FICHE DE RÉVISION –Vocabulaire ensembliste et logique terminale
(Niveau : Terminale)
Vocabulaire Ensembliste et Logique (Terminale)
Le langage fondamental des mathématiques : ensembles, logique formelle, quantificateurs et méthodes de raisonnement avancées.
Partie 1 : Vocabulaire des Ensembles
Consolidation et extension du langage des collections mathématiques.
1. Bases : Élément, Ensemble, Appartenance (\(\in\)), Inclusion (\(\subset\))
- Ensemble : Collection d’objets (éléments).
- Appartenance (\(\in\)) : Relie un élément à un ensemble (\(x \in A\)).
- Sous-ensemble (Partie) : Ensemble dont tous les éléments sont dans un autre ensemble.
- Inclusion (\(\subset\)) : Relie un sous-ensemble à un ensemble (\(A \subset B\)).
2. Opérations : Réunion (\(\cup\)), Intersection (\(\cap\)), Complémentaire (\(\bar{A}\))
- \(A \cap B\) : Éléments dans A ET B.
- \(A \cup B\) : Éléments dans A OU B (ou les deux).
- \(\bar{A}\) (dans E) : Éléments de E qui ne sont PAS dans A (aussi noté \(E \setminus A\)).
3. n-uplets et Produit Cartésien
- Un couple \((x, y)\) est une liste ordonnée de 2 éléments.
- Un triplet \((x, y, z)\) est une liste ordonnée de 3 éléments.
- Un n-uplet (ou n-liste) \((x_1, …, x_n)\) est une liste ordonnée de \(n\) éléments. L’ordre compte, les répétitions sont possibles.
- Le Produit Cartésien \(A \times B\) est l’ensemble de tous les couples \((a, b)\) avec \(a \in A, b \in B\).
- Plus généralement, \(A_1 \times … \times A_n\) est l’ensemble des n-uplets \((a_1, …, a_n)\) où \(a_i \in A_i\).
- \(A^n = A \times … \times A\) (n fois) est l’ensemble des n-uplets d’éléments de A.
Si \(A=\{0, 1\}\), \(A^3 = \{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\}\). Card(\(A^3\)) = \(2^3=8\).
\(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) : ensemble des coordonnées des points du plan.
\(\mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) : ensemble des coordonnées des points de l’espace.
4. Notion de Fonction (Transversale)
La notion de fonction est omniprésente : fonctions réelles (\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)), suites (\(u: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\)), variables aléatoires (\(X: \Omega \to \mathbb{R}\)), transformations géométriques…
- Composition (\(v \circ u\)) : Appliquer \(u\) puis \(v\). \((v \circ u)(x) = v(u(x))\).
- Bijection : Une fonction \(f: E \to F\) est bijective si tout élément de F a exactement un antécédent dans E. Elle réalise une correspondance parfaite « un pour un ». (Ex: exp réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]0, +\infty[\), sa réciproque ln réalise une bijection de \(]0, +\infty[\) sur \(\mathbb{R}\)).
5. Symbole Somme \(\Sigma\) (Notation concise)
Le symbole \(\sum\) (Sigma majuscule) permet d’écrire des sommes de manière compacte.
$$ \sum_{k=p}^{n} u_k = u_p + u_{p+1} + … + u_n $$
(\(k\) est l’indice de sommation, \(p\) est l’indice de départ, \(n\) est l’indice de fin).
\(1 + 2 + … + n = \sum_{k=1}^{n} k\).
\(u_0 + u_1 + … + u_{10} = \sum_{k=0}^{10} u_k\).
\(\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} = 2^n\).
(Attention : Savoir lire et utiliser \(\sum\) est utile, mais démontrer des égalités avec n’est pas un objectif principal).
Partie 2 : Logique des Propositions
1. Proposition, Connecteurs (et, ou), Négation
(Rappel) Une proposition est Vraie ou Fausse. Les connecteurs « et », « ou » (inclusif) fonctionnent comme attendu. La négation inverse la valeur de vérité.
Négations importantes :
- non(P et Q) \(\Leftrightarrow\) (non P) ou (non Q)
- non(P ou Q) \(\Leftrightarrow\) (non P) et (non Q)
- non(\(A=B\)) \(\Leftrightarrow\) \(A \neq B\)
- non(\(A < B\)) \(\Leftrightarrow\) \(A \ge B\)
2. Implication (\(\Rightarrow\)), Réciproque, Contraposée, Équivalence (\(\Leftrightarrow\))
- Implication \(P \Rightarrow Q\) : Si P est Vraie, alors Q est Vraie.
