FICHE DE RÉVISION –Orthogonalité et Distances
(Niveau : Terminale)
Géométrie dans l’Espace : Orthogonalité et Distances
Le produit scalaire en 3D : l’outil essentiel pour l’orthogonalité et le calcul des distances.
Partie 1 : Produit Scalaire dans l’Espace
Le produit scalaire étend ses propriétés du plan à l’espace.
1. Définitions et Propriétés
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de l’espace, noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), peut être défini de plusieurs manières :
- Avec les normes et l’angle : $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta) $$ où \(\theta\) est l’angle non orienté entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
- Avec la projection orthogonale : Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((AC)\), alors \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AH} \cdot \vec{AC}\). Le signe dépendra de si \(\vec{AH}\) et \(\vec{AC}\) sont de même sens ou de sens opposés.
Propriétés (identiques au plan) :
- Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\).
- Bilinéarité :
- \((\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}\)
- \((\alpha \vec{u}) \cdot \vec{v} = \alpha (\vec{u} \cdot \vec{v})\)
- Carré scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2\).
Dans un cube d’arête \(a\), on a \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\) (car angle 90°).
\(\vec{AB} \cdot \vec{AB} = ||\vec{AB}||^2 = a^2\).
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{AC}|| \cdot \cos(\vec{BAC})\).
Avec \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\), le projeté de B sur la droite (AD) est A. Donc \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \vec{AA} \cdot \vec{AD} = \vec{0} \cdot \vec{AD} = 0\).
2. Orthogonalité de deux vecteurs
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$ (Si l’un des vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire est nul et ils sont considérés orthogonaux). Géométriquement, leurs directions sont perpendiculaires.
3. Bases et Repères Orthonormés
Une base \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est dite orthonormée si :
- Les vecteurs sont deux à deux orthogonaux : \(\vec{i} \cdot \vec{j} = 0\), \(\vec{i} \cdot \vec{k} = 0\), \(\vec{j} \cdot \vec{k} = 0\).
- Les vecteurs sont unitaires (de norme 1) : \(||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = ||\vec{k}|| = 1\).
Un repère \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est orthonormé si sa base est orthonormée.
4. Expressions en Coordonnées (Repère Orthonormé)
Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) :
- Si \(\vec{u}(x; y; z)\) et \(\vec{v}(x’; y’; z’)\), alors le produit scalaire est : $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’ $$
- La norme d’un vecteur \(\vec{u}(x; y; z)\) est : $$ ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
- La distance entre deux points \(A(x_A; y_A; z_A)\) et \(B(x_B; y_B; z_B)\) est la norme du vecteur \(\vec{AB}\) : $$ AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2} $$
Si \(\vec{u}(1; 2; -1)\) et \(\vec{v}(3; 0; 2)\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times 0 + (-1) \times 2 = 3 + 0 – 2 = 1\).
\(||\vec{u}|| = \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}\).
Distance entre A(1,1,0) et B(2,3,1) : \(AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+2^2+1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}\).
5. Formules de polarisation
Ces formules permettent d’exprimer le produit scalaire en fonction des normes :
- \( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} \)
- \( ||\vec{u} – \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} \)
- En soustrayant ces deux égalités : $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 – ||\vec{u} – \vec{v}||^2 \right) $$
Partie 2 : Orthogonalité des Droites et des Plans
1. Orthogonalité de deux droites
Deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) sont orthogonaux (c’est-à-dire si \(\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0\)).
Attention : des droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes (elles peuvent être non coplanaires).
Si elles sont sécantes et orthogonales, on dit qu’elles sont perpendiculaires.
2. Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Une droite \((d)\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) est orthogonale à un plan \((\mathcal{P})\) si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Si une droite est orthogonale à un plan, alors son vecteur directeur \(\vec{u}\) est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
3. Vecteur Normal à un plan
Un vecteur \(\vec{n}\) non nul est dit normal à un plan \((\mathcal{P})\) s’il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. (Donc \(\vec{n}\) est orthogonal à tous les vecteurs du plan).
Un plan \((\mathcal{P})\) est entièrement déterminé par :
- Un point \(A\) qui lui appartient.
- Un vecteur \(\vec{n}\) non nul qui lui est normal.
