Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

octobre 27, 2025

FICHE DE RÉVISION –Probabilités : Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

(Niveau : Terminale)

Probabilités : Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

Modéliser la répétition d'expériences aléatoires indépendantes et compter le nombre de succès avec la loi binomiale.

Partie 1 : Succession d'Épreuves Indépendantes

On considère une expérience aléatoire qui est répétée $n$ fois de suite.

On dit que les $n$ épreuves sont indépendantes si le résultat de chaque épreuve n'influence pas les résultats des autres épreuves. Modèle : L'univers $\Omega$ de cette succession d'épreuves peut être vu comme un produit cartésien des univers $\Omega_i$ de chaque épreuve. Une issue est un n-uplet $(x_1, x_2, ..., x_n)$, où $x_i$ est le résultat de la i-ème épreuve. Règle fondamentale (Indépendance) : La probabilité d'une issue $(x_1, ..., x_n)$ est égale au produit des probabilités de chaque composante : $$ P((x_1, ..., x_n)) = P(X_1=x_1) \times P(X_2=x_2) \times ... \times P(X_n=x_n) $$ On représente souvent la situation par un arbre pondéré où les probabilités sur les branches d'une étape sont les mêmes quelle que soit la branche précédente.

On lance 3 fois une pièce truquée où $P(\text{Pile})=0.6$ et $P(\text{Face})=0.4$. Les lancers sont indépendants. L'univers a $2^3=8$ issues : (PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF). Calculons la probabilité de l'issue (P, F, P) : $P(PFP) = P(X_1=P) \times P(X_2=F) \times P(X_3=P)$ $P(PFP) = 0.6 \times 0.4 \times 0.6 = 0.144$. Calculons la probabilité d'obtenir exactement 2 Piles (événement {PFP, PPF, FPP}) : $P(PPF) = 0.6 \times 0.6 \times 0.4 = 0.144$ $P(FPP) = 0.4 \times 0.6 \times 0.6 = 0.144$ $P(\text{2 Piles}) = P(PFP) + P(PPF) + P(FPP) = 0.144 + 0.144 + 0.144 = 3 \times 0.144 = 0.432$.

Partie 2 : Épreuve et Schéma de Bernoulli

1. Épreuve et Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles :

Succès (S), de probabilité $p$.
Échec ($\bar{S}$), de probabilité $1-p$.

La loi de Bernoulli de paramètre $p$ (notée $\mathcal{B}(p)$) est la loi de la variable aléatoire $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec : $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ Son espérance est $E(X) = p$ et sa variance est $V(X) = p(1-p)$.

Lancer une pièce équilibrée : Épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0.5$. (Succès = Pile). Lancer un dé et regarder si on obtient un 6 : Épreuve de Bernoulli de paramètre $p=1/6$. (Succès = Obtenir 6).

2. Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où la probabilité de succès pour chaque épreuve est $p$.

Lancer 10 fois une pièce équilibrée : Schéma de Bernoulli de paramètres $n=10$ et $p=0.5$. Tirer 5 boules avec remise dans une urne contenant 2 Rouges et 8 Noires, et s'intéresser au nombre de Rouges tirées : Schéma de Bernoulli de paramètres $n=5$ et $p=P(\text{Rouge})=2/10=0.2$.

Pour reconnaître un schéma de Bernoulli, vérifie bien les 3 conditions : 1. L'expérience de base n'a que deux issues (Succès/Échec). 2. On répète cette expérience $n$ fois. 3. Les répétitions sont identiques et indépendantes (la probabilité de succès $p$ ne change pas).

Partie 3 : Loi Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$

Quand on a un schéma de Bernoulli, on s'intéresse souvent au nombre total de succès obtenus.

Soit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus au cours des $n$ épreuves. On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$. Les valeurs possibles pour $X$ sont les entiers de 0 à $n$. La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès (et donc $n-k$ échecs) est donnée par la formule : $$ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$ pour $k \in \{0, 1, ..., n\}$. Ici, $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial "k parmi n", qui compte le nombre de chemins dans l'arbre menant à $k$ succès.

