « ET »
Quand tu dis « fromage ou dessert », c’est l’un ou l’autre.
Quand un mathématicien dit « \(A\) ou \(B\) », cela signifie : \(A\) est Vrai, ou \(B\) est Vrai, ou les deux sont Vrais.
Ex: « \(x \le 5 \text{ ou } x \ge 3\) » est vrai pour \(x=4\) (car les deux sont vrais).
3. Quantificateurs (Pour tout, Il existe)
C’est la façon de préciser de *combien* de choses on parle. Les symboles \(\forall\) (pour tout) et \(\exists\) (il existe) sont hors programme, on doit donc les écrire en toutes lettres.
-
Quantificateur Universel (« Pour tout… ») :
Signifie que la proposition est vraie pour tous les éléments.
Ex: « Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(x^2 \ge 0\). » (Vrai) -
Quantificateur Existentiel (« Il existe… ») :
Signifie qu’il y a au moins un élément pour qui la proposition est vraie.
Ex: « Il existe un \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(x^2 = 4\). » (Vrai, car \(x=2\) et \(x=-2\) existent)
4. Négation (Le contraire)
La négation d’une proposition P, c’est la proposition « non P » (notée \(\bar{P}\) ou \(\neg P\)).
Négation de \(A = B\) \(\Rightarrow\) \(A \neq B\)
Négation de \(A < B\) \(\Rightarrow\) \(A \ge B\) (attention, ce n'est pas \(A > B\) !)
Négation de \(A > B\) \(\Rightarrow\) \(A \le B\)
La négation de « Pour tout… » est « Il existe au moins un… qui ne… ».
Ex: Négation de « Tous les élèves ont 20/20 » \(\rightarrow\) « Il existe au moins un élève qui n’a pas 20/20 ».
La négation de « Il existe… » est « Pour tout… ne… ».
Ex: Négation de « Il existe un élève qui triche » \(\rightarrow\) « Pour tout élève (donc aucun), cet élève ne triche pas ».
Partie 3 : Raisonnement et Démonstration
1. Implication (Si… Alors…)
Une implication est une phrase de la forme « Si P, alors Q » (notée \(P \Rightarrow Q\)).
P est l’hypothèse, Q est la conclusion.
\(P\): « Un triangle est rectangle. »
\(Q\): « Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
Implication \(P \Rightarrow Q\): « Si un triangle est rectangle, alors… » (Théorème de Pythagore – VRAI)
2. Réciproque
La réciproque de « Si P, alors Q » est la phrase « Si Q, alors P » (notée \(Q \Rightarrow P\)).
Réciproque de Pythagore : « Si le carré du plus grand côté est égal à la somme…, alors le triangle est rectangle. » (VRAI)
Implication : « Si \(x = 2\), alors \(x^2 = 4\). » (VRAI)
Réciproque : « Si \(x^2 = 4\), alors \(x = 2\). » (FAUX ! Car \(x\) pourrait être \(-2\).)
3. Équivalence (Si et seulement si)
Une équivalence (notée \(P \Leftrightarrow Q\)) signifie que l’implication ET sa réciproque sont toutes les deux vraies.
On dit « P si et seulement si Q ».
« \(2x + 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2\). »
(On peut aller dans les deux sens sans perdre d’information).
4. Contre-exemple
Pour prouver qu’une proposition universelle (« Pour tout… ») est fausse, il suffit de trouver un seul cas où elle ne marche pas. C’est un contre-exemple.
Proposition : « Pour tout nombre réel \(x\), \(x^2 > 0\). »
Cette proposition est FAUSSE.
Contre-exemple : \(x = 0\). Car \(0^2 = 0\), ce qui n’est pas \(> 0\).
Partie 4 : Types de Démonstration (Au Programme)
Ce sont deux stratégies de raisonnement clés que tu dois connaître.
Raisonnement par disjonction des cas :
Pour prouver qu’une propriété est vraie, on « casse » le problème en plusieurs cas qui couvrent toutes les possibilités, et on prouve la propriété pour chaque cas.
Prouver que \(n(n+1)\) est toujours pair (pour tout entier \(n\)).
On sépare le problème en deux cas (un entier est soit pair, soit impair) :
Cas 1 : \(n\) est pair. Alors \(n = 2k\).