Un point \(M\) appartient au plan \((\mathcal{P})\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\) si et seulement si les vecteurs \(\vec{AM}\) et \(\vec{n}\) sont orthogonaux : $$ \vec{AM} \cdot \vec{n} = 0 $$
Ceci permet de trouver l’équation cartésienne du plan :
Si \(A(x_A; y_A; z_A)\) et \(\vec{n}(a; b; c)\), alors \(M(x; y; z) \in (\mathcal{P})\) ssi \(a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0\).
On peut développer en \(ax + by + cz + d = 0\), où \(d = -(ax_A + by_A + cz_A)\).
Un plan passant par \(A(1, 2, -1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3, 0, 2)\).
L’équation est \(3(x-1) + 0(y-2) + 2(z-(-1)) = 0\).
\(3x – 3 + 2z + 2 = 0 \Rightarrow 3x + 2z – 1 = 0\).
4. Plan médiateur d’un segment
Le plan médiateur d’un segment \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) de l’espace équidistants de \(A\) et \(B\), c’est-à-dire \(MA = MB\).
Ce plan est caractérisé par :
- Il passe par le milieu de \([AB]\).
- Il est orthogonal au vecteur \(\vec{AB}\) (donc \(\vec{AB}\) est un vecteur normal du plan).
L’équation du plan médiateur est donc \(\vec{IM} \cdot \vec{AB} = 0\) où \(I\) est le milieu de \([AB]\).
Partie 3 : Projection Orthogonale et Distances
1. Projeté Orthogonal d’un point sur une droite ou un plan
Soit \(M\) un point et \((\Delta)\) une droite ou \((\mathcal{P})\) un plan.
Le projeté orthogonal de \(M\) sur \((\Delta)\) (ou \((\mathcal{P})\)) est l’unique point \(H\) appartenant à \((\Delta)\) (ou \((\mathcal{P})\)) tel que la droite \((MH)\) est orthogonale à \((\Delta)\) (ou \((\mathcal{P})\)).
Propriété fondamentale : Le projeté orthogonal \(H\) est le point de \((\Delta)\) (ou \((\mathcal{P})\)) le plus proche de \(M\). Autrement dit, pour tout point \(P \neq H\) de \((\Delta)\) (ou \((\mathcal{P})\)), on a \(MP > MH\).
Démonstration de la propriété du projeté orthogonal
Soit \(M\) un point et \((\mathcal{P})\) un plan. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur \((\mathcal{P})\).Soit \(P\) un autre point quelconque du plan \((\mathcal{P})\).
On veut montrer que \(MP \ge MH\).
Considérons le triangle \(MHP\). Puisque \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((\mathcal{P})\), la droite \((MH)\) est orthogonale au plan \((\mathcal{P})\). Par conséquent, la droite \((MH)\) est orthogonale à toute droite du plan \((\mathcal{P})\) passant par \(H\), en particulier à la droite \((HP)\).
Donc le triangle \(MHP\) est rectangle en \(H\).
D’après le théorème de Pythagore : \(MP^2 = MH^2 + HP^2\).
Puisque \(HP^2 \ge 0\), on a \(MP^2 \ge MH^2\).
Comme les distances sont positives, on peut prendre la racine carrée : \(MP \ge MH\).
L’égalité \(MP = MH\) n’a lieu que si \(HP^2 = 0\), c’est-à-dire si \(P=H\).
Donc \(H\) est bien le point du plan \((\mathcal{P})\) le plus proche de \(M\).
Le raisonnement est similaire pour la projection sur une droite.
2. Distance d’un point à une droite ou à un plan
La distance d’un point \(M\) à une droite \((\Delta)\) est la longueur \(MH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((\Delta)\).
La distance d’un point \(M\) à un plan \((\mathcal{P})\) est la longueur \(MH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((\mathcal{P})\).
Calcul de la distance d’un point \(M(x_M, y_M, z_M)\) à un plan \((\mathcal{P})\) d’équation \(ax+by+cz+d=0\) : $$ d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$
Distance du point \(M(1, 2, 3)\) au plan \((\mathcal{P})\) d’équation \(2x – y + 3z – 4 = 0\).
\(d(M, \mathcal{P}) = \frac{|2(1) – (2) + 3(3) – 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|2 – 2 + 9 – 4|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|5|}{\sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{14}}\).
Partie 4 : Entraînement (Exercices)
On se place dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
- Exercice 1 (Orthogonalité de vecteurs) : Les vecteurs \(\vec{u}(2; -1; 3)\) et \(\vec{v}(-1; 5; 3)\) sont-ils orthogonaux ?
