FICHE DE RÉVISION –Représentations Paramétriques et Équations Cartésiennes
(Niveau : Terminale)
Géométrie Repérée : Représentations Paramétriques et Équations Cartésiennes
Traduire droites et plans en équations : maîtriser les représentations pour résoudre les problèmes de géométrie dans l’espace par le calcul.
Partie 1 : Représentation Paramétrique d’une Droite
Une droite dans l’espace peut être décrite par le « chemin » parcouru depuis un point de départ en suivant une direction donnée.
Soit \((d)\) la droite passant par le point \(A(x_A; y_A; z_A)\) et dirigée par le vecteur non nul \(\vec{u}(a; b; c)\).
Un point \(M(x; y; z)\) appartient à la droite \((d)\) si et seulement si le vecteur \(\vec{AM}\) est colinéaire à \(\vec{u}\), c’est-à-dire s’il existe un réel \(t\) (appelé le paramètre) tel que :
$$ \vec{AM} = t\vec{u} $$
En passant aux coordonnées \(\vec{AM}(x-x_A; y-y_A; z-z_A)\), on obtient le système d’équations suivant, appelé représentation paramétrique de la droite \((d)\) :
$$ \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $$
Chaque valeur de \(t\) donne les coordonnées d’un point unique sur la droite.
Droite passant par \(A(1; 0; -2)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(3; -1; 4)\). Une représentation paramétrique est : $$ \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 0 – 1t \\ z = -2 + 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $$ – Pour \(t=0\), on retrouve le point A(1, 0, -2). – Pour \(t=1\), on obtient le point B(1+3, -1, -2+4) = (4, -1, 2). Le vecteur \(\vec{AB}\) est bien égal à \(\vec{u}\). – Le point C(7, -2, 6) est-il sur la droite ? On cherche s’il existe un \(t\) tel que : \(7 = 1+3t \Rightarrow 6=3t \Rightarrow t=2\). \(-2 = -t \Rightarrow t=2\). \(6 = -2+4t \Rightarrow 8=4t \Rightarrow t=2\). Oui, C correspond à \(t=2\).
Une droite a une infinité de représentations paramétriques ! Tu peux changer le point A (par n’importe quel autre point de la droite) ou le vecteur directeur \(\vec{u}\) (par n’importe quel vecteur colinéaire \(k\vec{u}\)). L’important est de savoir en trouver une et de savoir l’utiliser (vérifier si un point appartient, trouver des points…).
Partie 2 : Équation Cartésienne d’un Plan
Un plan peut être décrit par une seule équation reliant \(x\), \(y\), et \(z\).
Soit \((\mathcal{P})\) le plan passant par le point \(A(x_A; y_A; z_A)\) et de vecteur normal non nul \(\vec{n}(a; b; c)\).
Un point \(M(x; y; z)\) appartient au plan \((\mathcal{P})\) si et seulement si les vecteurs \(\vec{AM}\) et \(\vec{n}\) sont orthogonaux :
$$ \vec{AM} \cdot \vec{n} = 0 $$
En passant aux coordonnées \(\vec{AM}(x-x_A; y-y_A; z-z_A)\) et \(\vec{n}(a; b; c)\) dans un repère orthonormé :
$$ a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0 $$
En développant, on obtient une équation de la forme :
$$ ax + by + cz + d = 0 $$
où \(d = -(ax_A + by_A + cz_A)\). C’est l’équation cartésienne du plan.
Réciproquement, toute équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) (avec \(a, b, c\) non tous nuls) est l’équation d’un plan dont le vecteur \(\vec{n}(a; b; c)\) est un vecteur normal.
Démonstration (Équation cartésienne du plan)
Soit \((\mathcal{P})\) le plan passant par \(A(x_A; y_A; z_A)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(a; b; c)\) (\(\vec{n} \neq \vec{0}\)).
Par définition, un point \(M(x; y; z)\) appartient à \((\mathcal{P})\) si et seulement si le vecteur \(\vec{AM}\) est orthogonal au vecteur normal \(\vec{n}\).
L’orthogonalité se traduit par un produit scalaire nul : \(\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0\).
Calculons les coordonnées de \(\vec{AM}\) : \(\vec{AM}(x-x_A; y-y_A; z-z_A)\).
Exprimons le produit scalaire en coordonnées dans un repère orthonormé :
\((x-x_A) \times a + (y-y_A) \times b + (z-z_A) \times c = 0\).
En développant :
\(ax – ax_A + by – by_A + cz – cz_A = 0\).
\(ax + by + cz + (-ax_A – by_A – cz_A) = 0\).
Posons \(d = -ax_A – by_A – cz_A\). C’est une constante puisque A, a, b, c sont fixés.