\(n(n+1) = 2k(2k+1)\). C’est \(2 \times (\text{un entier})\), donc c’est pair.
Cas 2 : \(n\) est impair. Alors \(n = 2k+1\).
\(n+1 = (2k+1)+1 = 2k+2\).
\(n(n+1) = (2k+1)(2k+2)\). C’est un multiple de \((2k+2)\), qui est lui-même un multiple de 2. Donc c’est pair.
Conclusion : Puisque c’est vrai dans les deux seuls cas possibles, c’est toujours vrai.
Raisonnement par l’absurde :
Pour prouver que P est Vraie, on suppose que son contraire (non P) est Vrai. On fait des calculs logiques jusqu’à arriver à une contradiction évidente (ex: \(1=2\)).
Si on a une contradiction, c’est que notre hypothèse de départ (« non P ») était fausse. Donc P est Vraie.
C’est la méthode utilisée pour prouver que \(\sqrt{2}\) est irrationnel (voir la fiche précédente !).
On suppose que \(\sqrt{2}\) est rationnel, et on arrive à une contradiction (la fraction n’était pas irréductible).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
Appliquez ce que vous venez de voir.
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Exercice 1 (Ensembles) : Soient \(I = [-3, 5[\) et \(J = [2, 8]\).
a) Déterminer \(I \cap J\).
b) Déterminer \(I \cup J\). -
Exercice 2 (Négation) :
Donner la négation des propositions suivantes :
a) » \(x \le 10\) »
b) » \(x = 5\) ou \(x = 7\) »
c) » Pour tout élève, le travail est fait. » -
Exercice 3 (Implication et Contre-exemple) :
Soit P la proposition : « Si un nombre est un multiple de 4, alors il est pair. »
a) Cette implication est-elle vraie ?
b) Écrire sa réciproque.
c) La réciproque est-elle vraie ? Si non, donner un contre-exemple.
Partie 6 : Corrections Détaillées
Cliquez sur chaque exercice pour voir la solution.
Correction Exercice 1 (Ensembles)
On a \(I = [-3, 5[\) et \(J = [2, 8]\).
a) Intersection \(I \cap J\) (ce qui est dans les deux) :
Les nombres doivent être \(\ge -3\) ET \(< 5\).
Ils doivent aussi être \(\ge 2\) ET \(\le 8\).
Pour être dans les deux, on doit prendre le début le plus grand (c’est 2) et la fin la plus petite (c’est 5).
Solution : \(I \cap J = [2, 5[\)
b) Réunion \(I \cup J\) (ce qui est dans l’un ou l’autre) :
On « fusionne » les deux ensembles. On commence au plus petit début (\(-3\)) et on va jusqu’à la plus grande fin (\(8\)).
Solution : \(I \cup J = [-3, 8]\)
Correction Exercice 2 (Négation)
a) Négation de » \(x \le 10\) » :
Le contraire de « plus petit ou égal » est « strictement plus grand ».
Solution : » \(x > 10\) «
b) Négation de » \(x = 5\) ou \(x = 7\) » :
La négation de « OU » est « ET ».
La négation de « = » est « \(\neq\) ».
Solution : » \(x \neq 5\) ET \(x \neq 7\) «
c) Négation de » Pour tout élève, le travail est fait. » :
La négation de « Pour tout » est « Il existe au moins un ».
Solution : » Il existe au moins un élève pour qui le travail n’est pas fait. «
Correction Exercice 3 (Implication et Contre-exemple)
a) L’implication « Si \(n\) est multiple de 4, alors \(n\) est pair » est VRAIE.
Preuve : Si \(n\) est multiple de 4, il s’écrit \(n = 4k = 2 \times (2k)\). C’est \(2 \times (\text{un entier})\), donc \(n\) est pair.
b) Réciproque :
On inverse P et Q : « Si un nombre est pair, alors il est un multiple de 4. »
c) La réciproque est FAUSSE.
On cherche un nombre qui est pair, mais qui n’est pas un multiple de 4.
Contre-exemple : 6.
6 est bien pair, mais 6 n’est pas dans la table de 4. (Un autre contre-exemple est 2, 10, 14, etc.)
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