- Exercice 2 (Équation de plan) : Déterminer l’équation cartésienne du plan passant par \(A(2; -1; 0)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1; 2; -1)\).
-
Exercice 3 (Projeté et Distance) : Soit le point \(M(1; 0; -1)\) et le plan \((\mathcal{P})\) d’équation \(x + 2y – 2z + 4 = 0\).
a) Calculer la distance de \(M\) au plan \((\mathcal{P})\).
b) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((\mathcal{P})\).
Partie 5 : Corrections Détaillées
Correction Exercice 1 (Orthogonalité de vecteurs)
Les vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
\(\vec{u}(2; -1; 3)\) et \(\vec{v}(-1; 5; 3)\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-1) + (-1)(5) + (3)(3)\)
\(= -2 – 5 + 9\)
\(= 2\).
Puisque \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \neq 0\), les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas orthogonaux.
Correction Exercice 2 (Équation de plan)
Le plan \((\mathcal{P})\) passe par \(A(2; -1; 0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1; 2; -1)\).
L’équation cartésienne du plan est de la forme \(ax + by + cz + d = 0\), où \((a, b, c)\) sont les coordonnées du vecteur normal.
Donc \((\mathcal{P})\) a une équation de la forme \(1x + 2y – 1z + d = 0\), soit \(x + 2y – z + d = 0\).
Le point \(A(2; -1; 0)\) appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l’équation :
\(2 + 2(-1) – 0 + d = 0\)
\(2 – 2 – 0 + d = 0\)
\(d = 0\).
L’équation cartésienne du plan \((\mathcal{P})\) est \(x + 2y – z = 0\).
Correction Exercice 3 (Projeté et Distance)
\(M(1; 0; -1)\) et plan \((\mathcal{P})\) d’équation \(x + 2y – 2z + 4 = 0\).
a) Distance de \(M\) au plan \((\mathcal{P})\) :
On utilise la formule : \(d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).
Ici \(a=1, b=2, c=-2, d=4\).
\(d(M, \mathcal{P}) = \frac{|1(1) + 2(0) – 2(-1) + 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}\)
\(= \frac{|1 + 0 + 2 + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}}\)
\(= \frac{|7|}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}\).
La distance de \(M\) au plan \((\mathcal{P})\) est \(7/3\).
b) Coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((\mathcal{P})\) :
Le point \(H\) est le point d’intersection du plan \((\mathcal{P})\) et de la droite \((MH)\).
La droite \((MH)\) est orthogonale au plan \((\mathcal{P})\). Son vecteur directeur est donc le vecteur normal du plan \(\vec{n}(1; 2; -2)\).
La droite \((MH)\) passe par \(M(1; 0; -1)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{n}(1; 2; -2)\).
Sa représentation paramétrique est :
$$ \begin{cases} x = 1 + 1t \\ y = 0 + 2t \\ z = -1 – 2t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R} $$
\(H\) est le point de \((MH)\) qui est aussi dans \((\mathcal{P})\). Ses coordonnées vérifient donc l’équation du plan :
\((1+t) + 2(2t) – 2(-1-2t) + 4 = 0\)
\(1+t + 4t + 2+4t + 4 = 0\)
\(9t + 7 = 0 \Rightarrow t = -\frac{7}{9}\).
Maintenant, on remplace \(t\) dans les équations paramétriques pour trouver les coordonnées de \(H\) :
\(x_H = 1 + (-\frac{7}{9}) = \frac{9-7}{9} = \frac{2}{9}\).
\(y_H = 2(-\frac{7}{9}) = -\frac{14}{9}\).
\(z_H = -1 – 2(-\frac{7}{9}) = -1 + \frac{14}{9} = \frac{-9+14}{9} = \frac{5}{9}\).
Les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) sont \((\frac{2}{9}; -\frac{14}{9}; \frac{5}{9})\).
On peut vérifier que la distance \(MH = \sqrt{(1-2/9)^2 + (0-(-14/9))^2 + (-1-5/9)^2}\)
\(= \sqrt{(7/9)^2 + (14/9)^2 + (-14/9)^2} = \sqrt{(49+196+196)/81} = \sqrt{441/81} = 21/9 = 7/3\). La distance est cohérente.
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