Démonstration (Formule de la loi binomiale)

On répète $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes (proba succès $p$, échec $1-p$). On veut obtenir exactement $k$ succès. 1. Choisissons UN chemin spécifique qui mène à $k$ succès et $n-k$ échecs. Par exemple : $\underbrace{S, S, ..., S}_{k \text{ fois}}, \underbrace{E, E, ..., E}_{n-k \text{ fois}}$. 2. Comme les épreuves sont indépendantes, la probabilité de ce chemin est le produit des probabilités de chaque branche : $P(\text{chemin}) = \underbrace{p \times p \times ... \times p}_{k \text{ fois}} \times \underbrace{(1-p) \times ... \times (1-p)}_{n-k \text{ fois}} = p^k (1-p)^{n-k}$. 3. Tous les chemins avec exactement $k$ succès et $n-k$ échecs ont la même probabilité $p^k (1-p)^{n-k}$ (car la multiplication est commutative). 4. Combien y a-t-il de tels chemins ? Un chemin est déterminé par la position des $k$ succès parmi les $n$ épreuves. Il y a $\binom{n}{k}$ façons de choisir ces $k$ positions. 5. L'événement $ \{X=k\} $ est la réunion de tous ces chemins disjoints. Sa probabilité est la somme des probabilités de chaque chemin : $P(X=k) = \underbrace{p^k (1-p)^{n-k} + ... + p^k (1-p)^{n-k}}_{\binom{n}{k} \text{ fois}}$ $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

On lance 5 fois ($n=5$) un dé équilibré. Succès = "obtenir un 6" ($p=1/6$). Soit X le nombre de 6 obtenus. X suit $\mathcal{B}(5, 1/6)$. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux 6 ($k=2$) ? $P(X=2) = \binom{5}{2} (1/6)^2 (1 - 1/6)^{5-2}$ $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$. $P(X=2) = 10 \times (\frac{1}{36}) \times (\frac{5}{6})^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0.16$.

Espérance, Variance, Écart Type de la Loi Binomiale

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, alors :

Espérance : $E(X) = np$
Variance : $V(X) = np(1-p)$
Écart type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Pour $X \sim \mathcal{B}(5, 1/6)$ (nombre de 6 en 5 lancers) : $E(X) = 5 \times (1/6) = 5/6 \approx 0.83$. (En moyenne, on obtient moins d'un 6 sur 5 lancers). $V(X) = 5 \times (1/6) \times (5/6) = 25/36$. $\sigma(X) = \sqrt{25/36} = 5/6$.

L'espérance $np$ est très intuitive : si tu as 1 chance sur 6 ($p=1/6$) d'avoir un succès à chaque essai, et que tu fais $n=60$ essais, tu t'attends "en moyenne" à avoir $60 \times (1/6) = 10$ succès. C'est $np$ !

Partie 4 : Utilisation de la Loi Binomiale

On utilise la loi binomiale pour calculer des probabilités et résoudre des problèmes concrets.

1. Calcul de $P(X=k)$, $P(X \le k)$, $P(X \ge k)$...

Pour calculer ces probabilités :

$P(X=k)$ : Utiliser la formule $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ (ou les fonctions `binomPdf` / `Loi Binom P.D.` de la calculatrice).
$P(X \le k)$ : C'est $P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)$. Calcul long ! Utiliser les fonctions `binomCdf` / `Loi Binom Fdp` de la calculatrice.
$P(X \ge k)$ : C'est $P(X=k) + ... + P(X=n)$. Plus facile : utiliser l'événement contraire. $$ P(X \ge k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X \le k-1) $$
$P(k_1 \le X \le k_2)$ : $$ P(k_1 \le X \le k_2) = P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) $$

Un QCM a 10 questions ($n=10$), 4 choix par question (une seule bonne réponse). Un élève répond au hasard. $X$ = nombre de bonnes réponses. C'est un schéma de Bernoulli : $n=10$, Succès = "Bonne réponse", $p=1/4=0.25$. $X \sim \mathcal{B}(10, 0.25)$. - Proba d'avoir exactement 3 bonnes réponses : $P(X=3) = \binom{10}{3} (0.25)^3 (0.75)^7 \approx 0.250$ (calculatrice). - Proba d'avoir au plus 2 bonnes réponses : $P(X \le 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \approx 0.526$ (calculatrice `binomCdf(10, 0.25, 2)`). - Proba d'avoir au moins 5 bonnes réponses : $P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0.922 = 0.078$ (calculatrice).

2. Problèmes de Seuil, d'Optimisation

On peut chercher la valeur de $n$ ou $p$ pour atteindre un certain objectif.

Combien de fois faut-il lancer un dé ($p=1/6$) au minimum pour que la probabilité d'obtenir au moins un 6 soit supérieure à 99% ? Soit $n$ le nombre de lancers. $X_n \sim \mathcal{B}(n, 1/6)$. On veut $P(X_n \ge 1) > 0.99$. Événement contraire : $P(X_n = 0)$ (n'obtenir aucun 6). $P(X_n = 0) = \binom{n}{0} (1/6)^0 (5/6)^{n-0} = 1 \times 1 \times (5/6)^n = (5/6)^n$. On veut $P(X_n \ge 1) > 0.99 \Leftrightarrow 1 - P(X_n = 0) > 0.99 \Leftrightarrow P(X_n = 0) < 0.01$. On cherche le plus petit $n$ tel que $(5/6)^n < 0.01$. On utilise le logarithme (ou on teste à la calculatrice) : $\ln((5/6)^n) < \ln(0.01)$ $n \ln(5/6) < \ln(0.01)$. Attention, $\ln(5/6)$ est négatif car $5/6 < 1$. On inverse le sens : $n > \frac{\ln(0.01)}{\ln(5/6)} \approx \frac{-4.605}{-0.182} \approx 25.2$. Il faut donc au minimum $n=26$ lancers.

