FICHE DE RÉVISION – Vocabulaire ensembliste et logique
(Niveau : Première)
Vocabulaire Ensembliste et Logique (Première)
Maîtriser le langage précis des mathématiques : ensembles, logique, quantificateurs et types de raisonnement.
Partie 1 : Le Vocabulaire des Ensembles
Rappel et approfondissement du langage pour décrire les collections d’objets mathématiques.
1. Élément, Ensemble, Appartenance (\(\in\)) et Inclusion (\(\subset\))
- Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.
- Appartenance (\(\in\)) : Relie un élément à un ensemble. \(x \in A\) signifie « x est un élément de A ».
- Sous-ensemble : Une partie d’un ensemble.
- Inclusion (\(\subset\)) : Relie un ensemble (sous-ensemble) à un autre ensemble. \(A \subset B\) signifie « A est un sous-ensemble de B » (tous les éléments de A sont aussi dans B).
\(5 \in \mathbb{N}\). \(\{5\} \subset \mathbb{N}\). \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\). \( \mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}\).
2. Opérations : Réunion (\(\cup\)), Intersection (\(\cap\)), Complémentaire (\(\bar{A}\))
- Intersection \(A \cap B\) : Éléments appartenant à A ET à B.
- Réunion \(A \cup B\) : Éléments appartenant à A OU à B (ou aux deux).
- Complémentaire \(\bar{A}\) (dans E) : Éléments de E qui ne sont PAS dans A. (Noté aussi \(E \setminus A\)).
Si \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(A=\{1, 2, 3\}\), \(B=\{2, 3, 4\}\).
\(A \cap B = \{2, 3\}\).
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}\).
\(\bar{A} = \{4, 5, 6\}\).
3. Couple et Produit Cartésien
- Un couple \((x, y)\) est une liste ordonnée de deux éléments. L’ordre compte : \((x, y) \neq (y, x)\) si \(x \neq y\). (Ex: Coordonnées d’un point).
- Le Produit Cartésien de deux ensembles A et B, noté \(A \times B\), est l’ensemble de tous les couples possibles \((a, b)\) où \(a \in A\) et \(b \in B\).
Si \(A = \{1, 2\}\) et \(B = \{R, V\}\).
\(A \times B = \{(1, R), (1, V), (2, R), (2, V)\}\).
\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\) est l’ensemble des coordonnées de tous les points du plan.
Partie 2 : Logique – Propositions et Connecteurs
1. Proposition
Une proposition (ou assertion) est une affirmation mathématique qui est soit Vraie, soit Fausse.
2. Connecteurs Logiques « ET » (\(\cap\)) et « OU » (\(\cup\))
- La proposition « P et Q » est Vraie si P et Q sont toutes les deux Vraies.
- La proposition « P ou Q » est Vraie si au moins l’une des deux (P ou Q) est Vraie. (C’est le « ou » inclusif).
3. Négation (« non »)
La négation de la proposition P est la proposition « non P ». Elle est Vraie si P est Fausse, et Fausse si P est Vraie.
- Négation de \(A = B\) \(\rightarrow\) \(A \neq B\)
- Négation de \(A < B\) \(\rightarrow\) \(A \ge B\)
- Négation de « P et Q » \(\rightarrow\) « (non P) ou (non Q) »
- Négation de « P ou Q » \(\rightarrow\) « (non P) et (non Q) »
4. Contre-exemple
Pour montrer qu’une proposition universelle (« Pour tout… ») est fausse, il suffit de trouver un seul cas qui ne marche pas : c’est un contre-exemple.
Partie 3 : Logique – Implication et Équivalence
1. Implication (\(P \Rightarrow Q\))
L’implication « Si P, alors Q » (notée \(P \Rightarrow Q\)) signifie que si P est Vraie, alors Q est nécessairement Vraie.
P est l’hypothèse (ou condition suffisante), Q est la conclusion (ou condition nécessaire).
Attention : Si P est Fausse, l’implication \(P \Rightarrow Q\) est considérée comme Vraie (on ne peut pas prouver qu’elle est fausse).
2. Réciproque
La réciproque de \(P \Rightarrow Q\) est l’implication \(Q \Rightarrow P\).
Une implication peut être vraie sans que sa réciproque le soit !
P: « \(x=2\) ». Q: « \(x^2=4\) ».
\(P \Rightarrow Q\) est Vraie.
\(Q \Rightarrow P\) est Fausse (contre-exemple: \(x=-2\)).
3. Équivalence (\(P \Leftrightarrow Q\))
L’équivalence « P si et seulement si Q » (notée \(P \Leftrightarrow Q\)) signifie que \(P \Rightarrow Q\) ET \(Q \Rightarrow P\) sont toutes les deux Vraies.
