Topologie des EVN
(Niveau : Prépa)
Topologie des E.V.N. : Le Cours Complet
La Topologie est l’art de mesurer la proximité sans nécessairement avoir de règle graduée rigide. C’est ce qui nous permet de parler de limites, de continuité et de convergence dans des espaces vectoriels complexes (comme des espaces de fonctions). Ce chapitre est le socle de toute l’Analyse en prépa.
Normes, Suites, Topologie (Ouverts/Fermés), Continuité, Compacité (le cœur du sujet) et Connexité.
1. Normes et Espaces Vectoriels Normés
1.1 Définition d’une Norme
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une application $N : E \to \mathbb{R}_+$ est une norme (notée $|| \cdot ||$) si elle vérifie trois axiomes fondamentaux :
- Séparation : $||x|| = 0 \implies x = 0_E$.
- Homogénéité : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, ||\lambda x|| = |\lambda| \cdot ||x||$.
- Inégalité Triangulaire : $\forall (x,y) \in E^2, ||x + y|| \le ||x|| + ||y||$.
Le couple $(E, ||\cdot||)$ est appelé Espace Vectoriel Normé (E.V.N.).
- Sur $\mathbb{K}^n$ :
- $||x||_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$
- $||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}$ (Norme euclidienne canonique)
- $||x||_\infty = \max_{1\le i\le n} |x_i|$
- Sur les Fonctions $\mathcal{C}^0([a,b])$ :
- $||f||_\infty = \sup_{t \in [a,b]} |f(t)|$ (Convergence uniforme)
- $||f||_1 = \int_a^b |f(t)| dt$ (Convergence en moyenne)
- $||f||_2 = \sqrt{\int_a^b |f(t)|^2 dt}$ (Convergence en moyenne quadratique)
1.2 Boules et Convexité
La topologie repose sur la notion de boule. Pour $a \in E$ et $r > 0$ :
- Boule Ouverte : $B(a,r) = \{ x \in E \mid ||x-a|| < r \}$
- Boule Fermée : $B_f(a,r) = \{ x \in E \mid ||x-a|| \le r \}$
- Sphère : $S(a,r) = \{ x \in E \mid ||x-a|| = r \}$
Propriété : Les boules d’un E.V.N. sont toujours des parties convexes.
2. Suites Vectorielles
Une suite $(u_n)$ converge vers $l \in E$ si la distance entre $u_n$ et $l$ tend vers 0 :
$$ \lim_{n \to +\infty} ||u_n – l|| = 0 $$2.2 Valeurs d’adhérence
$a$ est une valeur d’adhérence de $(u_n)$ s’il existe une sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ qui converge vers $a$.
3. Comparaison des Normes
Deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes s’il existe $\alpha, \beta > 0$ tels que :
$$ \forall x \in E, \quad \alpha N_1(x) \le N_2(x) \le \beta N_1(x) $$Théorème : Si deux normes sont équivalentes, elles définissent la même topologie (mêmes suites convergentes, mêmes ouverts, mêmes fermés).
4. Topologie : Ouverts et Fermés
4.1 Les Ouverts
Une partie $U$ est ouverte si pour tout point $x$ de $U$, on peut glisser une petite boule centrée en $x$ qui reste entièrement dans $U$ ($\exists r>0, B(x,r) \subset U$).
Exemple : Une boule ouverte est un ouvert. $E$ et $\emptyset$ sont des ouverts.
4.2 Les Fermés
Une partie $F$ est fermée si son complémentaire est un ouvert. Mais la définition la plus utile est séquentielle :
$F$ est fermé si et seulement si pour toute suite convergente $(u_n)$ d’éléments de $F$, la limite $l$ appartient encore à $F$.
En gros : « On ne peut pas sortir d’un fermé par passage à la limite ».
Un Ouvert, c’est comme un intervalle strict $]0, 1[$. Tu peux t’approcher du bord autant que tu veux sans jamais le toucher. C’est « flou » sur les bords.
Un Fermé, c’est comme $[0, 1]$. Il contient sa « frontière ». Si tu tends vers le bord, tu finis dedans.
4.3 Adhérence et Densité
- Adhérence ($\bar{A}$) : Le plus petit fermé contenant $A$. C’est l’ensemble des limites de suites d’éléments de $A$.
- Densité : $A$ est dense dans $E$ si $\bar{A} = E$.
5. Limites et Continuité
5.1 Continuité (Définition locale)
Soit $f: A \to F$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :
$f$ est continue en $a$ $\iff$ Pour toute suite $(x_n)$ de $A$ tendant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ tend vers $f(a)$.
5.2 Continuité Globale
$f$ est continue sur $E$ si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert (et l’image réciproque de tout fermé est un fermé).
5.3 Applications Lipschitziennes
Une fonction $f$ est $k$-lipschitzienne si :
Toute application lipschitzienne est uniformément continue, donc continue.
5.4 Applications Linéaires Continues
En dimension infinie, la linéarité n’implique pas la continuité !
$$ \exists C \ge 0, \forall x \in E, ||u(x)|| \le C ||x|| $$
On définit alors la Norme Subordonnée : $|||u||| = \sup_{x \ne 0} \frac{||u(x)||}{||x||}$.
6. Compacité
Les compacts sont les ensembles « parfaits » pour l’analyse. Ils empêchent les suites de partir à l’infini ou de « s’échapper » par des trous.
Une partie $K$ est compacte si de toute suite d’éléments de $K$, on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de $K$.
Propriétés Topologiques :
- Tout compact est Fermé et Borné (Attention, la réciproque est fausse en dimension infinie !).
- Un fermé inclus dans un compact est compact.
Continuité sur un Compact
L’image d’un compact par une application continue est un compact.
Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
7. Connexité par Arcs
Une partie $A$ est connexe par arcs si deux points quelconques de $A$ peuvent être reliés par un chemin continu $\gamma : [0,1] \to A$.
- Les parties convexes et étoilées sont connexes par arcs.
- Dans $\mathbb{R}$, les connexes par arcs sont les intervalles.
TVI Généralisé : L’image continue d’un connexe par arcs est connexe par arcs. Si $f : E \to \mathbb{R}$ est continue, l’image d’un connexe par arcs est un intervalle.
8. Spécificités de la Dimension Finie
En dimension finie, tout est plus simple :
- Équivalence des Normes : Toutes les normes sont équivalentes. La convergence ne dépend pas de la norme.
- Théorème de Borel-Lebesgue : Les compacts sont exactement les parties Fermées et Bornées.
- Continuité Linéaire : Toute application linéaire est automatiquement continue.