Partie 5 : Entraînement (Exercices)

Exercice 1 (Modélisation Bernoulli/Binomiale) : On lance 8 fois une pièce truquée où $P(\text{Pile}) = 0.7$. Soit Y le nombre de Piles obtenus. a) Quelle est la loi de Y ? Préciser ses paramètres. b) Calculer $P(Y=5)$ (donner la formule puis la valeur arrondie à $10^{-3}$). c) Calculer $P(Y \le 6)$ (arrondir à $10^{-3}$). d) Calculer $E(Y)$.
Exercice 2 (Problème de Seuil) : Un archer atteint la cible avec une probabilité $p=0.8$. Combien de flèches doit-il tirer au minimum pour que la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois soit supérieure à 99.9% ?

Partie 6 : Corrections Détaillées

Correction Exercice 1 (Loi Binomiale)

a) Loi de Y : On répète $n=8$ fois une expérience (lancer la pièce) de manière identique et indépendante. Chaque lancer a 2 issues : Succès="Pile" (proba $p=0.7$), Échec="Face" (proba $1-p=0.3$). Y compte le nombre de succès. Donc, Y suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n=8, p=0.7)$. b) Calcul de $P(Y=5)$ : Formule : $P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. $P(Y=5) = \binom{8}{5} (0.7)^5 (0.3)^{8-5} = \binom{8}{5} (0.7)^5 (0.3)^3$. $\binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$. $P(Y=5) = 56 \times (0.7)^5 \times (0.3)^3 \approx 56 \times 0.16807 \times 0.027 \approx 0.254$. (Calculatrice : `binomPdf(8, 0.7, 5)` ou `Loi Binom P.D.(k:5, n:8, p:0.7)`). c) Calcul de $P(Y \le 6)$ : On utilise la calculatrice (fonction de répartition). $P(Y \le 6) \approx 0.806$. (Calculatrice : `binomCdf(8, 0.7, 6)` ou `Loi Binom Fdp(k:6, n:8, p:0.7)`). d) Espérance $E(Y)$ : $E(Y) = np = 8 \times 0.7 = 5.6$. (En moyenne, sur 8 lancers, il obtiendra 5.6 Piles).

Correction Exercice 2 (Problème de Seuil)

Archer : $p=0.8$ (Succès = atteindre la cible). $n=$ nombre de tirs. Soit $X_n$ le nombre de succès en $n$ tirs. $X_n \sim \mathcal{B}(n, 0.8)$. On veut $P(X_n \ge 1) > 0.999$. On passe par l'événement contraire : $P(X_n \ge 1) = 1 - P(X_n = 0)$. Calcul de $P(X_n = 0)$ : $P(X_n = 0) = \binom{n}{0} (0.8)^0 (1-0.8)^{n-0} = 1 \times 1 \times (0.2)^n = (0.2)^n$. L'inéquation devient : $1 - (0.2)^n > 0.999$ $1 - 0.999 > (0.2)^n$ $0.001 > (0.2)^n$. On cherche le plus petit entier $n$ qui vérifie $(0.2)^n < 0.001$. On utilise le logarithme népérien (fonction croissante) : $\ln((0.2)^n) < \ln(0.001)$ $n \ln(0.2) < \ln(0.001)$. Attention : $\ln(0.2)$ est négatif (car $0.2 < 1$). En divisant par $\ln(0.2)$, on doit inverser le sens de l'inégalité : $n > \frac{\ln(0.001)}{\ln(0.2)}$. Calcul à la calculatrice : $\frac{\ln(0.001)}{\ln(0.2)} \approx \frac{-6.908}{-1.609} \approx 4.29$. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $n > 4.29$. Solution : Il doit tirer au minimum $n=5$ flèches.

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Probabilités : Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

Partie 1 : Succession d'Épreuves Indépendantes

Partie 2 : Épreuve et Schéma de Bernoulli

1. Épreuve et Loi de Bernoulli

2. Schéma de Bernoulli

Partie 3 : Loi Binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\)

Espérance, Variance, Écart Type de la Loi Binomiale

Partie 4 : Utilisation de la Loi Binomiale

1. Calcul de \(P(X=k)\), \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\)...

2. Problèmes de Seuil, d'Optimisation

Partie 5 : Entraînement (Exercices)

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