P et Q ont la même valeur de vérité (soit les deux Vraies, soit les deux Fausses).
\(2x+1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2\).
4. Conditions Nécessaire et Suffisante
Dans l’implication \(P \Rightarrow Q\) :
- P est une condition suffisante pour Q (Il suffit que P soit vraie pour que Q le soit).
- Q est une condition nécessaire pour P (Il faut que Q soit vraie pour que P puisse l’être).
Dans l’équivalence \(P \Leftrightarrow Q\) : P est une condition nécessaire et suffisante pour Q (et inversement).
« Pour qu’un nombre soit divisible par 4 (\(P\)), il faut qu’il soit pair (\(Q\)) » : \(P \Rightarrow Q\). Q est nécessaire.
« Pour qu’un nombre soit divisible par 4 (\(P\)), il suffit qu’il soit divisible par 8 (\(R\)) » : \(R \Rightarrow P\). R est suffisante.
« Pour qu’un triangle soit équilatéral (\(P\)), il faut et il suffit qu’il ait 3 angles de 60° (\(Q\)) » : \(P \Leftrightarrow Q\). Q est nécessaire et suffisante.
Partie 4 : Logique – Quantificateurs
Ils indiquent si une propriété est vraie pour tous les éléments ou pour au moins un.
Quantificateur Universel (« Pour tout », « Quel que soit ») :
Indique qu’une propriété est vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné.
(Le symbole \(\forall\) n’est pas exigible, on écrit en toutes lettres).
Quantificateur Existentiel (« Il existe », « Il y a au moins un ») :
Indique qu’il y a au moins un élément de l’ensemble pour lequel la propriété est vraie.
(Le symbole \(\exists\) n’est pas exigible).
Quantification Implicite : Attention, parfois les quantificateurs sont sous-entendus !
Ex: « Si \(x>2\), alors \(x^2>4\) » signifie implicitement « Pour tout \(x\), si \(x>2\), alors \(x^2>4\) ».
Négation des Quantificateurs
- La négation de « Pour tout \(x\), P(x) » est « Il existe un \(x\) tel que non P(x) ».
- La négation de « Il existe un \(x\) tel que P(x) » est « Pour tout \(x\), non P(x) ».
P: « Pour tout réel \(x\), \(x^2 \ge 0\). » (Vrai)
Négation (non P): « Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2 < 0\)." (Faux)
Q: « Il existe un entier \(n\) tel que \(n^2 = 5\). » (Faux)
Négation (non Q): « Pour tout entier \(n\), \(n^2 \neq 5\). » (Vrai)
Partie 5 : Types de Raisonnement
Trois stratégies de démonstration importantes.
Raisonnement par disjonction des cas :
On sépare le problème en plusieurs cas exhaustifs (qui couvrent toutes les possibilités) et on prouve la propriété dans chaque cas.
Raisonnement par l’absurde :
Pour prouver P, on suppose « non P ». Si on arrive à une contradiction logique, c’est que « non P » est fausse, donc P est vraie.
Raisonnement par contraposée :
Pour prouver \(P \Rightarrow Q\), on peut prouver sa contraposée « (non Q) \(\Rightarrow\) (non P) ». Ces deux implications sont logiquement équivalentes.
Contraposée : Prouver « Si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair » (\(P \Rightarrow Q\)).
On prouve la contraposée : « Si \(n\) n’est pas pair (donc impair), alors \(n^2\) n’est pas pair (donc impair) » (\(\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P\)).
Si \(n\) est impair, \(n=2k+1\). Alors \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k) + 1\), ce qui est impair. La contraposée est vraie, donc l’implication initiale est vraie.
Partie 6 : Statut des Égalités et des Lettres
Il est important de comprendre le rôle de chaque symbole.
Égalités :
- Identité : Une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables (ex: \((x+1)^2 = x^2+2x+1\)).
- Équation : Une égalité qui n’est vraie que pour certaines valeurs de la (ou des) lettre(s) appelée(s) inconnue(s) (ex: \(2x+1=5\) n’est vraie que pour \(x=2\)).
Lettres :
- Variable : Une lettre qui peut prendre n’importe quelle valeur dans un ensemble donné (ex: \(x\) dans \(f(x)=x^2\)).
- Inconnue : Une lettre dont on cherche la valeur dans une équation (ex: \(x\) dans \(2x+1=5\)).
- Paramètre : Une lettre qui est considérée comme fixe dans un problème donné, mais qui pourrait varier dans un autre contexte (ex: \(m\) dans l’équation de droite \(y=mx+p\)).