- Réciproque : \(Q \Rightarrow P\).
- Contraposée : (non Q) \(\Rightarrow\) (non P). (Logiquement équivalente à \(P \Rightarrow Q\)).
- Équivalence \(P \Leftrightarrow Q\) : \(P \Rightarrow Q\) et \(Q \Rightarrow P\) sont Vraies.
3. Conditions Nécessaire et Suffisante
Dans \(P \Rightarrow Q\) :
- P est une condition suffisante pour Q.
- Q est une condition nécessaire pour P.
Dans \(P \Leftrightarrow Q\) : P (ou Q) est une condition nécessaire et suffisante pour Q (ou P).
Partie 3 : Quantificateurs et Négation
Préciser si une propriété concerne « tous » les éléments ou « au moins un ».
Quantificateur Universel (« Pour tout », « Quel que soit ») :
Ex: « Pour tout réel \(x\), \(x^2 \ge 0\). »
Quantificateur Existentiel (« Il existe », « Il y a au moins un ») :
Ex: « Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2 = 2\). »
Négation des quantificateurs :
- non(« Pour tout \(x\), P(x) ») \(\Leftrightarrow\) « Il existe \(x\) tel que non P(x) ».
- non(« Il existe \(x\) tel que P(x) ») \(\Leftrightarrow\) « Pour tout \(x\), non P(x) ».
P: « Pour tout réel \(x\), \(x+1 > x\). » (Vrai)
non P: « Il existe un réel \(x\) tel que \(x+1 \le x\). » (Faux)
Q: « Il existe un entier \(n\) tel que \(n\) est pair et \(n\) est impair. » (Faux)
non Q: « Pour tout entier \(n\), \(n\) n’est pas (pair et impair) », ou « Pour tout entier \(n\), \(n\) est impair ou \(n\) est pair ». (Vrai)
Partie 4 : Méthodes de Raisonnement
Les différentes stratégies pour construire une démonstration.
- Raisonnement direct : Enchaîner des implications logiques à partir des hypothèses pour arriver à la conclusion.
- Raisonnement par disjonction des cas : Séparer le problème en cas exhaustifs et traiter chaque cas.
- Raisonnement par l’absurde : Supposer le contraire de ce qu’on veut prouver et montrer que cela mène à une contradiction.
- Raisonnement par contraposée : Pour prouver \(P \Rightarrow Q\), prouver (non Q) \(\Rightarrow\) (non P).
- Raisonnement par équivalence : Enchaîner des équivalences logiques (\(\Leftrightarrow\)) pour transformer une proposition en une autre équivalente et connue comme vraie (ou fausse). Utile pour résoudre des équations/inéquations ou utiliser une propriété caractéristique (définition équivalente).
- Raisonnement par récurrence (Initialisation, Hérédité, Conclusion) : Pour prouver une propriété \(P(n)\) pour tout entier \(n \ge n_0\). (Voir fiche Suites).
Raisonnement par équivalence : Résoudre \(\sqrt{x+1} = x-1\).
Conditions : \(x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\) ET \(x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\). On travaille sur \([1, +\infty[\).
Sur cet intervalle, les deux membres sont positifs, l’équation est équivalente à :
\((\sqrt{x+1})^2 = (x-1)^2\)
\(x+1 = x^2 – 2x + 1\)
\(x^2 – 3x = 0\)
\(x(x-3) = 0\)
Solutions potentielles : \(x=0\) ou \(x=3\).
On vérifie avec la condition \(x \ge 1\). Seule \(x=3\) est valide. \(S=\{3\}\).
Partie 5 : Entraînement (Exercices)
- Exercice 1 (Négation) : Écrire la négation de : « Pour tout réel \(x > 0\), il existe un réel \(y\) tel que \(y^2 = x\). »
- Exercice 2 (Impl. / Cond.) : Soit \(f(x) = x^2\).
a) » \(f(x) = 4\) » est-elle une condition nécessaire pour » \(x=2\) » ? Suffisante ?
b) » \(x \in [1, 3]\) » est-elle une condition nécessaire pour » \(f(x) \in [1, 9]\) » ? Suffisante ? - Exercice 3 (Raisonnement) : Choisir un type de raisonnement adapté pour prouver :
a) La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
b) Si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair.
c) Il n’existe pas d’entier naturel \(n\) tel que \(4n+3\) soit un carré parfait. (Plus difficile : penser modulo 4).