L’équation s’écrit donc bien \(ax + by + cz + d = 0\).
Comme \(\vec{n}\) est non nul, au moins un des coefficients \(a, b, c\) est non nul. C’est bien l’équation d’un plan.
Trouver l’équation du plan passant par \(A(1; 0; 2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2; -1; 3)\). L’équation est de la forme \(2x – 1y + 3z + d = 0\). A appartient au plan : \(2(1) – 1(0) + 3(2) + d = 0 \Rightarrow 2 – 0 + 6 + d = 0 \Rightarrow 8 + d = 0 \Rightarrow d = -8\). Équation : \(2x – y + 3z – 8 = 0\). Quel est un vecteur normal au plan d’équation \(x – 3z + 5 = 0\) ? L’équation est \(1x + 0y – 3z + 5 = 0\). Un vecteur normal est \(\vec{n}(1; 0; -3)\).
Partie 3 : Applications – Projections et Systèmes
1. Projeté Orthogonal sur un Plan ou une Droite (Coordonnées)
Projeté H d’un point M sur un plan \((\mathcal{P})\) d’équation \(ax+by+cz+d=0\) :
- Le point H est l’intersection du plan \((\mathcal{P})\) et de la droite \((d)\) passant par M et orthogonale à \((\mathcal{P})\).
- La droite \((d)\) a donc pour vecteur directeur un vecteur normal \(\vec{n}(a; b; c)\) au plan.
- Écrire une représentation paramétrique de \((d)\) passant par M et dirigée par \(\vec{n}\).
- Injecter les expressions paramétriques de \(x, y, z\) dans l’équation du plan \(ax+by+cz+d=0\).
- Résoudre l’équation pour trouver la valeur du paramètre \(t\) correspondant au point H.
- Remplacer cette valeur de \(t\) dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées de H.
- H appartient à la droite \((d)\), donc ses coordonnées vérifient la représentation paramétrique de \((d)\). \(\vec{AH} = t\vec{u}\).
- Le vecteur \(\vec{MH}\) est orthogonal au vecteur directeur \(\vec{u}\) de la droite.
- On écrit la condition d’orthogonalité : \(\vec{MH} \cdot \vec{u} = 0\).
- Exprimer les coordonnées de \(\vec{MH}\) en fonction de \(t\).
- Injecter dans l’équation \(\vec{MH} \cdot \vec{u} = 0\) et résoudre pour trouver \(t\).
- Remplacer \(t\) dans la représentation paramétrique pour obtenir H.
(Voir l’exemple détaillé du calcul du projeté sur un plan dans la fiche précédente sur l’Orthogonalité et Distances).
2. Traduction de Problèmes Géométriques en Systèmes d’Équations
Le repérage permet de transformer des questions de géométrie en résolution de systèmes d’équations linéaires.- Colinéarité / Alignement : \(\vec{u}, \vec{v}\) colinéaires \(\iff\) \(\vec{v}=k\vec{u}\) (donne 3 équations pour k). A, B, C alignés \(\iff\) \(\vec{AB}, \vec{AC}\) colinéaires.
- Coplanarité : \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) coplanaires \(\iff\) \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) (donne un système de 3 équations à 2 inconnues \(\alpha, \beta\)).
- Base : \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) forment une base \(\iff\) ils ne sont pas coplanaires.
- Coordonnées dans une base : Trouver \((x, y, z)\) tel que \(\vec{a} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w}\) (donne un système de 3 équations à 3 inconnues).
- Parallélisme (droites) : \((d) // (d’)\) \(\iff\) leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Parallélisme (droite/plan) : \((d)\) // \((\mathcal{P})\) \(\iff\) le vecteur directeur de \((d)\) est orthogonal au vecteur normal de \((\mathcal{P})\).
- Parallélisme (plans) : \((\mathcal{P})\) // \((\mathcal{P’})\) \(\iff\) leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Orthogonalité (droites) : \((d) \perp (d’)\) \(\iff\) leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (produit scalaire nul).
- Orthogonalité (droite/plan) : \((d) \perp (\mathcal{P})\) \(\iff\) le vecteur directeur de \((d)\) est colinéaire au vecteur normal de \((\mathcal{P})\).
- Orthogonalité (plans) : \((\mathcal{P}) \perp (\mathcal{P’})\) \(\iff\) leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- Intersection (droite/plan) : Injecter la représentation paramétrique de la droite dans l’équation cartésienne du plan et résoudre pour \(t\).
- Intersection (deux plans) : Résoudre le système formé par les deux équations cartésiennes (souvent en exprimant \(x, y\) en fonction de \(z=t\), ce qui donne une représentation paramétrique de la droite d’intersection).