Partie 7 : Entraînement (Exercices)
-
Exercice 1 (Ensembles) : Soit \(E = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\), \(A = \{-1, 0, 1\}\), \(B = \{0, 1, 2, 3\}\).
a) Écrire \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(\bar{A}\) (complémentaire dans E).
b) Écrire \(A \times \{0, 1\}\). -
Exercice 2 (Négation quantifiée) : Écrire la négation des propositions suivantes :
a) « Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2+1 < 0\)."
b) « Pour tout entier naturel \(n\), \(2n\) est pair. » -
Exercice 3 (Impl./Récip./Contra.) : Soit P: « \(n\) est divisible par 6 » et Q: « \(n\) est divisible par 3 ».
a) Écrire l’implication \(P \Rightarrow Q\). Est-elle vraie ?
b) Écrire la réciproque \(Q \Rightarrow P\). Est-elle vraie ? (Si non, contre-exemple).
c) Écrire la contraposée \(\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P\). Est-elle vraie ? -
Exercice 4 (Néc./Suff.) : Compléter avec « nécessaire », « suffisante », « nécessaire et suffisante ».
a) Pour que \(x^2=9\), il est … que \(x=3\).
b) Pour que \(x=3\), il est … que \(x^2=9\).
c) Pour que \(2x=6\), il est … que \(x=3\).
Partie 8 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Ensembles)
\(E = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\), \(A = \{-1, 0, 1\}\), \(B = \{0, 1, 2, 3\}\).
a) \(A \cap B\) (éléments communs) = \(\{0, 1\}\).
\(A \cup B\) (tous les éléments) = \(\{-1, 0, 1, 2, 3\}\).
\(\bar{A}\) (éléments de E qui ne sont pas dans A) = \(\{-2, 2, 3\}\).
b) \(A \times \{0, 1\}\) (tous les couples (a, b) avec \(a \in A, b \in \{0, 1\}\))
= \(\{(-1, 0), (-1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}\).
Correction Exercice 2 (Négation quantifiée)
a) Négation de « Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2+1 < 0\)."
On change « Il existe » en « Pour tout », et on nie la propriété.
Négation de \(x^2+1 < 0\) est \(x^2+1 \ge 0\).
Solution : « Pour tout réel \(x\), \(x^2+1 \ge 0\). »
b) Négation de « Pour tout entier naturel \(n\), \(2n\) est pair. »
On change « Pour tout » en « Il existe ».
Négation de « \(2n\) est pair » est « \(2n\) n’est pas pair » (ou « \(2n\) est impair »).
Solution : « Il existe un entier naturel \(n\) tel que \(2n\) est impair. » (Cette négation est fausse).
Correction Exercice 3 (Impl./Récip./Contra.)
P: « \(n\) est divisible par 6 ». Q: « \(n\) est divisible par 3 ».
a) Implication \(P \Rightarrow Q\) : « Si \(n\) est divisible par 6, alors \(n\) est divisible par 3. »
C’est VRAI. (Si \(n=6k\), alors \(n=3(2k)\), donc \(n\) est multiple de 3).
b) Réciproque \(Q \Rightarrow P\) : « Si \(n\) est divisible par 3, alors \(n\) est divisible par 6. »
C’est FAUX.
Contre-exemple : \(n=9\). 9 est divisible par 3, mais 9 n’est pas divisible par 6.
c) Contraposée \(\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P\) : « Si \(n\) n’est pas divisible par 3, alors \(n\) n’est pas divisible par 6. »
C’est VRAI. (La contraposée est toujours logiquement équivalente à l’implication initiale. Comme \(P \Rightarrow Q\) est vraie, sa contraposée l’est aussi).
Correction Exercice 4 (Néc./Suff.)
a) Pour que \(x^2=9\) (Q), il est … que \(x=3\) (P).
Est-ce que \(P \Rightarrow Q\) ? Oui (\(3^2=9\)). Donc P est suffisante.
Est-ce que \(Q \Rightarrow P\) ? Non (\(x=-3\) marche aussi). Donc P n’est pas nécessaire.
Solution : suffisante.
b) Pour que \(x=3\) (P), il est … que \(x^2=9\) (Q).
Est-ce que \(P \Rightarrow Q\) ? Oui. Donc Q est nécessaire.
Est-ce que \(Q \Rightarrow P\) ? Non. Donc Q n’est pas suffisante.
Solution : nécessaire.
c) Pour que \(2x=6\) (P), il est … que \(x=3\) (Q).
Est-ce que \(P \Rightarrow Q\) ? Oui (\(2x=6 \Rightarrow x=3\)). Donc Q est nécessaire.
Est-ce que \(Q \Rightarrow P\) ? Oui (\(x=3 \Rightarrow 2x=6\)). Donc Q est suffisante.
Solution : nécessaire et suffisante. (\(P \Leftrightarrow Q\)).
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