Partie 6 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Négation)
Proposition P: « Pour tout réel \(x > 0\), il existe un réel \(y\) tel que \(y^2 = x\). »
Négation (non P): On inverse les quantificateurs et on nie la propriété finale.
« Il existe un réel \(x > 0\) tel que pour tout réel \(y\), non(\(y^2 = x\)) ».
Solution : « Il existe un réel \(x > 0\) tel que pour tout réel \(y\), \(y^2 \neq x\). » (Cette négation est fausse, la proposition P est vraie : c’est la définition de la racine carrée pour les réels positifs).
Correction Exercice 2 (Impl. / Cond.)
a) A: « \(x=2\) ». B: « \(f(x)=4\) » (soit \(x^2=4\)).
Est-ce que \(A \Rightarrow B\) ? Oui (\(2^2=4\)). Donc B est nécessaire pour A.
Est-ce que \(B \Rightarrow A\) ? Non (car si \(x=-2\), \(x^2=4\) mais \(x \neq 2\)). Donc B n’est pas suffisante pour A.
Donc « \(f(x)=4\) » est nécessaire mais pas suffisante pour « \(x=2\) ».
b) A: « \(x \in [1, 3]\) ». B: « \(f(x) \in [1, 9]\) » (soit \(x^2 \in [1, 9]\)).
Est-ce que \(A \Rightarrow B\) ? Si \(x \in [1, 3]\), alors \(1 \le x \le 3\). Comme \(f(x)=x^2\) est croissante sur \([1, 3]\), on a \(f(1) \le f(x) \le f(3)\), soit \(1 \le x^2 \le 9\). Oui, \(A \Rightarrow B\). Donc B est nécessaire pour A.
Est-ce que \(B \Rightarrow A\) ? Si \(x^2 \in [1, 9]\), cela signifie \(1 \le x^2 \le 9\). Les solutions sont \(x \in [-3, -1] \cup [1, 3]\). Cet ensemble contient \(A\), mais est plus large. Donc \(B \Rightarrow A\) est fausse (contre-exemple : \(x=-2\)). B n’est pas suffisante pour A.
Donc « \(x \in [1, 3]\) » est suffisante mais pas nécessaire pour « \(f(x) \in [1, 9]\) ».
Correction Exercice 3 (Raisonnement)
a) Somme de deux rationnels : Raisonnement direct.
Soient \(r_1, r_2\) deux rationnels. Alors \(r_1 = p_1/q_1\) et \(r_2 = p_2/q_2\) (p, q entiers, q non nuls).
\(r_1 + r_2 = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}\).
Le numérateur \(p_1 q_2 + p_2 q_1\) est un entier. Le dénominateur \(q_1 q_2\) est un entier non nul. Donc la somme est un rationnel.
b) Si \(n^2\) impair, alors \(n\) impair : Raisonnement par contraposée.
L’implication est \(P \Rightarrow Q\) avec P: « \(n^2\) impair », Q: « \(n\) impair ».
La contraposée est (non Q) \(\Rightarrow\) (non P) : « Si \(n\) n’est pas impair (donc pair), alors \(n^2\) n’est pas impair (donc pair) ».
Prouvons la contraposée : Si \(n\) est pair, alors \(n=2k\). \(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\). Donc \(n^2\) est pair.
La contraposée est vraie, donc l’implication initiale est vraie.
c) \(4n+3\) n’est pas un carré parfait : Raisonnement par l’absurde (ou disjonction des cas modulo 4).
Supposons qu’il existe un entier \(n\) tel que \(4n+3 = k^2\) où \(k\) est un entier.
On regarde les restes possibles de \(k^2\) dans la division par 4 (modulo 4) :
– Si \(k\) est pair, \(k=2m\), alors \(k^2 = (2m)^2 = 4m^2\). Le reste est 0. \(k^2 \equiv 0 \pmod{4}\).
– Si \(k\) est impair, \(k=2m+1\), alors \(k^2 = (2m+1)^2 = 4m^2+4m+1 = 4(m^2+m)+1\). Le reste est 1. \(k^2 \equiv 1 \pmod{4}\).
Donc, un carré parfait a toujours un reste de 0 ou 1 modulo 4.
Regardons le reste de \(4n+3\) modulo 4 : \(4n+3 = 4(n) + 3\). Le reste est 3. \(4n+3 \equiv 3 \pmod{4}\).
On arrive à la contradiction : \(k^2 \equiv 3 \pmod{4}\) est impossible.
L’hypothèse de départ est fausse. Il n’existe pas d’entier \(n\) tel que \(4n+3\) soit un carré parfait.
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