La géométrie repérée, c’est puissant mais ça peut vite devenir très calculatoire ! Sois méthodique :
1. Lis bien l’énoncé, fais un schéma si possible.
2. Traduis les objets (points, vecteurs, droites, plans) par leurs coordonnées ou équations.
3. Traduis la question en une condition sur ces objets (colinéarité, orthogonalité, appartenance…).
4. Pose le système d’équations correspondant.
5. Résous le système (substitution, combinaison…).
6. Interprète géométriquement la solution.
Partie 4 : Entraînement (Exercices)
On se place dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).- Exercice 1 (Rep. Paramétrique) : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(1; -2; 3)\) et \(B(0; 1; 1)\). Le point \(C(-1; 4; -1)\) appartient-il à cette droite ?
- Exercice 2 (Éq. Cartésienne) : Déterminer une équation cartésienne du plan \((\mathcal{P})\) passant par \(P(2; 1; -1)\) et orthogonal à la droite \((d)\) de représentation paramétrique \( \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = 3 – t \end{cases} \).
- Exercice 3 (Intersection Droite/Plan) : Déterminer les coordonnées du point d’intersection \(I\) de la droite \((d)\) de l’exercice 2 et du plan \((\mathcal{Q})\) d’équation \(2x – y + z + 1 = 0\).
Partie 5 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Rep. Paramétrique)
Droite (AB) avec \(A(1; -2; 3)\) et \(B(0; 1; 1)\).
1. Vecteur directeur : \(\vec{AB} = (0-1; 1-(-2); 1-3) = (-1; 3; -2)\).
2. Représentation paramétrique : On utilise le point A et \(\vec{AB}\).
$$ \begin{cases} x = 1 + (-1)t = 1 – t \\ y = -2 + 3t \\ z = 3 + (-2)t = 3 – 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $$
3. Appartenance de C(-1; 4; -1) : On cherche \(t\) tel que :
\(-1 = 1 – t \Rightarrow t = 1 – (-1) = 2\).
\(4 = -2 + 3t \Rightarrow 6 = 3t \Rightarrow t = 2\).
\(-1 = 3 – 2t \Rightarrow 2t = 3 – (-1) = 4 \Rightarrow t = 2\).
La valeur \(t=2\) convient pour les trois équations.
Conclusion : Oui, le point C appartient à la droite (AB).
Correction Exercice 2 (Éq. Cartésienne)
Plan \((\mathcal{P})\) passant par \(P(2; 1; -1)\) et orthogonal à \((d)\) : \( \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = 3 – t \end{cases} \).
Si \((\mathcal{P})\) est orthogonal à \((d)\), alors un vecteur directeur de \((d)\) est un vecteur normal à \((\mathcal{P})\).
Un vecteur directeur de \((d)\) se lit sur les coefficients de \(t\) : \(\vec{u}(1; -2; -1)\).
Donc \(\vec{n}(1; -2; -1)\) est un vecteur normal à \((\mathcal{P})\).
L’équation du plan est de la forme \(1x – 2y – 1z + d = 0\).
Le point \(P(2; 1; -1)\) appartient à \((\mathcal{P})\) :
\(1(2) – 2(1) – 1(-1) + d = 0\)
\(2 – 2 + 1 + d = 0 \Rightarrow 1 + d = 0 \Rightarrow d = -1\).
Équation : \(x – 2y – z – 1 = 0\).
Correction Exercice 3 (Intersection Droite/Plan)
Intersection de \((d): \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = 3 – t \end{cases}\) et \((\mathcal{Q}): 2x – y + z + 1 = 0\).
Le point d’intersection \(I(x_I; y_I; z_I)\) appartient aux deux. Ses coordonnées vérifient les quatre équations.
On substitue les expressions paramétriques de \(x, y, z\) de la droite dans l’équation du plan :
\(2(1+t) – (-2t) + (3-t) + 1 = 0\)
On résout cette équation en \(t\) :
\(2 + 2t + 2t + 3 – t + 1 = 0\)
\(3t + 6 = 0\)
\(3t = -6 \Rightarrow t = -2\).
C’est la valeur du paramètre correspondant au point d’intersection.
On remplace \(t=-2\) dans les équations paramétriques de la droite pour trouver les coordonnées de \(I\) :
\(x_I = 1 + (-2) = -1\)
\(y_I = -2(-2) = 4\)
\(z_I = 3 – (-2) = 5\).
Le point d’intersection est \(I(-1; 4; 5)\).
Besoin d'aide en mathématiques ?
Je propose des cours de remise à niveau en visio ou en présentiel
Cours de Maths
tout niveau
€
30
/Heure
Tout niveau
Revoir les notions non comprises
Réaliser les devoirs avec méthode
Apprendre à s’organiser efficacement
Préparer les contrôles / Bac
Programme en fonction de vos besoins
Exclusif